函数迭代

2011年1月数学学校

专题-----函数迭代

利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。

如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数.

对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的.

若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc.

若f(x)=x 2，则f (n)(x)=x 2n .

若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+a

a n --11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。

⑴观查法

例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。

例2、 设).(.1

2)()(2

x f x x x f n 计算-=

⑵不动点求函数迭代：

如果x 0是)(x f 的不动点，则x 0也是)()(x f

n 的不动点。这一点用数学归纳法是容易证明的。 例3、若9319)(2+=x x f 求，)()(x f n 。

③函数迭代应用：

在国内外数学竞赛中，不断出现一些要用到各种技巧的函数迭代和函数方程问题。主要有三个方面：

（1）研究函数的性质；（2）求函数的值；（3）确定函数的解析表达式。下面通过例题来介绍解决这些问题的方法和技巧。

例4、设N 是自然数集合，k ∈N 。如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对于每个n ∈N ，都有f （f (n )）=k n 。证明：对每个n ∈N ，都有

12+k k n ≤f (n )≤2

1+k n .

例5、 设函数f (x )对所有x ＞0有意义，且满足下列条件：

（1）对于x ＞0，有f (x )f [f (x )+

x 1]=1; （2）f (x )在（0，+∞）上严格递增。 求f (1)的值。

例6 、证明：不存在函数f :R +→R +，使得对任何正实数x 、y ，都有

(f (x ))2≥f (x+y)(f (x )+y). ①

例7、设Q +是全体正有理数集.试作一个函数f ：Q +→Q +，使得对一切x ,y ∈Q +，都有

f (xf (y ))=y x f )(. ①

例8、 f 是定义在（1，+∞）上且在（1，+∞）中取值的函数，满足条件：对任何x ,y ＞1及u,v ＞0，都成立

f (x u y v )≤f (x )v y f u 41)(41. ①

试确定所有的这样的函数f .

例9、设R 是全体实数的集合.试求出所有的函数f ：R →R ，使得对于R 中的一切x 和y ，都有“f (x 2+f (y ))=y +(f (x )))2.

①

例10、已知一个二元函数的f :R +×R +=+∈R y x y x ,),(→R +满足下面两个条件：

（1）对任意正实数x ，y ，z ，有f (f (x ,y ),z )=f (f (z ,y ),x );

（2）对任意正实数x,y ,有f (x ,1)=x

1,f (1,y )=y .

函数方程习题

1、求所有的函数f ：R R →，对于所有实数x 、y ，满足

()()()()12++=++xy xy f y f x f y x f ．

2、求所有函数f ：R +→R +，使得对所有的x 、y ∈R +有)()())((y f y x f y f x f ++=+．

3、设f （x ）满足条件：

（1）)(1)()1(+∞-∞+-+ππx x f x f （2）当).()(y f x ，f y x ≤≤时 求证：对任意正整数m 和n ，有

m

n m f n f m n 11)0()0()()(+-π