二次函数的性质及其应用

二次函数的性质及其应用

知识要点：

1、①二次函数的一般表达式为：)0(2≠++=a c bx ax y 形式。

②顶点式为：)0()(2≠+-=a k h x a y 。 ③交点式为：)0)()((21≠--=a x x x x a y 2、二次函数的性质：

注：1、a 确定开口方向，|a|的大小确定了开口度的大小，当|a|越大开口度最小，反之|a|越小开口度最大。

2、a 、b 的符号确定了对称轴的位置，当a 、b 取同号时对称轴在左，a 、b 异号时对称轴在右，当b=0时，对称轴为

y轴。

3、△=ac

2-确定了抛物线与x轴的交点情况：

b4

2-＞0时，抛物线与x轴有两个交点；

b4

ac

2-=0时，抛物线与对称轴有一个交点；

b4

ac

2-＜0时，抛物线与x轴没有交点。

b4

ac

常见例题讲解：

1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点（－1，2），且与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，其中－2＜x1＜－1,0＜x2＜1有下列结论：①abc＞0,②4a－2b+c＜0,③2a－b＜0,④b2+8a＞4ac其中正确的结论有（）

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个

2、已知二次函数y = 的图像如图所示，令M=︱4a-2b+c︱+︱a+b+c︱-︱2a+b ︱+︱2a-b︱，则以下结论正确的是……………( )

A.M＜0

B.M＞0

C.M=0

D.M的符号不能确定

3、如图，点A，B的坐标分别为（1,4）和（4, 4）,抛物线的顶点在线段AB 上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为( )

A．－

3 B．1 C．5 D．8

二、填空题

4、二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2= .

三、综合题

5、已知点A（-1，-1）在抛物线

（其中x是自变量）上.

（1）求抛物线的对称轴；

（2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线解析式；如果不存在，说明理由.

6、如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++，经过A（0，－4）、

B（，0）、C（，0）三点，且-=5．

（1）求、的值；

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形B P O H是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．