随机变量序列极限
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第五章 随机变量序列的极限
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
定义 设 数c, 使得对于任意常数 0, 总有
n
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列, 如果存在常
lim P X n c 1,
依概率收敛于c, 记作
P Xn c.
则称随机变量序列 X1 , X 2 ,
区间 0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解
设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为
X ,
i 1 i
又 X1 , X 2 , 得
, X1200 为独立同分布的随机变量, 由
Xi
R 0.5,0.5
1 E X i 0, D X i , 12
时很困难. 有些情况下, 可以得到其分布. 例如
i 1
n
Xi
B 1, p ,
则
X
i 1
n
i
B n, p ,
进一步地有
X
则
B m, p , Y
B n, p ,
X Y
有这个必要.
B m n, p .
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
人们在长期实践中发现 , 在相当一般的条件下, 只要 n
以 0.5 的概率向左或向右滚下, 于是
又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直 到滚到底板的一个格子里为止. 把许
多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相 当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 N
0, 的密
2
度函数图形.
高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
若随机变量序列 X1 , X 2 ,
n
依概率收敛于c, 则
lim P X n c 0.
定理
a, b 处连续,
如果 X n
a, Yn b, 且函数 g x, y 在点 P 则 g X n , Yn a, b.
P P
定理
设 X1 , X 2 ,
是
独立同分布的随机变量序列, 且
E X i , D X i 2 0
则对任意的 x x , 有
i 1,2, ,
其中
x 为标准正态分布的分布函数.
n X i n lim P i 1 x x . n n
共16层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 层钉后向右落下 k 层钉后向左落下
(k 1, 2, ,16)
程序如下
输出图形
定理
（独立同分布的中心极限定理）设 X1 , X 2 ,
n充分大,
总认为
X 近似服从正态分布.
i 1 i
下面这个例子说明了这个情况.
例
（高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验,
图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的
距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下
一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小 于两个钉子之间的距离的小球. 在小 球向下降落的过程中, 碰到钉子后均
20 0 20 0 1 10 10
1 2 2
是两两不相关的随机变量序列, 如
果存在常数 c, 使得 D
X i c, i 1, 2,
,则
1 n 1 n P X E X 0. i i n i 1 n i 1
特别地, 若E
Xi , i 1,2,
X
,
则上式表明
1 n P . X i n i 1
i 1,2,
,1200 .
1 1200 1200 E X i 1200 0 0, D X i 1200 =100 12 i 1 i 1
由独立同分布的中心极限定理:
X
i 1
n
i
~ N 0,100
wk.baidu.com
.
1200 1200 P X i 20 1 P 20 X i 20 i 1 i 1
A, A,
引进随机变 量
1 Xi 0
第i次试验A发生 第i次试验A发生
Xi ~ B 1, p , E Xi p, i 1,2. , n,
X1 , X 2 ,
频率
p 1 f n A X i X P A p n i 1 n
, Xn
相互独立，则在n次试验中A发生的
注意
该定理的条件为方差有界.
定理
（独立同分布情形下的大数定律） 设 X1 , X 2 ,
2
是独立同分布的随机变量序列, 且 E
D X i , i 1, 2,
,
则
X .
P
X i ,
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。 设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
例1 设 X 1 , X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且
则
E X i , D X i 2 , i 1,2, , 1 n 2 P 2 2 X . i n i 1
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n 个独立同分布的随机变量
X1, X 2 , , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有
该定理的实际意义是, 若随机变量序列 X1 , X 2 , 满足定理条件, 记 Yn
X i , 则当n充分大时
i 1
n
Yn E Yn D Yn
近似服从标准正态分布. 即
Yn X i ~ N E Yn , D Yn .
i 1
n
.
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
定义 设 数c, 使得对于任意常数 0, 总有
n
X1 , X 2 ,
是一个随机变量序列, 如果存在常
lim P X n c 1,
依概率收敛于c, 记作
P Xn c.
则称随机变量序列 X1 , X 2 ,
区间 0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解
设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为
X ,
i 1 i
又 X1 , X 2 , 得
, X1200 为独立同分布的随机变量, 由
Xi
R 0.5,0.5
1 E X i 0, D X i , 12
时很困难. 有些情况下, 可以得到其分布. 例如
i 1
n
Xi
B 1, p ,
则
X
i 1
n
i
B n, p ,
进一步地有
X
则
B m, p , Y
B n, p ,
X Y
有这个必要.
B m n, p .
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
人们在长期实践中发现 , 在相当一般的条件下, 只要 n
以 0.5 的概率向左或向右滚下, 于是
又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直 到滚到底板的一个格子里为止. 把许
多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相 当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 N
0, 的密
2
度函数图形.
高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
若随机变量序列 X1 , X 2 ,
n
依概率收敛于c, 则
lim P X n c 0.
定理
a, b 处连续,
如果 X n
a, Yn b, 且函数 g x, y 在点 P 则 g X n , Yn a, b.
P P
定理
设 X1 , X 2 ,
是
独立同分布的随机变量序列, 且
E X i , D X i 2 0
则对任意的 x x , 有
i 1,2, ,
其中
x 为标准正态分布的分布函数.
n X i n lim P i 1 x x . n n
共16层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 层钉后向右落下 k 层钉后向左落下
(k 1, 2, ,16)
程序如下
输出图形
定理
（独立同分布的中心极限定理）设 X1 , X 2 ,
n充分大,
总认为
X 近似服从正态分布.
i 1 i
下面这个例子说明了这个情况.
例
（高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验,
图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的
距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下
一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小 于两个钉子之间的距离的小球. 在小 球向下降落的过程中, 碰到钉子后均
20 0 20 0 1 10 10
1 2 2
是两两不相关的随机变量序列, 如
果存在常数 c, 使得 D
X i c, i 1, 2,
,则
1 n 1 n P X E X 0. i i n i 1 n i 1
特别地, 若E
Xi , i 1,2,
X
,
则上式表明
1 n P . X i n i 1
i 1,2,
,1200 .
1 1200 1200 E X i 1200 0 0, D X i 1200 =100 12 i 1 i 1
由独立同分布的中心极限定理:
X
i 1
n
i
~ N 0,100
wk.baidu.com
.
1200 1200 P X i 20 1 P 20 X i 20 i 1 i 1
A, A,
引进随机变 量
1 Xi 0
第i次试验A发生 第i次试验A发生
Xi ~ B 1, p , E Xi p, i 1,2. , n,
X1 , X 2 ,
频率
p 1 f n A X i X P A p n i 1 n
, Xn
相互独立，则在n次试验中A发生的
注意
该定理的条件为方差有界.
定理
（独立同分布情形下的大数定律） 设 X1 , X 2 ,
2
是独立同分布的随机变量序列, 且 E
D X i , i 1, 2,
,
则
X .
P
X i ,
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。 设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
例1 设 X 1 , X 2 ,
是独立同分布的随机变量序列, 且
则
E X i , D X i 2 , i 1,2, , 1 n 2 P 2 2 X . i n i 1
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n 个独立同分布的随机变量
X1, X 2 , , X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有
该定理的实际意义是, 若随机变量序列 X1 , X 2 , 满足定理条件, 记 Yn
X i , 则当n充分大时
i 1
n
Yn E Yn D Yn
近似服从标准正态分布. 即
Yn X i ~ N E Yn , D Yn .
i 1
n
.
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从