随机变量序列的极限

x 为标准正态分布的分布函数.
n X i n lim P i 1 x x . n n
该定理的实际意义是, 若随机变量序列 X1 , X 2 , 满足定理条件, 记 Yn
X i , 则当n充分大时
i 1
所以原概率近似为
64 P X i 7000 0.2266. i 1
B 1, p , i 1,2,, 则 E X i p, D X i pq 0, 即随机变量序列
作为上面定理的特例, 如果 X i
满足上面定理的条件. 从而有下面的定理.
A, A,
引进随机变 量
1 Xi 0
第i次试验A发生 第i次试验A发生
Xi ~ B 1, p , E Xi p, i 1,2., n,
X1 , X 2 ,, X n
频率
p 1 f n A X i X P A p n i 1 n
由条件所设, 所求的概率为
x 0.99.
而 x 为标准正态分布的分布函数, 查表得 x 2.326. 即:
N 300 Q 2.326. 5 3 从而 3 N 300 2.326 20 Q 4
300 20 Q 320Q.
P Xn c.
若随机变量序列 X1 , X 2 , 依概率收敛于c, 则
lim P X n c 0.
n
定理
a, b 处连续,
如果 X n
a, Yn b, 且函数 g x, y 在点 P 则 g X n , Yn a, b.
相互独立，则在n次ຫໍສະໝຸດ 验中A发生的例1 设 X1 , X 2 ,是独立同分布的随机变量序列, 且
E X i , D X i 2 , i 1,2,, 1 n 2 P 2 2 X . i n i 1
则
二、中心极限定理
在数理统计中经常要用到 n 个独立同分布的随机变量
定理
（中心极限定理 ）设 X1 , X 2 ,是一个独立同分
布的随机变量序列, 且 X i
B 1, p , 令
Yn X i ,
则对任意的 x x , 有
i 1
n
Y np n lim P x x, n np 1 p
距离相等, 上一层的每一个钉子的水平位置恰好位于下
一层的两个钉子的正中间. 从入口处放进一个直径略小 于两个钉子之间的距离的小球. 在小 球向下降落的过程中, 碰到钉子后均
以 0.5 的概率向左或向右滚下, 于是
又碰到下一层钉子. 如此进行下去, 直 到滚到底板的一个格子里为止. 把许
多同样大小的小球不断从入口处放下, 只要球的数目相 当大, 它们在底板将堆成近似正态分布 N
但很多情况下这样的分布并不能得到, 有时也不一定
有这个必要. 人们在长期实践中发现 , 在相当一般的条件下, 只要 n
n充分大,
总认为
X 近似服从正态分布.
i 1 i
下面这个例子说明了这个情况.
例
（高尔顿钉板实验） 高尔顿设计了一个钉板实验,
图中每个黑点表示钉在板上的一个钉子, 它们彼此间的
因此机床质量总误差不超过10kg 的概率近似为0.9544.
例6 某单位有200台分机, 每台使用外线通话的概率为 15%, 若每台分机是否使用外线是相互独立的, 问该单
位至少需要装多少多少条外线, 才能以95%的概率保证
每台分机能随时接通外线电话. 解 以 X 表示在时刻 t使用的外线数, 则
P P
定理
设 X1 , X 2 , 是两两不相关的随机变量序列, 如
果存在常数 c, 使得 D
X i c, i 1, 2,, 则
1 n 1 n P X E X 0. i i n i 1 n i 1
特别地, 若E
Xi , i 1,2,,
X B 400,0.75.
1 E X 400 0.75 300, D X 300 75. 4
设应供应N瓦电，由中心极限定理知:
N 300 N Q 0.99, P XQ N P X Q 75
1 1200 1200 E X i 1200 0 0, D X i 1200 =100 12 i 1 i 1
由独立同分布的中心极限定理:
X
i 1
n
i
~ N 0,100
.
1200 1200 P X i 20 1 P 20 X i 20 i 1 i 1
超过 7000 的概率.
解
所求概率为
E 0.01 . 此时 E X i 100, D X i 10000, i 1,2,,64. 64 64 E X i 6400, D X i 640000 i 1 i 1
1 2.12 0.017,
即求概率为 0.017.
例3 设一个车间有400台同类型的机床, 每台机床需用 电 Q 瓦, 由于工艺关系, 每台机器并不连续开动, 开动的
时候只占工作总时间的 3/ 4, 问应该供应多少瓦电力能
99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作 期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）. 解 令 X 表示在时刻 t 时正在开动的机器数, 则
即当 n 充分大时,
np 1 p Yn np
近似服从标准正态分布.
该定理的实际意义是: 若 X
B n, p , 则当
n 充分大时
X np np 1 p
近似服从标准正态分布.即
.
X ~ N np, np 1 p .
例4 一本 20 万字的长篇小说进行排版, 假定每个字被 排错的概率为 105 , 试求这本小说出版后发现有6个字以
即: 只要供应 320Q 瓦的电力, 就能以99%的把握保证该 车间的机器能正常工作.
例5 为了测定一台机床的质量, 将其分解成75个部件 来称量. 假定每个部件的称量误差（单位: kg ）服从区
间 1,1 上的均匀分布, 且每个部件的称量是独立的, 试
求机床的称量总误差的绝对值不超过10 kg 的概率. 解 以 X i 表示第i 个部件的称量误差 i 1,2,,75 , 由
绝对值超过 20 厘米的概率.
1200
解
设第i 段的测量误差为 X i , 所以累计误差为
X ,
i 1 i
又 X1, X 2 ,, X1200 为独立同分布的随机变量, 由
X i R 0.5,0.5
得
1 E X i 0, D X i , 12
i 1,2,,1200 .
上错字的概率, 假定各个字是否被排错是相互独立的.
解 设错字总数为 X , 则
1 X B 200000, , 100000
则有
np 2, np 1 p 2 0.99999 1.414,
所求概率为:
P X 6 1 P X 5 52 1 1.414
1 n P . X Xi n i 1
则上式表明
注意
该定理的条件为方差有界.
定理
（独立同分布情形下的大数定律） 设 X1 , X 2 ,
2
是独立同分布的随机变量序列, 且 E
D X i , i 1, 2,,
则
X .
P
X i ,
用独立同分布情形下的大数定律可以证明频率的稳 定性。 设进行n次独立重复的试验，每次试验只有两个结果
(k 1, 2, ,16)
程序如下
输出图形
定理
（独立同分布的中心极限定理）设 X1 , X 2 , 是
独立同分布的随机变量序列, 且
E X i , D X i 2 0
则对任意的 x x , 有
i 1,2, ,
其中
0, 的密
2
度函数图形.
高尔顿( Francis Galton,1822-1911) 英国人类学家和气 象学家
共16层小钉
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1
x 2 3 4 5 6 7 8
Xk
1, 小球碰第 1, 小球碰第
k 层钉后向右落下 k 层钉后向左落下
20 0 20 0 1 10 10
1 2 2
2 1 2 0.0456.
例3 已知某厂生产的晶体管的寿命服从均值为100h 的指 数分布, 随机抽取64 只, 试求这 64只晶体管的寿命总和
n
Yn E Yn D Yn
近似服从标准正态分布. 即
Yn X i ~ N E Yn , D Yn .
i 1
n
.
例2 某人要测量甲、乙两地的距离, 限于测量工具, 他 分成1200段进行测量, 每段测量误差（单位: 厘米）服从
区间 0.5,0.5上的均匀分布, 试求总距离测量误差的
此时有 E
线数,
X 30, D X 25.5. 若以N表示安装的外 则分机能使用外线意味着此时有P X N . 由
X B 200,0.15.
X1, X 2 ,, X n的和 X i 的分布, 但要给出其精确分布有
时很困难. 有些情况下, 可以得到其分布. 例如
i 1
n
X i B 1, p ,
则
X
i 1
n
i
B n, p ,
进一步地有
X B m, p , Y B n, p ,
则
X Y B m n, p .
条件所设, 知 X i 为独立同分布序列, 且
X i R 1,1.
从而
1 E X i 0, D X i , 3
i 1, 2,,75
由独立同分布的中心极限定理, 可以近似认为
1 X i N 75 0, 75 N 0, 25 . 3 i 1
第五章 随机变量序列的极限
本章要点
本章讨论两类重要的极限分布.
一、大数定律
X1 , X 2 , 是一个随机变量序列, 如果存在常 数c, 使得对于任意常数 0, 总有
定义 设
lim P X n c 1,
n
则称随机变量序列 X1 , X 2 , 依概率收敛于c, 记作
以 X i 表示第 i 只晶体管的寿命, 则 X i
64 64 P X i 7000 1 P X i 7000 . i 1 i 1
由中心极限定理得
64 7000 6400 P X i 7000 640000 i 1 3 0.7734, 4
75
于是所求的概率为
75 75 P X i 10 P 10 X i 10 i 1 i 1 10 0 10 0 2 2 1 0.9544, 5 5