平板层流边界层的近似计算

§8-4平板层流边界层的近似计算

作为应用边界层的积分关系式来决实际问题的例子，下面我们来研究不可压粘性流体定常流流经平板的问题。如图所示：

设x轴沿着平板，y轴为平板法线方向。坐标原点在平板前缘点上，来流的沿x轴，板长为l。

假定来流流经平板时，平板上下两层形成层流边界层，如图所示。现在要求的是边界的厚度的变化规律和摩擦阻力F D。

由于顺来流方向放置的平板很薄，可以认为不引起流动的改

变。所以，在边界层外边界上，，由势流的伯努利方程：

两边对x求导，则：

即：p=常数，即边界层外边界上压力为常数。而边界层内，。

所以整个边界层内向点压力相同。即整个流场压力处处相等。代入上式则变成：

(1)

(1)式中有三个未知数u，，δ，所以再补充两个方程。

①当x固定时，假设边界层内速度u的分布为：

(2)

可以看出层内随y↑—>u↑，这和实际情况是符合的。

边界条件：

1) 壁面外，y=0，u=0；

2) 边界层外边界处，y=δ，u= V∞；

3) 边界层外边界处，y=δ，；

4) 边界层外边界处，由于u=V∞，由层流边界层微分方程(即普朗特边界层方程),在边界层的外边界上：

5) 在平板壁面处，y=0，u=υ=0，又由上式(普朗特边界层方程)，得：

；

把边界条件代入(2)式，得：

再把上面的五个系数代入(2)式，得第一个补充关系式，即层流边界层中的速度分布规律为：

再对上式求导，并利用牛顿内摩擦定律，得：

(3) 再将上式代入(1)式求积分，则得到：

(4)

(5) 将(3)，(4)，(5)代入(1)式，得：

，积分得：

确定积分常数C，x=0， =0，C=0，于是得：

，

它的精确解为，并且的表达式为的三次方时，得出的解比四次方精确。其系数为4.64。因此，不能认为选择速度分布时，多项式数越多越好。

由上式可看出：x—>δ；V∞—>δ↓。

将δ表达式，代入(c)式，得切向应力：

从上式可以看出：沿平板长度方向(x方向)，越来越小，这是因随x，速度边界层越来越厚，边界层内速度变化渐趋缓和之故。

总摩擦阻力为：

其中b为板宽，且F D为平板一面的摩擦阻力，一块板两面的摩擦阻力为2F D。

摩擦阻力系数为：

。

其中C f为无量纲数