层流边界层的流动与换热
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5.34边界层型对流传热解析
故：湍流换热比层流换热强！
三、边界层换热微分方程组
边界层概念的引入 + 数量级分析 = 简化的换热微分方程组
二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y 2 2 v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y 2 2 t t t t c p u x v y x 2 y 2
在层流范围内求解上述边界层方程组可得
5.0 x Re x
0.664 cf 1 2 Re x u 2
w
Pr1 3 t
局部表面传热系数的表达式
u hx 0.332 x a
1 x 2 1 3
hx x
u 0.332 a
1 1 （1 1
1
）
1 1 （ 2 1
2
2
1
2
）
2
v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
1 （1
1
）
（
2
12
） 2
p ~ 0( ) y
p ~ 0(1) x
三、边界层换热微分方程组
边界层概念的引入 + 数量级分析 = 简化的换热微分方程组
二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力
u v 0 x y
u u p 2u 2u （u v ) ( 2 2 ) x y x x y 2 2 v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y 2 2 t t t t c p u x v y x 2 y 2
在层流范围内求解上述边界层方程组可得
5.0 x Re x
0.664 cf 1 2 Re x u 2
w
Pr1 3 t
局部表面传热系数的表达式
u hx 0.332 x a
1 x 2 1 3
hx x
u 0.332 a
1 1 （1 1
1
）
1 1 （ 2 1
2
2
1
2
）
2
v v p v v （u v ) ( 2 2 ) x y y x y
1 （1
1
）
（
2
12
） 2
p ~ 0( ) y
p ~ 0(1) x
高等热值交换技术 边界层的流动和换热
3-1-1 外掠平板层流边界层流动的相似解
对于常物性、无内热源、不可压缩牛顿流体平行外掠等壁温平 板稳态层流换热，数学模型为：
u v 0 x y
u u du 2u u x v y u dx y 2
u u 2u u v v x y y 2
第三章 层流边界层的流动和换热
3-1 外掠平板层流边界层流动的相似解 h=f(u,tw,tf,λ,ρ,c,η,α,l,ψ)
流体平行外掠平板强迫对流换热的解，可以表示成特征数关联 式的形式，即
Nu=f(Re,Pr)
特征数关联式中变量个数大为减少，更突出地反映相关物理量 之间的依赖关系，及其对对流换热的综合影响。
这一结果与理论分析结果一致。附加项Ｐｒｆ／Ｐｒｗ 用以考虑物性变化和热流方向的影响。
43
作业：
1. 试证明:Prw<<1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热的局 部努谢尔特数为：
Nu
1
Re x Pr
2
1
1
2
２. 试证明:Prw＞＞1 的流体外掠平壁层流边界层流动换热， 若假定速度分布与温度分布均为直线，使用积分方程求解证 明：
已知了速度分布,可进一 步得到壁面上的粘性切 应力.
局部摩擦系数:
平均摩擦系数:
3-1-2 外掠平壁层流边界层换热的相似解
第六章层流对流换热
第六章层流对流换热
从流体力学知道，流体的流动状态可分为层流、紊流以及从层流至紊流的过渡区，判 定流动状态的准则数是甫诺数：
- puL uL ，/、
Re =------= —
（6—1）A v 对于外掠流动，流速"取边界层外的主流速度“S ，特征长度乙取沿流动方向的纵向距离X :对于管（槽）内的流动，流速"取截而的平均速度特征长度乙取流道的当量直
4 A 径孔=一苛，这里，为管道横截面积，P 为润湿周长，在圆管的情况下当量直径就是 管径。o 由文献[1]〜〔3],管内流动时，Re < 2300的流动是稳定的层流，Re > 104是充分发展的紊流，2300 <Re <104属于过渡流：对于外掠平壁，Re < 6x 10'为稳 定的层流，而当Re = （3〜5）x IO'则过渡到紊流工况。
由于流动和换热问题的复杂性，只有少数比较简单的流动情况才能由边界层方程组求 得精确解，或近似积分解，大量的将依赖于数值解。本章将分别讨论如下凡个问题：（I ）管 槽内充分发展的层流流动与换热：（2）平行板面间的层流流动和换热：（3）掠过平板的层流 边界层对流换热的精确解与近似解：（4）竖板上层流自然对流换热的精确解与近似积分解。 最后，对于考虑能量粘性耗散的高速气流换热的内容可参考有关资料。
6-1圆管内充分发展的层流流动和换热
一、进口段与充分发展区
流体在管内的稳定流动，应划分成两个区域：进
口段和充分发展区。在这两个区段中，流动状况和换
热状况都不一样。在进口段，流体的流动状况与传热
对流换热与准则数
单相流体对流换热及准则关联式部分
返回一、基本概念
主要包括对流换热影响因素；边界层理论及分析；理论分析法（对流换热微分方程组、边界层微分方程组）；动量与热量的类比；相似理论；外掠平板强制对流换热基本特点。
1、由对流换热微分方程知，该式中没有出现流速，有人因此得出结论：表面传热系数h与流体速度场无关。试判断这种说法的正确性?
答：这种说法不正确，因为在描述流动的能量微分方程中，对流项含有流体速度，即要获得流体的温度场，必须先获得其速度场，“流动与换热密不可分”。因此表面传热系数必与流体速度场有关。
2、在流体温度边界层中，何处温度梯度的绝对值最大?为什么?有人说对一定表面传热温差的同种流体，可以用贴壁处温度梯度绝对值的大小来判断表面传热系数h的大小，你认为对吗?
答：在温度边界层中，贴壁处流体温度梯度的绝对值最大，因为壁面与流体间的热量交换都要通过贴壁处不动的薄流体层，因而这里换热最剧烈。由对流换热微分方程，对一定表面传热温差的同种流体λ与△t均保持为常数，因而可用绝对值的大小来判断表面传热系数h的大小。
3、简述边界层理论的基本论点。
答：边界层厚度δ、δt与壁的尺寸l相比是极小值；
边界层内壁面速度梯度及温度梯度最大；
边界层流动状态分为层流与紊流,而紊流边界层内,紧贴壁面处仍将是层流,称为层流底层；
流场可以划分为两个区：边界层区（粘滞力起作用）和主流区，温度同样场可以划分为两个区：边界层区（存在温差）和主流区（等温区域）；
对流换热热阻主要集中在热边界层区域的导热热阻。层流边界层的热阻为整个边界层的导热热阻。紊流边界层的热阻为层流底层的导热热阻。
流体力学中的湍流流动与边界层
流体力学中的湍流流动与边界层流体力学是研究流体运动规律的学科，其中的湍流流动和边界层是
流体力学中的重要概念和研究内容。本文将详细介绍流体力学中的湍
流流动和边界层，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、湍流流动
湍流是流体力学中流动状态的一种，具有不规则、随机、混沌等特点。相比于层流流动，湍流流动更为复杂和难以预测，主要体现在流
速和压力的不规则变化上。
湍流流动的产生与流体的运动粘滞性、速度梯度和流速等因素有关。当流体速度达到一定值时，流体内的涡旋和涡核开始发生不断变化与
演化，从而形成湍流。湍流的特点包括涡旋的旋转、涡核的运动、速
度的乱流扩散等。
湍流流动在自然界和工程领域中广泛存在。例如，在大气环流中，
气候系统中的飓风和龙卷风就是湍流现象的典型表现。此外，湍流流
动还广泛应用于船舶、飞机、汽车等交通工具的设计和流体动力学的
研究中。
二、边界层
边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体运动中与边界接触的
区域。边界层中的流体速度和压力分布具有明显的变化，可以用来描
述流体在壁面附近的流动特性。
边界层主要有两种类型：层流边界层和湍流边界层。层流边界层是
指流体在边界附近以有序的方式流动，流速梯度较小，流体粘性起主
导作用。湍流边界层是指在湍流环境下，流体在边界附近的混乱流动。
边界层的存在对流体运动过程起到了重要作用。首先，边界层中的
摩擦力会对物体表面施加阻力，影响物体的运动。其次，边界层中的
速度分布对流动的稳定性和流体的传热性能产生重要影响。
三、湍流流动与边界层的关系
湍流流动与边界层密切相关。在边界层内，由于速度和压力的不规
层流边界层流动与换热的相似解
831外掠平板层流边界层流动和换热的相似解布拉修斯解边界层内速度分布摩擦系数流动阻力波尔豪森解边界层内温度分布传热系数换热情况83体温度将在靠近壁面的一个很薄的区域内从壁面温度变化到主流温度该层称为温度边界层
8-3 层流边界层流动和换热的相似解
8-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解
布拉修斯解→边界层内速度分布→摩擦系数→流动阻力 波尔豪森解→边界层内温度分布→传热系数→换热情况
8-3-2 外掠楔状体层流边界层流动与换热的相似解
流体流过一个楔形物的速度变化满足U∞ = cxm ，如下图所示。 若表面与流动方向成β/2角，指数m与夹角β的关系是：
引入伯努利方程：
即：
代入边界层动量微分方程：
采用与布拉修斯解类似的相似变换得到：
局部摩擦系数为 的数值与β有关。
传热相似解与波尔豪森解类似，得到常微分方程：
。
式(8-3-36)表明 是Pr数的函数，波尔豪森给出 了一系列 的数值。表7-2 给出了不同Pr数时外 掠平壁的 的数值。可以发现，在Pr = 0.6 ～15 的范围内， 可以十分精确地用 表 示。
即：
对于Pr < 0.6的低普朗数流体，其导热性能很好，前 面边界层分析已说明，当 Pr << 1时速度边界层厚度 远小于温度边界层厚度，可以近似认为温度边界层内 速度为主流速度U∞，即 。代入方程(8-3-32)得：
8-3 层流边界层流动和换热的相似解
8-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解
布拉修斯解→边界层内速度分布→摩擦系数→流动阻力 波尔豪森解→边界层内温度分布→传热系数→换热情况
8-3-2 外掠楔状体层流边界层流动与换热的相似解
流体流过一个楔形物的速度变化满足U∞ = cxm ，如下图所示。 若表面与流动方向成β/2角，指数m与夹角β的关系是：
引入伯努利方程：
即：
代入边界层动量微分方程：
采用与布拉修斯解类似的相似变换得到：
局部摩擦系数为 的数值与β有关。
传热相似解与波尔豪森解类似，得到常微分方程：
。
式(8-3-36)表明 是Pr数的函数，波尔豪森给出 了一系列 的数值。表7-2 给出了不同Pr数时外 掠平壁的 的数值。可以发现，在Pr = 0.6 ～15 的范围内， 可以十分精确地用 表 示。
即：
对于Pr < 0.6的低普朗数流体，其导热性能很好，前 面边界层分析已说明，当 Pr << 1时速度边界层厚度 远小于温度边界层厚度，可以近似认为温度边界层内 速度为主流速度U∞，即 。代入方程(8-3-32)得：
2.2 对流换热
湍流：
＝B t
1
3
[W/m2· º C]
t 14 层流： ＝A ( ) lo
[W/m2· º C]
22
(2) 壁面（如窑炉外表面）向大气散热
= (tw- tf)0.25
K——取决于壁面位置：
[W/m2· º C]
散热面垂直：K2.21.162=2.56 散热面水平(朝上)：K2.81.162=3.25 散热面水平(朝下)：K(1.41.8)1.162 =1.632.09
19
流体受迫横掠园管时的对流换热 (1) 单管（定性尺寸为管外径）：
1＜Ref ＜103时：
Nu f ( 0.43 0.5 Re
0.5 f
) Pr
0.38 f
(
Prf Prw
0.25
)
0.25
103 ＜Ref ＜ 2×105 时：
Nu f 0.25 Re Pr
0.6 f
0.38 f
或(指数形式)：
Nu = C (Gr· n Pr)
12
自然对流也有层流、 湍流之分，其分界 点为：Gr· Pr=109 Gr 越大，自然对流 换热越强烈
分段 1 2 3 4 Gr · Pr ＜1×10-3 1×10-3 5×102 5×102 2×107 2×107 1×1013
Gr · 109 Pr
＝B t
1
3
[W/m2· º C]
t 14 层流： ＝A ( ) lo
[W/m2· º C]
22
(2) 壁面（如窑炉外表面）向大气散热
= (tw- tf)0.25
K——取决于壁面位置：
[W/m2· º C]
散热面垂直：K2.21.162=2.56 散热面水平(朝上)：K2.81.162=3.25 散热面水平(朝下)：K(1.41.8)1.162 =1.632.09
19
流体受迫横掠园管时的对流换热 (1) 单管（定性尺寸为管外径）：
1＜Ref ＜103时：
Nu f ( 0.43 0.5 Re
0.5 f
) Pr
0.38 f
(
Prf Prw
0.25
)
0.25
103 ＜Ref ＜ 2×105 时：
Nu f 0.25 Re Pr
0.6 f
0.38 f
或(指数形式)：
Nu = C (Gr· n Pr)
12
自然对流也有层流、 湍流之分，其分界 点为：Gr· Pr=109 Gr 越大，自然对流 换热越强烈
分段 1 2 3 4 Gr · Pr ＜1×10-3 1×10-3 5×102 5×102 2×107 2×107 1×1013
Gr · 109 Pr
第八章__槽道内层流流动与换热
由壁面摩擦系数定义
w
du 4U dr r r0 r0
(8-2-l)
Cf
w
1 U 2 2
8-2 充分发展流的流动与换热
得到
Cf
通常，在讨论槽道流时经常使用阻力系数，并定义为
4 U r0 8 16 1 U 2 Ur0 Re 2
(8-2-2)
8-2 充分发展流的流动与换热
dU c d (U c u )udy 0 dx dx
0
u (U c u )dy ( ) y D 2 (8-l -3) y
D 2
(8-l-4)
由质量守恒得到
0
udy
D 2
U c dy U
8-l 进口段和充分发展流
h
t w tm
t w tm
8-2 充分发展流的流动与换热
2. 充分发展的温度分布 从上式可以看出，欲得到传热速率，首先要确定流体的温度场。
通常的方法是求解能量方程。二维管流的能量方程为
t t 2t 1 t 2t u v a( 2 2) x r r r r x
方向的速度。在断面上变化，法向速度v可以忽略。由方程(8-1-11) 得到
v 0, u 0 x
第八章 槽道内层流流动与换热
前已说明，边界层理论是讨论在有限细长区域内的粘性流动，因
x D 0.01 Re D
(8 -l-l)
8-l 进口段和充分发展流
图8-1 两平行平板间层流流动边界层的形成与发展
8-l 进口段和充分发展流
与外掠平板不同的是，由于边界层的排挤，部分流体进入核心区
使之加速。这种加速使进口段边界层的增厚减缓，但每个流动断 面的质量流量ρUD是相同的。 在入口段的核心区域，压力与速度的关系可以由伯努利方程得到， 即 dU c 1 dp Uc 0 (8-1-2) dx dx 其中Uc为核心无粘区的流速。值得注意的是，Uc＝Uc (x)，与外掠 平板状况有所不同。 同样，采用积分方程可以得到
h
t w tm
t w tm
8-2 充分发展流的流动与换热
2. 充分发展的温度分布 从上式可以看出，欲得到传热速率，首先要确定流体的温度场。
通常的方法是求解能量方程。二维管流的能量方程为
t t 2t 1 t 2t u v a( 2 2) x r r r r x
即
积分上式得
(8-1-18)
速度分布是抛物线型。
8-l 进口段和充分发展流
一般式(8-1-16)可以表示为
dp 2u 常数 dx
(8-l-19)
第九章 湍流流动与换热
高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热
t qx = ρ c p u ′t ′
q ty = ρ c p v′t ′
t qz = ρ c p w′t ′
9-2 湍流微分方程
∂u ∂ v + =0 ∂x ∂y
ρ u
∂u ∂u d p ∂ ∂u +v = − + µ − ρ u′v′ ∂y dx ∂y ∂y ∂x
第九章 湍流流动与换热
前面两章讨论的是外掠物体和管内流动的层流对流换 热，然而不可能在所有Re数下都能得到层流。 由流体力学可知，当Re数超过一定数值后，流体中会 出现脉动，层流可发展成为或诱导出更加复杂的流 动——湍流。 湍流传热问题包括湍流的流动行为、工程传热中的主 要应用以及湍流如何进行热量与动量传递。 本章将扼要介绍湍流的基本概念、湍流传热的基本处 理方法和一些经验关系式。
( )
( )
（9-2-5） 类似地可以得到y、z方向的时均形式的动量方程：
u ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ ∂ ∂ +v +w = − + v∇ 2 v − u′v′ − v′2 − ( v′w′ ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z （9-2-6）
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流 第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算 第十三章 复合换热
t qx = ρ c p u ′t ′
q ty = ρ c p v′t ′
t qz = ρ c p w′t ′
9-2 湍流微分方程
∂u ∂ v + =0 ∂x ∂y
ρ u
∂u ∂u d p ∂ ∂u +v = − + µ − ρ u′v′ ∂y dx ∂y ∂y ∂x
第九章 湍流流动与换热
前面两章讨论的是外掠物体和管内流动的层流对流换 热，然而不可能在所有Re数下都能得到层流。 由流体力学可知，当Re数超过一定数值后，流体中会 出现脉动，层流可发展成为或诱导出更加复杂的流 动——湍流。 湍流传热问题包括湍流的流动行为、工程传热中的主 要应用以及湍流如何进行热量与动量传递。 本章将扼要介绍湍流的基本概念、湍流传热的基本处 理方法和一些经验关系式。
( )
( )
（9-2-5） 类似地可以得到y、z方向的时均形式的动量方程：
u ∂v ∂v ∂v 1 ∂p ∂ ∂ ∂ +v +w = − + v∇ 2 v − u′v′ − v′2 − ( v′w′ ) ρ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z （9-2-6）
5-3-1速度边界层与热边界层
紊流核心
缓冲区紊流边界层
紊流核心
湍流核心
缓冲
Re 5c =⨯紊流边界层
层流
流体外掠圆管:
要满足边界层类型的流动，仅当流体不脱离固体表面时才存在。
层流边界层流动与换热的相似解教学内容
温度边界层厚度用δt表示，通常规定其边界在垂直 于流动方向流体温差t∞－t =0.99(t∞－tw)处。在温度 边界层内，温度梯度很大，而其外部温度梯度很小 可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处理。 热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速 度边界层厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的 关系通常取决于流体的热物性。
。
式(8-3-36)表明
是Pr数的函数，波尔豪森给出
了一系列
Baidu Nhomakorabea
的数值。表7-2 给出了不同Pr数时外
掠平壁的
的数值。可以发现，在Pr = 0.6 ～15
的范围内，
可以十分精确地用
表
示。
即：
对于Pr < 0.6的低普朗数流体，其导热性能很好，前
面边界层分析已说明，当 Pr << 1时速度边界层厚度
远小于温度边界层厚度，可以近似认为温度边界层内
8-3 层流边界层流动和换热的相似解
8-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解
布拉修斯解→边界层内速度分布→摩擦系数→流动阻力 波尔豪森解→边界层内温度分布→传热系数→换热情况
1、温度边界层
• 当具有均匀温度t∞的流体流过温度为tw壁面时，流 体温度将在靠近壁面的一个很薄的区域内从壁面温 度变化到主流温度，该层称为温度边界层。
2、波尔豪森解 对于忽略粘性耗散的常物性不可压缩流体的二维 稳态流动，其边界层能量方程为：
层流边界层流动和换热的相似解(一) 共17页PPT资料
dppp dy dx x y dx
（4）
从动量方程的数量级分析，考虑压力项和摩擦项平衡， 如方程（1），有
p～
x
U 2
类似地，由方程（2）得
p ～
y
v 2
再考虑方程（3）的右侧第二项的数量级
(p/y)d ( /yd)x ～v～ （ ） 2 ＜1＜
p/x
dx
uv 0 x y
（ u u xv u y) 1dd px y 2u 2
=0
布劳修斯方程
0, f ' f 0
边界条件为
, f ' 1
泰勒级数展开法求解该非线性方程【第二版P162】
由书中表8-1可知，η=5.0时，则
f
'
u U
0.9915通5
（3）边界层能量方程，经类似分析有：
u
t x
v t y
ay2t2
（4）综上，经数量级分析简化后的控制方程为：
uv 0 x y
（ u u xv u y) 1dd px y 2u 2
t t
2t
ux vy ay2
二、外掠平板层流边界层流动和换热的相 似解（一）——布拉修斯解
2T 2T
uxvya(x2 y2)
u|y00,v|y00,t |y0tw u|yu,t |yt u const
第5章 对流传热理论与计算-3-边界层理论
Tw
在壁面加热作用下，流体温度将发生变化： ——和壁面直接接触的流体：具有壁面温度Tw ——随着离开壁面距离的增加，流体的温度逐渐得以恢 复（为什么？）
26
壁面附近温度变化的机理
27
1 热边界层的定义
热边界层—将壁面附近温度发生剧烈变化的流体薄层
Thermal boundary layer
群论、函数论中有贡献）的赏识
克莱因推荐他担任哥廷根大学应用力学系主任，后又支 持他建立并主持空气动力实验所和威廉皇家流体力学研 究所
7
普朗特
普朗特在力学方面取得许多开创性成果 ——边界层理论 ——风洞实验技术 ——机翼理论
——湍流理论
普朗特的边界层理论极大地推进了空气动力学的发展
流动边界层——壁面摩擦力对流体速度影响的范围，取
决于流体的粘性
边界层内速度发生变化，动量也发生变化，边界层厚度
反映了流体动量变化的范围
运动粘度反映了流体传递动量能力的大小，因此也称为
动量扩散系数
34
热边界层——热量在流体内部的影响范围或扩散程度 ——壁面传热对流体温度影响的程度范围 导温系数反映了流体传递热量能力的大小，也称为热量 扩散系数
流动边界层壁面摩擦力对流体速度影响的范围取决于流体的粘性边界层内速度发生变化动量也发生变化边界层厚度反映了流体动量变化的范围运动粘度反映了流体传递动量能力的大小因此也称为动量扩散系数导温系数反映了流体传递热量能力的大小也称为热量扩散系数边界层越厚说明壁面的传热或摩擦对流体的温度或速度的影响越大热边界层内的传热机理取决于流动边界层内的流动状态液态金属只有10239利用pr数定性地判断两类边界层厚度的相对大小流动边界层和热边界层的相对大小意味着流体的运动粘度较大粘性的影响区域越广速度边界层越厚说明热量扩散能力大于动量扩散的能力热量的影响范围大热边界层越厚流体沿平板的层流流动若两类边界层能同时形成于平板的前缘时prpr02650pr在距管入口处的某个长度达到管半径边界层充满了整个管道流动入口段长度管入口到边界层开始充满整个管道间的长度管内紊流流动先形成层流边界层然后迅速转换为紊流边界层直到发展到最后的充分发展状态而保持不受管内空间限制在离管入口的某个长度处热边界层充满整个管道换热入口段管入口到热边界层开始充满整个管道的长度记作l51换热充分发展的特点3无量纲温度维持不变rxwxfxwxrx距管轴线r入口x处的流体温度wx离入口x处的管壁温度fx离入口x处的截面上流体的平均温度数量级分析法通过比较方程式中各项的数量级大小将数量级大的项保留下来舍去数量级较小的项从而实现方程式的合理简化数量级分析法在工程问题的分析中有着广泛的应用和重大的实用价值57参数数量级的确定流体沿x方向流动与板长l有关
层流边界层的流动与换热
7-2 边界层分析
上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方程，除极少数简 单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗特提出的边界层理论大大简化了 纳维-斯托克斯方程，使许多工程间题得到了有效的解决。
7-2-1 速度边界层
通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用，在壁面处流体 的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速度迅速增加到接近主流速度 （即速度梯度主要出现在靠近壁面的区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄 层内考虑粘性的影响，此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。
7-2-4 边界层流动与传热分析
流动摩擦阻力 U
对于具有均匀压力的自由流， 项～摩擦力项
(7-2-17)
d，p根据0边界层的动量方程(7-2-15)有惯性力 dx
式(7-2-18)要求
U2 L
v
U
2
(7-2-18)
(
vL
)
1 2
即
U
式中ReL是基于流动方向长度的雷诺L数。ReL
1 2
(7-2-19) (7-2-20)
层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特数，即
t ~ Pr1 2
(7-2-27)
低普朗特数(Pr<<1 )下的对流换热表面传热系数可以表示为
或表示为努塞h尔~数L的Pr形1 2式R，：ePL1r
流体力学中的流体中的湍流边界层传热
流体力学中的流体中的湍流边界层传热
在流体力学中，流体的湍流边界层传热是一个重要且复杂的研究领域。湍流边界层传热现象不仅在自然界中普遍存在，而且在工程和科学领域中也具有广泛的应用。本文将从湍流边界层传热的概念、特征及其影响因素等方面进行论述。
一、湍流边界层传热的概念
湍流边界层传热是指在流体运动中，当流速达到一定阈值时，流体会在固体表面形成湍流，从而增强固体表面与流体之间的传热效果。湍流边界层传热的主要机制包括湍流速度场的非均匀性和湍流涡的产生与传递。
湍流边界层传热除了在大气中的天气系统中起着重要作用外，还广泛应用于航空、电子、能源等领域中。例如，飞机的气动性能和发动机的热力特性都与湍流边界层传热密切相关。
二、湍流边界层传热的特征
湍流边界层传热具有以下几个显著的特征：
1. 高传热强度：湍流边界层传热时，相较于层流传热，能够实现更高的传热效果。湍流的非均匀性使得热量能够更快地从固体表面传递到流体中。
2. 非线性：湍流边界层传热是一个高度非线性的过程，其传热特性
受到很多因素的影响，如湍流强度、壁面条件以及湍流尺度等。因此，湍流边界层传热的研究和模拟都需要考虑这些非线性因素。
3. 局部尺度效应：湍流边界层传热时，流体与固体表面之间的传热
效果通常在边界层内部最强。在离壁面距离较远处，流体的传热效果
会逐渐减弱。
4. 温度剖面的不均匀性：在湍流边界层传热过程中，流体温度呈现
明显的剖面变化。通常，在流体靠近固体表面时，温度梯度较大，而
在边界层外部，温度梯度则较小。
三、湍流边界层传热的影响因素
湍流边界层传热受到多个因素的综合影响，其中最主要的影响因素
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7-2 边界层分析
上一节给出的二维稳态常物性的数学方程是一组非线性偏微分方 程，除极少数简单状况外，通常不能得到分析解。1904 年，普朗 特提出的边界层理论大大简化了纳维-斯托克斯方程，使许多工程 间题得到了有效的解决。
7-2-1 速度边界层
通过实验观察可以发现，流体流过平板时，由于流体粘性的作用， 在壁面处流体的速度为零，在垂直于流动方向的很短距离内，速 度迅速增加到接近主流速度（即速度梯度主要出现在靠近壁面的 区域）。边界层理论认为，只在贴壁处的薄层内考虑粘性的影响， 此薄层称为速度边界层，如图7-2 所示。
7-2 边界层分析
图7-3 外掠平板的温度边界层
7-2 边界层分析
7-2-3 边界层微分方程组
在主流区
u=U , v 0, p p,t t
(7-2-1)
用量δ级表。示在速边度界u由层壁区面域处，的可u以=得0 到变如化下到数接量近级主关流系速：度U∞的距离的数
x～ L ，y～δ，u～U∞ 在包含边界层的δ×L区域，考虑连续性方程
(7-2-9)
7-2 边界层分析
从动量力程的数量级分析．考虑压力项与摩擦项平衡，如方程(7-
2-5) 有
p x
U 2
(7-2-10)
类似地，由方程(7-2-6)得
p y
v 2
(7-2-11)
现考虑方程(7-2-9)的右侧第二项的数量级
(p x)(dy dx) v ( )2 1
p x
UL L
比较方程(7-2-7 )右侧两项，得到
(7-2-30)
7-2 边界层分析
将式(7-2-29 )代入式(7-2-24 ) ，得到
t
L
~
Pr1 3 ReL1 2
(7-2-31)
与式(7-2-20 )比较，可知
t ~ Pr1 3 1
(7-2-32)
类似地可以得到大Pr 数下对流换热表面传热系数和努塞尔数的变 化规律：
h
~
L
Pr1 3
Re
1 L
7-2 边界层分析 图7-4 平壁上的速度边界层
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
引入无量纲速度
u U
和相似变量η：
u ()
U
相似变量η与坐标y 成正比，比例系数与x有关。令
( 7-3-1 )
y
(x)
y x
Rex1 2
y
U vx
u
(7-3-2)
可见，边界层内不同x处 U 量纲速度分布亦是相同的。
将其带入方程(7-2-24)，不难发现对流项主要由第一项控制，即
进一步可以得到
U t
t
L ~ a t2
t
L
~
Pe1 2
~
Pr1 2
~
ReL1 2
(7-2-25) (7-2-26)
7-2 边界层分析
其中 PeL U L a 是贝克来数。比较式(7-2-20 )和式(7-2-26)可以
发现，温度边界层厚度与速度边界层厚度之间的关系取决于普朗特
第十三章 复合换热
第七章 层流边界层的流动与换热
上一章从质量、动量和能量守恒出发，建立了对流换 热的数学描述。但是，由于方程的强非线性，得到这 些偏微分方程的分析解通常是十分困难的，只有极个 别的问题采用经典方法得到了分析解。
本章讨论边界层理论，导出边界层微分力程，它是基 于守恒原理的数学近似，为求解实际问题大大简化了 数学方程组。有关边界层微分方程的经典解法 —— 相 似解，在本章中给予详细讨论，同时，对求解简单积 分方程的方法进行介绍。
2
，Pr>>1
(7-2-33)
Nu
~
Pr1
3
Re
1 L
2
，Pr>>1
(7-2-34)
在边界层内，惯性力与粘性力始终是平衡的，Re反映的是一个几 何尺寸特性一边界层的厚度与流动长度的比值[见式(7-2 - 20 )]。
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
7-3-1 外掠平板层流边界层流动和换热的相似解
7-2 边界层分析
式(7-2 -20)的意义在于，它指出了只有 ReL1 2 1 的情形，边界层
理论才有效。例如，在边界层的前缘， 界层理论不适用。
Re
1 L
2
不会远小于1，故边
式(7-2-17)可改写为
U L
ReL
1 2
U
2
ReL
1 2
(7-2-21)
无量纲摩擦系数 C1
(
1 2
U
2
)
取决于雷诺数，即
考虑常物性不可压流体流过平板的二维稳态边界层的连续性方程 (7-1-1)和动量方程(7-2-14) ：
u v 0
(1)
x y
(2)
u
u x
v
v y
v
2u y 2
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
对应的边界条件是 y = 0, u = v = 0 y → ∞, u → U∞ 应用流函数，连续性方程得到满足, 动量方程的形式为
域，δ <<L，对于粘性力项，与 y2相比， 是x方向的动量方程即式(7-l-2 )简化为
x 2 可以忽略不计，于
u
u x
v
u y
1
p x
2u y 2
(7-2-5)
7-2 边界层分析
类似分析可以得到边界层内y方向的动量方程
u
v x
v
v y
1
p y
2v y 2
(7-2-6)
通过数量级分析可以得到
p 0 y
C1
~
ReL
1 2
分析基于热边界层厚度的换热方程，有
(7-2-22)
h ~ (t t ) ~
式中，t tw t 表示边界层的温度变化。t
t
(7-2-23)
7-2 边界层分析
考虑边界层能量方程各项的数量级：
对流项～导热项
t t t
u
L
,v
t
~
a
2 t
(7-2-24)
若外热的边速界度层u 等厚于度主远流大速于度速U度∞，边得界到层该厚区度域，的δt >速>度δ，则v速~度U边 界。L层
1. 布劳修斯解 上节边界层分析给出了边界层微分方程组，在一定条件下，通过 不同方式可以获得解，本书采用相似变换求解，也称相似解。相 似解的核心是经过选择合适的相似变量，将偏微分方程转化为常 微分方程。1908 年，布劳修斯采用无量纲流函数及无量纲坐标， 求解了外掠平板层流边界层流动的偏微分方程，如图7-4 所示， 边界层内流动方向的速度从壁面处为零一直变化到远离壁面处的u = U∞。尽管边界层内速度分布不相似，但不同x处的速度变化范围 是相同的, 即速度分布被伸展。
类似地分析可以得到边界层能量方程
u t v t a 2t
x y y2 (7-2-16)
式(7-l-1)、(7-2-15 )和(7-2-16)称为边界层微分方程组，它只包含u、
dp
v、t三个未知量，dx 可由主流伯努利方程得到。与粘性流体的微
分方程组相比，边界层微分方程组容易求解。
7-2 边界层分析
7-1 对流换热中的根本问题
图7-1 沿平板流动的边界层速度和温度分别
7-1 对流换热中的根本问题
可以通过实验的方法，也可以通过分析的方法得到以上问题的速 度分布和温度分布，进而获得流动阻力和热流密度。 以二维常物性不可压缩流体为例，控制微分方程组可由第ຫໍສະໝຸດ Baidu章中 的基本方程得到：
u v 0 x y
与η的关系是相同的，对于η的无
将速度用流函数φ表示：
u , v
y
x
(7-3-3)
则
u 1
U U y
(7-3-4)
7-3 层流边界层流动和换热的相似解
引入前面定义的相似变量η，得到
令f
u ( ) U Uvx
，称无量纲流函数，则有了
Uvx
(Uvx)1 2 f ()
(7-3-5) (7-3-6)
u u v u 1 p (2u 2u ) x y x x2 y2
u
v x
v
v y
1
p x
2v ( x 2
2v y2 )
u T x
v T y
a(
2T x2
2T y2 )
7-1 对流换热中的根本问题
边界条件为： 壁面处 u = 0，非滑移界面 v = 0，无渗透表面 T = Tc，常壁温 远离壁面处 u＝U∞，均匀流 v = 0，均匀流 T = T∞，均匀温度 求解以上方程组，可以得到速度场和温度场，利用粘 性定律可以得到表面摩擦阻力，利用傅里叶定律可以 得到壁面处的热流密度。
7-2 边界层分析
7-2-2 温度边界层
与速度边界层类似，当具有均匀温度的流体流过一壁面时，若壁 面温度与流体温度不同，流体温度将在靠近壁面的一个很薄的区 域内从壁面温度变化到主流温度，该层称为温度边界层，或热边 界层。热边界层厚度用δt表示，如图7-3 所示，通常规定其边界在 垂直于流动方向流体温差t∞－t 等于0.99(t∞－tw)处，t∞表示主流温 度，tw表示壁面温度。在温度边界层内，温度梯度很大，而其外 部温度梯度很小可以忽略不计，即热边界层外可近似按等温区处 理。热边界层厚度与流动方向的尺寸相比也是小量。速度边界层 厚度通常不等于温度边界层厚度，两者的关系通常取决于流体的 热物性。
7-1 对流换热中的根本问题
工程上经常遇到的典型对流换热的外部问题，如图7-1 所板示。，这流种体换以 热均表匀面的可速以度是建u∞和筑温围度护T结∞构流、过电温于度器为件Tc的冷平 却表面，也可以是换热器的表面或肋表面。工程中需 要了解以下两个问题： (1) 介质中平板的受力情况。 (2) 平板与介质的换热情况。 对第一个问题的分析，可以得到流动的阻力(压力损失)， 也就是维持流动所需要的泵功率或能耗。这是流体力 学与工程热力学应用于传热过程的问题。通过对第二 个问题的回答，可以预测平板与介质之间的传热速率， 这是传热学的根本问题。
(7-2-7)
因此，通常在边界层流动中(特别是层流)不讨论方程(7-2-6) ，但 它对边界层内的压力分析提供了帮助。
也可以通过以下分析简化压力项。考虑图7-l 所示的边界层内任一
点的压力的全微分
dp p dx p dy
x y
(7-2-8)
除以dx，得到
dp p p dy dx x y dx
7-2 边界层分析
图7-2 外掠平板的速度边界层
7-2 边界层分析
通常定义边界层的外缘为速度达到主流速度的99％处，即u = 0.99U，U 表示主流速度。在y＝δ以外区域，粘性的影响由于速度 梯度很小而忽略不计，按理想流体处理。边界层理论将流场分为 两个区域。其一是流体粘性起主要作用的边界层区。此区域中垂 直于主流方向的速度梯度很大，尽管介质的粘性较小，但粘性切 应力很大，动量传递主要依靠分子扩散，认为边界层外缘的速度 已达到主流速度，此处横向速度梯度接近于零。另一区域是边界 层外的流动，该区域中流体的速度梯度接近于零，粘性力可以忽 略不计，按无粘性的势流处理，符合伯努利方程。严格地讲，边 界层区与主流区无明确的分界面，按实际壁面粘性滞止作用的影 响区，其边界应在无限远处。因此，边界层是一种人为引进的理 想化概念。 边界层的另一重要特点是其厚度δ远远小于平壁的长度L ，即占 δ<<L。理论上讲，在平板前缘边界层理论并不成立，在以后的分 析中不难得到此结论。 此外，边界层内的流动也分为层流区、湍流区和缓冲层区，这些 在流体力学和基础传热学中已有详细介绍，这里不再重复。
(7-2-2)
u v 0 x y
U V
L
(7-2-3)
可知 V U
L
(7-2-4)
7-2 边界层分析
考虑边界层内x 方向的动量方程
u
v
v
v
1
p
(2v
2v )
x y x x2 y2
U
U L
,v
U
P ,vU ,vU
L L
在上式中，惯性力项均为U2 ，不能忽略任一项。但在边界层区
L
2u
2u
(7-2-12 )
dp p dx x
7-2 边界层分析
与式(7-2-7)一致。即边界层内的压力主要在x方向变化。任意x处， 边界层内的压力与边界层外缘处压力相同，即
将方程(7-2-14 )代入方程(7-2-5)得
dp p dx x
(7-2-14)
u
u x
v
u y
1
dp dx
2u y 2
(7-2-15)
高等传热学内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章
导热理论和导热微分方程 稳态导热 非稳态导热 凝固和熔化时的导热 导热问题的数值解 对流换热基本方程 层流边界层的流动与换热 槽道内层流流动与换热 湍流流动与换热
第十章 自然对流
第十一章 热辐射基础 第十二章 辐射换热计算
数，即
t ~ Pr1 2
(7-2-27)
低普朗特数(Pr<<1 )下的对流换热表面传热系数可以表示为
h
~
L
Pr1 2
Re
1 L
2
，Pr
<<1
或表示为努塞尔数的形式：
(7-2-28)
Nu
~
Pr1
2
Re
1 L
2
(7-2-29)
若速度边界层厚度远大于温度边界层厚度, 则温度边界层内的速度 可认为
u ~ U t
7-2-4 边界层流动与传热分析
流动摩擦阻力 U
(7-2-17)
对于具有均匀压力的自由流，dp 2-15)有惯性力项～摩擦力项 dx
0
，根据边界层的动量方程(7-
U2 L
式(7-2-18)要求
v U
2
(7-2-18)
(
vL
)
1 2
U
即
L
ReL
1 2
式中ReL是基于流动方向长度的雷诺数。
(7-2-19) (7-2-20)