细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Fcr 3
d 4 a 2 d 2 I y 2 64 2 4
2
a
y
Fcr1
3
Fcr 3
2 4 2 d a d 2 E 2 3 4 2 2 64 2 4 EI E d 4 a d 2 2 2 2 128L2 L 2 L
Fcr 2
Iz
d 4
64
2
z
Fcr 2
E 2 EI 64 2 2 L 2 2 L 2
2
d 4
3 Ed 4
128 L2
两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如 图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式, 并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件) 3.两杆下端固定上端自由，以y为中性轴弯曲失稳。
F
Fmax A 215 32 1 6880 N
15N
32 mm
1mm
再如取一根平直的钢锯条，长度为310mm，横截面尺 寸为11.5×0.6mm2，材料的许用应力[σ ] =230MPa， 根据强度条件可以计算出钢锯条能够承受的的轴向压力 为F=11.5×0.6×106×230×106≈1600N，而实际上， 这个钢锯条会在不到5N的压力下就朝厚度很薄的方向 弯曲，丧失承载能力。由此可见，钢锯条的承载能力并 不是取决于其轴向的压缩强度，而是与它受压时直线形 式的平衡失去稳定性有关。
2 EI 2 EI 2 LBC L sin 2
arctg ctg 2
两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如 图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式, 并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)
Fcr1
压杆失稳可能有以下三种形式: 1.每根压杆两端固定分别失稳
边界条件
Fcr EI
y
x0 L x 2
y0 yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
B0
挠曲线中点的挠度
L A sin k 2
A
xL
y0
0
kL sin 2 sin kL
kL sin 2
kL sin 2 kL 2 cos 0 2
B
FAB
FBC
F
F
B
FAB F cos
FBC F sin
2.两杆分别达到临界力时F可达最大值
A
C
AB Fcr
2 EI 2 EI 2 LAB L cos 2
l
BC FBC Fcr tg AB ctg 2 FAB Fcr
BC Fcr
第11章
压
杆
稳
A
定
220kN 220kN B
C 4m 4m
D 4m
max
FN max A
轴向受压
max
FN Fe A WZ
单向偏心受压
3m
图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力， 其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺 能承受的荷载.
I max
1 323 mm4 12 32 13 mm4 12
I min
3 32 1 2 210 103 12 Fcr 15.4 N 2 0.6
两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内 因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设 0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。 1.节点B的平衡
压杆稳定性的概念
构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳定平衡、不稳衡和临界平 衡。判断平衡是否稳定，必须加干扰。干扰可以是加一个力；可 以是使其振动；甚至是吹一口气。 1、稳定平衡：干扰去掉以后，构件可以完全恢复原有形式下的平 衡，称为稳定平衡。 2、不稳平衡：干扰去掉以后，构件不能完全恢复原有形式下的平 衡，称为不稳定平衡。 3、临界平衡（随遇平衡）：临界情况。小变形情况下，干扰到那 里，就在那里保持曲线形式的平衡。
§2 简化
1 2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
剪切变形的影响可以忽略不计 不考虑杆的轴向变形
F
Fcr
x
Fcr
M x Fcr y
Fcr y d2y dx 2 EI
M x
d2y M x 2 dx EI d2y 2 k y0 2 dx
k2
y A sin kx B cos kx
x
sin kx
kL 2 cos 0 2
0
n 1,
k
2
kL cos 0 2
kL n 2 2
3,
5...
Fcr k EI
2
n 1
kL 2 2
2
L2
L
2 2
Fcr EI
Fcr
2 EI
L
2
欧拉公式
A
kL sin 2
Ed
8L
2
4
Fcr 2
3 Ed 4
128 L
2
Fcr min Fcr 2
3 Ed 4
128L2
一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可 沿水平方向移动，设EI为常数，求临界力。
F
M ( x) Fy M 0
x F M0
y
L
x
F
M ( x)
x
y
F
x
y
M0
M ( x) Fy M 0
A
y sin
L
x
挠曲线为半波正弦曲线
§3
不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉 公式 . 压杆的长度因数
EI Fcr 2 L
2
F
F F F
F
L
L
L
1
2
0.7
0.5
L
利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力
2 EI 2 EI Fcr 2 L L 2
I
d 4
64
2
0.5
d 4
E 2 EI 64 Fcr1 2 2 L 2 0.5L 2
3 Ed 4
8L2
两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如 图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式, 并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件) 2.两杆下端固定上端自由，以z为中性轴弯曲失稳。
d 4 a 2 d 2 I y 2 64 2 4
2
a
y
Fcr1
3
Fcr 3
2 4 2 d a d 2 E 2 3 4 2 2 64 2 4 EI E d 4 a d 2 2 2 2 128L2 L 2 L
Fcr 2
Iz
d 4
64
2
z
Fcr 2
E 2 EI 64 2 2 L 2 2 L 2
2
d 4
3 Ed 4
128 L2
两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如 图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式, 并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件) 3.两杆下端固定上端自由，以y为中性轴弯曲失稳。
F
Fmax A 215 32 1 6880 N
15N
32 mm
1mm
再如取一根平直的钢锯条，长度为310mm，横截面尺 寸为11.5×0.6mm2，材料的许用应力[σ ] =230MPa， 根据强度条件可以计算出钢锯条能够承受的的轴向压力 为F=11.5×0.6×106×230×106≈1600N，而实际上， 这个钢锯条会在不到5N的压力下就朝厚度很薄的方向 弯曲，丧失承载能力。由此可见，钢锯条的承载能力并 不是取决于其轴向的压缩强度，而是与它受压时直线形 式的平衡失去稳定性有关。
2 EI 2 EI 2 LBC L sin 2
arctg ctg 2
两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如 图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式, 并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件)
Fcr1
压杆失稳可能有以下三种形式: 1.每根压杆两端固定分别失稳
边界条件
Fcr EI
y
x0 L x 2
y0 yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
B0
挠曲线中点的挠度
L A sin k 2
A
xL
y0
0
kL sin 2 sin kL
kL sin 2
kL sin 2 kL 2 cos 0 2
B
FAB
FBC
F
F
B
FAB F cos
FBC F sin
2.两杆分别达到临界力时F可达最大值
A
C
AB Fcr
2 EI 2 EI 2 LAB L cos 2
l
BC FBC Fcr tg AB ctg 2 FAB Fcr
BC Fcr
第11章
压
杆
稳
A
定
220kN 220kN B
C 4m 4m
D 4m
max
FN max A
轴向受压
max
FN Fe A WZ
单向偏心受压
3m
图示一600mm长的钢板尺两端铰接放入实验架中受轴向压力， 其横截面积为32mm×1mm。按上面给出的强度条件，求钢板尺 能承受的荷载.
I max
1 323 mm4 12 32 13 mm4 12
I min
3 32 1 2 210 103 12 Fcr 15.4 N 2 0.6
两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内 因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设 0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。 1.节点B的平衡
压杆稳定性的概念
构件在平衡的前提下，平衡形式可以是稳定平衡、不稳衡和临界平 衡。判断平衡是否稳定，必须加干扰。干扰可以是加一个力；可 以是使其振动；甚至是吹一口气。 1、稳定平衡：干扰去掉以后，构件可以完全恢复原有形式下的平 衡，称为稳定平衡。 2、不稳平衡：干扰去掉以后，构件不能完全恢复原有形式下的平 衡，称为不稳定平衡。 3、临界平衡（随遇平衡）：临界情况。小变形情况下，干扰到那 里，就在那里保持曲线形式的平衡。
§2 简化
1 2
细长中心受压直杆临界力的欧拉公式
剪切变形的影响可以忽略不计 不考虑杆的轴向变形
F
Fcr
x
Fcr
M x Fcr y
Fcr y d2y dx 2 EI
M x
d2y M x 2 dx EI d2y 2 k y0 2 dx
k2
y A sin kx B cos kx
x
sin kx
kL 2 cos 0 2
0
n 1,
k
2
kL cos 0 2
kL n 2 2
3,
5...
Fcr k EI
2
n 1
kL 2 2
2
L2
L
2 2
Fcr EI
Fcr
2 EI
L
2
欧拉公式
A
kL sin 2
Ed
8L
2
4
Fcr 2
3 Ed 4
128 L
2
Fcr min Fcr 2
3 Ed 4
128L2
一中心受压直杆如图所示，两端固定，但上端可 沿水平方向移动，设EI为常数，求临界力。
F
M ( x) Fy M 0
x F M0
y
L
x
F
M ( x)
x
y
F
x
y
M0
M ( x) Fy M 0
A
y sin
L
x
挠曲线为半波正弦曲线
§3
不同杆端约束下细长压杆临界力的欧拉 公式 . 压杆的长度因数
EI Fcr 2 L
2
F
F F F
F
L
L
L
1
2
0.7
0.5
L
利用欧拉公式计算前面钢板尺的临界应力
2 EI 2 EI Fcr 2 L L 2
I
d 4
64
2
0.5
d 4
E 2 EI 64 Fcr1 2 2 L 2 0.5L 2
3 Ed 4
8L2
两根直径为d的圆杆,上下两端分别与刚性板固结,如 图示.试分析在总压力作用下,压杆可能失稳的几种形式, 并求出最小的临界荷载.(设满足欧拉公式的使用条件) 2.两杆下端固定上端自由，以z为中性轴弯曲失稳。