图形学—光栅化算法

已知直线段起点(0, 0)，终点(8,6)，利用 Bresenham算法和中点画线算法生成此直线段， 写出生成过程中坐标点及误差e的变化情况,并在 下面的方格中，标出直线上各点
2013-7-30
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9.2 圆的光栅化算法
圆的八对称性 圆心位于原点的圆有四条
y (-x,y) (-y,x) (-y,-x) (-x,-y) o (y,-x) (x,-y) R (x,y) (y,x) x
一个象素点。
P2 Q
M
P=(xp,yp) P1
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9.1.2 中点画线法

问题：判断距离理想直线最近的下一个象素点 已知：线段两端点(x0,y0)，(x1,y1) 直线方程：F(x,y)=ax+by+c=0 a=y0-y1 如何判断M点在Q点上方还是在Q点下方？ b=x1-x0 c=x0y1-x1y0
y方向增加k的办法得到下一个直线点。
x 1 y k
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9.1.1 DDA算法
void Line ( int xs,ys; int xe,ye; int value)
{ //设0≤k≤1,xs<xe //左端点 //右端点 //赋给线上的像素属性值
drawpixel(y,x,color); drawpixel(-x,y,color);
drawpixel(y,-x,color);
drawpixel(x,-y,color); drawpixel(-y,x,color); drawpixel(-x,-y,color); drawpixel(-y,-x,color); }
1.整体介绍 2.建模（图形描述） 3.绘制(光栅化算法) 4.光照模型

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内容提要
直线光栅化算法 圆光栅化算法
多边形的填充
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9.1 直线光栅化算法


假设 整型坐标系，直线段斜率0<m<1 对m＞1，x、y互换 基本原理 确定最佳逼近于该直线的一组象素 按扫描线顺序，对这些象素进行写操作
e

当e<0时，最接近P1(xi+1,yi), y 方向不走步
P
P1

e0=y/ x-0.5
P2
e P
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e’
P1 Computer Graphics
9.1.3 Bresenham算法

设e=e×2x，不影响判断的准确性 当e≥0时，最接近P2(xi+1,yi+1), y方向走一步
9.1.2 中点画线法

d的初始值 d0=F(X0+1,Y0+0.5) =F(X0,Y0)+a+0.5b =a+0.5b d的增量都是整数 用2d代替d：d0=2a+b=a+a+b d1=2a d2=2(a+b)
因(X0,Y0)在直线 上，所以 F(X0,Y0)=0
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当d<0时，M在L(Q点)下方，取P2为下一个象素； 当d>0时，M在L(Q点)上方，取P1为下一个象素；
当d=0时，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；
P2 Q
M
P=(xp,yp) P1
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9.1.2 中点画线法
d=F(M)=F(xp+1, yp+0.5)=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
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9.1.3 Bresenham算法

使用最广泛 与中点画线法的思想类似 由误差项符号决定下一个象素取正右方像 素还是右上方像素
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9.1.3 Bresenham算法

基本思想
比较从理想直线到位于直线上方的像素的距离d2和相邻 的位于直线下方的像素的距离d1 根据距离误差项的符号确定与理想直线最近的象素


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9.2.2 中点画圆法
9.1.1 DDA算法
数值微分分析（Digital Differential Analyzer，DDA）是一种增量算法。其实质是用数 值方法解微分方程，通过同时对x和y各增加一个 小增量，计算下一步的x、y值。
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9.1.1 DDA算法
已知一条直线段L（P1, P2）,其端点坐标分别为：P1 (x1, y1), P2(x2, y2)。直线段所在的直线的斜率为：
= d + a

增量为a
若d＜0，中点M在直线下方，取右上方象素P2 (Xp+1,Yp+1)

再下一个象素的判别式为： d2=F((Xp+1)+1,(Yp+1)+0.5) =a(Xp+2)+b(Yp+1.5)+c =d + a+b 增量为a+b
P2
M P1
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对称轴x=0,y=0,x=y和x=-y。
若已知圆弧上一点(x,y),可以 得到其关于四条对称轴的其它 7个点，这种性质称为圆的八 对称性。
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9.2.1 简单画圆法
y

假设圆心在原点 x2+y2=R2
(-y,x)
(-x,y) R o
(x,y)
(y,x) x (y,-x)

当e<0.5时，最接近 P1(xi+1,yi),y方向不走步
P2

初值：e0= y/ x
P
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e
P1
e’
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9.1.3 Bresenham算法

为方便与0比较，设e=e-0.5 当e≥0时，最接近P2(xi+1,yi+1), y方向走一步
P2
e’

y yk+1 y yk
0
P2
}d
2
P1 xk xk+1
}
d1 x
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9.1.3 Bresenham算法

x方向递增一个单位 y方向走步与否取决于d1-d2的值

取决于误差e值的大小 当e≥0.5时，最接近
P2
e’ e

误差判断

P
P1
P2(xi+1,yi+1), y方向走一步

圆的八对称性

只考虑第二个八分圆 For(x=0;x<=R/
2
(-y,-x)
(-x,-y)
)
(x,-y)
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9.2.1 简单画圆法
void CirclePoints(int x,int y,int color)
{ drawpixel(x,y,color);
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9.1 直线光栅化算法

已知线段端点：P0(x0,y0), P1(x1,y1) 直线方程

y=k(x-x0)+y0 浮点数取整 : yi=round(yi)=(int)(yi+0.5)

用到浮点数的乘法、加法和取整运算
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int x; //x以步长为单位从xs增长到xe double dx =xe-xs; double dy =ye-ys; double k =dy/dx; // 直线之斜率k double y =ys; for (x=xs; x<=xe; x++) { WritePixel(x,Round(y),value); //像素属性值value
} /* while */
} /* mid PointLine */
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9.1.2 中点画线法
举例：用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1 （5,2）的直线段。 a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1; d1=2*a=-4;d2=2*(a+b)=6 x 0 1 2 3 4 5 y 0 0 1 1 2 2 d 1 -3 3 -1 5 1
x y e
0 0
1 0 2 1
-1
3 -3
3 1
4 2 5 2
1
-5 -1
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9.1.3 Bresenham算法

优点 整数运算，速度快 精度高 乘2运算可用移位实现，适于硬件实现
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9.1.3 Bresenham算法
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9.1.2 中点画线法—基本原理
假定直线斜率k在0-1之间，当前象素点为（xp,yp）， 则下一个象素点有两种可选择点P1（xp+1,yp）或P2 （xp+1,yp+1）。若P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）称为M，
Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则 取P2应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P1为下
9.1.2 中点画线法
void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int a, b, d1, d2, d, x, y； a=y0-y1； b=x1-x0；d=2*a+b；
d1=2*a；d2=2* (a+b)；
x=x0；y=y0； drawpixel(x, y, color); while (x<x1) { if (d<0) {x++；y++； d+=d2; } else {x++； d+=d1;} drawpixel (x, y, color);
P2
e’ e

当e<0时，最接近P1(xi+1,yi), y 方向不走步
P
P1

e0=2y - x
P2
e P
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e’
P1 Computer Graphics
9.1.3 Bresenham算法

下一步误差的计算
当e≥0时，y方向走一步
P2
e’=2y/ x - 1
e’=e + 2y - 2x
P2
M (Xp+1,Yp+0.5)
P P1
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9.1.2 中点画线法

若d≥0，中点M在直线上方，取正右方象素P1
P2 M
P1
(Xp+1,Yp)

下一个象素的判别式为： d1=F((Xp+1)+1,Yp+0.5)=a(Xp+2)+b(Yp+0.5)+c
K
直线方程为 则
y y x x
2 2
1
1
y x
y kx b
y
i 1
k ( x x) b k x i b k x
i

y k x
i
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9.1.1 DDA算法
因光栅单位为1， 可以采用每次x方向增加1，

e’ e
P
P1
当e<0时，y方向不走步 e’=2y/ x e’=e + 2y e P
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P2
e’
P1
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9.1.3 Bresenham算法
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9.1.3 Bresenham算法
例：用Bresenham方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1 （5,2）的直线段。
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9.2.1 简单画圆法

两种直接离散生成方法
离散点 y y c r 2 ( x c x) 2 开方运算 离散角度 xi xc r cos i 三角函数运算 yi yc r sin i 缺点： 计算量大 所画像素位置间的间距不一致
点在直线上面 点在直线上方 点在直线下方
Q
M
F x, y 0 F x, y 0 F x, y 0
P2
P=(xp,yp) P1
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9.1.2 中点画线法

构造判别式： d=F(M)=F(Xp+1,Yp+0.5) 由d＞0，d＜0可判定下一个象素
y+=k;
}
// y移动步长是斜率k
} //
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9.1.1 DDA算法
例：用DDA方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1（5,2） 的直线段。
x
round(y) 0 0 1 1 2 2
0 1 2 3 4 5
y(yi+k)
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0