光栅图形学 (2)
图形学中的光栅化与三角形填充算法
图形学中的光栅化与三角形填充算法光栅化和三角形填充算法是图形学中常用的技术，用于在计算机图形学中将2D或3D场景转换为最终在屏幕上呈现的图像。
本文将介绍光栅化和三角形填充算法的原理、应用和实现。
一、光栅化算法光栅化算法是指将连续的几何图形转化为离散的像素点的过程。
在计算机图形学中，屏幕被划分为一个个像素点的网格，每个像素点的颜色值由计算机确定。
通过光栅化算法，可以将几何图形的顶点信息转化为像素点的颜色值，从而实现图形的显示。
常用的光栅化算法有扫描线光栅化算法和射线光栅化算法。
1.扫描线光栅化算法扫描线光栅化算法逐行扫描图形，通过判断扫描线与几何图形的交点，确定像素点的颜色值。
这种算法适用于任意形状的几何图形。
在扫描线光栅化算法中，一般需要考虑图形的边界条件、插值计算和像素点的填充等问题。
2.射线光栅化算法射线光栅化算法通过从特定点向几何图形发射射线，并计算射线与几何图形的交点，确定像素点的颜色值。
这种算法适用于封闭的几何图形，如圆、椭圆等。
在射线光栅化算法中，常用的算法有中点画圆算法、Bresenham算法等。
光栅化算法广泛应用于计算机图形学中，用于生成点、线、多边形等几何图形的像素点的颜色值，从而实现图像的显示。
光栅化算法在计算机游戏、计算机辅助设计等领域有着广泛的应用。
二、三角形填充算法三角形填充算法是指将一个给定的三角形填充为实心或渐变颜色的过程。
在计算机图形学中，三角形是最基本的几何图形，通过三角形填充算法可以实现更复杂图形的显示和渲染。
常用的三角形填充算法有扫描线填充算法和边缘填充算法。
1.扫描线填充算法扫描线填充算法是通过遍历三角形内的每一行像素点，并判断像素点是否在三角形内部，从而确定像素点的颜色值。
该算法简单直观，但对于复杂的三角形可能效率较低。
2.边缘填充算法边缘填充算法是通过扫描三角形的边缘，并根据每个像素点的位置关系确定颜色值。
常用的边缘填充算法有中点边缘填充算法、贝塞尔曲线填充算法等。
计算机图形学——多边形的扫描转换（基本光栅图形算法）
计算机图形学——多边形的扫描转换（基本光栅图形算法）⼀、多边形扫描转换在光栅图形中，区域是由【相连的】像素组成的集合，这些像素具有【相同的】属性值或者它们位于某边界线的内部1、光栅图形的⼀个基本问题是把多边形的顶点表⽰转换为点阵表⽰。
这种转换成为多边形的扫描转换。
2、多边形的扫描转换与区域填充问题是怎样在离散的像素集上表⽰⼀个连续的⼆维图形。
3、多边形有两种重要的表⽰⽅法：（1）顶点表⽰：⽤多边形的定点序列来表⽰多边形优点：直观、⼏何意义强、占内存少、易于进⾏⼏何变换缺点：没有明确指出那些象素在多边形内，故不能直接⽤于上⾊（2）点阵表⽰：是⽤位于多边形内的象素集合来刻画多边形缺点：丢失了许多⼏何信息（eg:边界、顶点等）但是【点阵表⽰是光栅显⽰系统显⽰时所需的表现形式。
】多边形的扫描转换就是把多边形的顶点表⽰转换为点阵表⽰，即从多边形的给定边界出发，求出位于其内部的各个像素，并将帧缓冲器内的各个对应元素设置相应的灰度或颜⾊。
实际上就是多边形内的区域的着⾊过程。
4、多边形分类⼆、X扫描线算法X扫描线算法填充多边形的基本思想是按扫描线顺序，计算扫描线与多边形的相交区间，再⽤要求的颜⾊显⽰这些区间的象素，即完成填充⼯作。
区间的端点可以通过计算扫描线与多边形边界线的交点获得。
如扫描线y=3与多边形的边界相交于4点（2,3）、（4,3）、（7,3）、（9,3）这四个点定义了扫描线从x=2到x=4，从x=7到x=9两个落在多边形内的区间，该区间内像素应取填充⾊。
算法的核⼼是按x递增顺序排列交点的x坐标序列。
由此可得到扫描线算法步骤如下：算法步骤：1.确定多边形所占有的最⼤扫描线数，得到多边形定点的最⼩最⼤值（y min和y max）；2.从y min到ymax每次⽤⼀条扫描线进⾏填充；3.对⼀条扫描线填充的过程分为四个步骤：a)求交点；b)把所有交点按递增顺序排序；c)交点配对（第⼀个和第⼆个，第三个和第四个）；d)区间填⾊。
光栅化算法
光栅化算法一、概述光栅化算法是计算机图形学中的一种基础算法，用于将连续的矢量图形数据转换为离散的像素点。
在图形渲染中，光栅化算法起到了至关重要的作用，它能够高效地将矢量图形转化为像素点，从而实现图形的显示。
二、光栅化的原理光栅化算法的基本原理是将矢量图形分解为像素点的集合。
它通过扫描线或者逐点的方式，将矢量图形上的点映射到屏幕上的像素点。
光栅化算法可以分为线段光栅化和多边形光栅化两种。
2.1 线段光栅化算法线段光栅化算法是将一条线段转换为像素点的集合。
常用的线段光栅化算法有DDA算法和Bresenham算法。
2.1.1 DDA算法DDA算法（Digital Differential Analyzer）是一种简单直观的线段光栅化算法。
它通过沿着线段的方向逐个像素点进行采样，从而得到线段上的像素点。
DDA算法的基本思想是根据线段的斜率，计算每个像素点的坐标，并进行取整操作。
DDA算法的优点是简单易懂，但由于需要进行浮点数计算和取整操作，效率较低。
在处理大量线段时，可能会出现像素点丢失或者重复的情况。
2.1.2 Bresenham算法Bresenham算法是一种高效的线段光栅化算法。
它通过利用整数运算和递增误差的方式，减少了浮点数计算和取整操作，从而提高了算法的效率。
Bresenham算法的基本思想是根据线段的斜率和误差项，选择最接近线段路径的像素点。
通过递增误差项的方式，确定下一个像素点的位置，并更新误差项。
这样就能够准确地绘制出线段上的像素点，避免了像素点丢失或者重复的情况。
2.2 多边形光栅化算法多边形光栅化算法是将一个闭合的多边形转换为像素点的集合。
常用的多边形光栅化算法有扫描线填充算法和边缘标记算法。
2.2.1 扫描线填充算法扫描线填充算法是一种基于扫描线的多边形光栅化算法。
它通过从多边形上的最低点开始，逐行扫描，将扫描线与多边形的交点作为像素点。
扫描线填充算法的基本步骤如下： 1. 找到多边形的最低点作为起始点。
光栅名词解释
光栅名词解释光栅是用来创作图像、物体表面质感和几何模型的数字技术。
简单来说，它就是一个把2D图像和3D对象分解成像素或多边形的过程。
光栅可以使用不同的精度来分解图像，其分解的精度可以通过调整图像像素的大小来控制，而这种分解的精度也直接影响图像的质量和清晰度。
低精度的光栅，在显示的时候会导致像素的粗糙，但能够提高分解的速度；高精度的光栅，能够分解出更清晰的图像，但需要更长的时间。
光栅术语在3D建模中也是一个非常重要的概念，它是一种将复杂的3D几何体模型表示为由多边形、面和顶点组成的数据结构的技术。
光栅建模的基本原理是：一个3D物体的表面由一些列的多边形组成，每个多边形都是由若干个顶点确定，这些顶点本身又是由一系列的数字组成，而数字则代表着3D空间中物体表面的坐标。
在3D建模中，光栅建模把由多边形构成的物体表面拆分成了由很多顶点组成的平面，并且把空间中每个顶点的坐标都转换为数字。
因此，光栅建模就是通过数字来表示3D物体的表面，从而使得3D建模变得容易操作。
此外，光栅建模还被应用到表面质感的建模中，它通过给每个多边形面添加一个或多个表面质感标量（比如纹理、着色和反射），来表示物体表面的外观。
表面质感建模的主要原理就是把几何数据和质感标量数据（也就是像素数据）结合起来，从而创建出一种复杂而多样的表面质感。
最后，光栅建模同样被用于计算机动画中，它能够通过模拟物体在空间中移动时，改变物体姿态、形状和大小，来实现动画效果。
以上就是关于光栅名词解释的内容，它们对2D图像和3D对象的设计有着重要的意义。
在2D图像的分解方面，光栅图像的精度能够通过调整图像的像素大小来控制；而在3D建模中，光栅建模把由多边形构成的物体表面拆分成了由很多顶点组成的平面，并且把空间中每个顶点的坐标都转换为数字；此外，光栅建模还被应用到表面质感的建模中，来表示物体表面的外观；同时，光栅建模也被用于计算机动画中。
总之，光栅是一种重要的数字技术，它不仅被广泛应用于2D图像分解中，也被应用于3D建模、表面质感建模和计算机动画中。
光栅图形学资料
为了便于硬件操作,令:
e 2 e dx 2dy dx
则整数Bresenham画线算法可描述为：
◎当e<0，则xi+1=xi+1,ei+1=ei+2dy ◎当e≥0，则yi+1=yi+1,ei+1=ei+2dy-2dx
优点：
无乘除法(计算坐标时)；
在同一坐标上不可能连续停留两次。
增量为a＋b
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6/17/2019
◎确定判断式初值：
设：画线从(x0, y0)开始，d的初值
d0 =F(x0+1, y0+0.5) = a(x0 +1)+b(y0 +0.5)+c = F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b
a y0 y1 b x1 x0 c x0 y1 x1 y0
dd
dd
6/17/2019
②基本算法 假定：直线斜率0<k≤1； 只需考虑x方向每次递增1个单位，
则决定y方向每次递增0或1
B2 (xi 1, yi 1)
记直线与它垂直方向最
近的下光栅点的误差为d
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Psn (xi , y)
B1 ( xi
,
yi
) T2
( xi
1,
yi
)
d ( y k) yi
令e=d-0.5，e0=-0.5
e<0时，取当前像素(xi,yi)的右方像素(xi+1,yi) e>0时，取当前像素(xi,yi)的右上方像素(xi+1,yi+1) e=0时，可任取上、下光栅点显示
◎当e<0，则xi+1=xi+1,ei+1=ei+k ◎当e≥0，则yi+1=yi+1,ei+1=ei+k-1
计算机图形学——区域填充算法（基本光栅图形算法）
计算机图形学——区域填充算法（基本光栅图形算法）⼀、区域填充概念区域：指已经表⽰成点阵形式的填充图形，是象素的集合。
区域填充：将区域内的⼀点（常称【种⼦点】）赋予给定颜⾊，然后将这种颜⾊扩展到整个区域内的过程。
区域填充算法要求区域是连通的，因为只有在连通区域中，才可能将种⼦点的颜⾊扩展到区域内的其它点。
1、区域有两种表⽰形式1）内点表⽰：枚举出区域内部的所有象素，内部所有象素着同⼀个颜⾊，边界像素着与内部象素不同的颜⾊。
2）边界表⽰：枚举出区域外部的所有象素，边界上的所有象素着同⼀个颜⾊，内部像素着与边界象素不同的颜⾊。
21）四向连通区域：从区域上⼀点出发可通过【上、下、左、右】四个⽅向移动的组合，在不越出区域的前提下，到达区域内的任意象素。
2）⼋向连通区域：从区域上⼀点出发可通过【上、下、左、右、左上、右上、左下、右下】⼋个⽅向移动的组合，在不越出区域的前提下，到达区域内的任意象素。
⼆、简单种⼦填充算法给定区域G⼀种⼦点（x, y）,⾸先判断该点是否是区域内的⼀点，如果是，则将该点填充为新的颜⾊，然后将该点周围的四个点（四连通）或⼋个点（⼋连通）作为新的种⼦点进⾏同样的处理，通过这种扩散完成对整个区域的填充。
这⾥给出⼀个四连通的种⼦填充算法（区域填充递归算法），使⽤【栈结构】来实现原理算法原理如下：种⼦像素⼊栈，当【栈⾮空】时重复如下三步：这⾥给出⼋连通的种⼦填充算法的代码：void flood_fill_8(int[] pixels, int x, int y, int old_color, int new_color){if(x<w&&x>0&&y<h&&y>0){if (pixels[y*w+x]==old_color){pixels[y*w+x]== new_color);flood_fill_8(pixels, x,y+1,old_color,new_color);flood_fill_8(pixels, x,y-1,old_color,new_color);flood_fill_8(pixels, x-1,y,old_color,new_color);flood_fill_8(pixels, x+1,y,old_color,new_color);flood_fill_8(pixels, x+1,y+1,old_color,new_color);flood_fill_8(pixels, x+1,y-1,old_color,new_color);flood_fill_8(pixels, x-1,y+1,old_color,new_color);flood_fill_8(pixels, x-1,y-1,old_color,new_color);}}}简单种⼦填充算法的不⾜a)有些像素会多次⼊栈，降低算法效率，栈结构占空间b)递归执⾏，算法简单，但效率不⾼，区域内每⼀像素都要进/出栈，费时费内存c)改进算法，减少递归次数，提⾼效率三、扫描线种⼦填充算法基本思想从给定的种⼦点开始，填充当前扫描线上种⼦点所在的⼀区段，然后确定与这⼀段相邻的上下两条扫描线上位于区域内的区段（需要填充的区间），从这些区间上各取⼀个种⼦点依次把它们存起来，作为下次填充的种⼦点。
知识点归纳 计算机图形学中的光栅化与渲染技术
知识点归纳计算机图形学中的光栅化与渲染技术计算机图形学是研究计算机应用中的图像处理和图像生成的学科，涉及到许多核心的知识点和技术。
其中，光栅化和渲染技术是计算机图形学中非常重要的一部分。
本文将对光栅化和渲染技术进行归纳总结，并探讨其在计算机图形学中的应用。
一、光栅化技术光栅化是计算机图形学中一种将连续的几何形状转换为离散的像素图像的技术。
在计算机渲染过程中，光栅化技术起到了至关重要的作用。
1. 点、线、多边形的光栅化在计算机图形学中，最基本的图形形状是点、线和多边形。
光栅化技术可以将这些形状转换为像素点集，从而在屏幕上显示出来。
通过合适的算法，可以准确地计算出像素的坐标和颜色值，从而实现图形的显示和绘制。
2. 光栅化算法光栅化过程中，需要使用各种算法来提高渲染效率和准确性。
常见的光栅化算法包括扫描线算法、中点画线算法、多边形填充算法等。
这些算法根据不同的需求和图形形状，选择合适的计算方法，以实现快速而准确的图形显示。
3. 光栅化与几何变换在对图形进行光栅化之前，常常需要进行几何变换，如平移、旋转、缩放等。
光栅化技术需要能够适应几何变换，并处理变换后的图形数据，以保持图形的形状和结构的准确性。
二、渲染技术渲染技术是计算机图形学中将三维模型转换为二维图像的过程。
通过适当的光照和材质处理，可以使得渲染结果更加真实和逼真。
1. 光照模型光照模型是渲染中的关键要素之一，决定了图像中各部分的明暗和色彩。
常见的光照模型有环境光照、点光源光照、平行光源光照等。
这些模型根据实际光照的物理模型，计算出每个像素点的光强和颜色。
2. 材质和纹理处理在渲染过程中，对于不同的物体材质，需要采用不同的渲染算法来模拟它们的表现方式。
常见的材质特性有反射率、折射率、光滑度等，需要根据不同的材质属性来计算图像的渲染效果。
同时，通过纹理映射技术，还可以将图像贴在物体表面，使得渲染结果更加真实和细致。
3. 光线跟踪光线跟踪是一种高级的渲染技术，它模拟了现实世界中光线的传播和反射路径，能够产生非常真实的渲染效果。
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矢量轮廓字符 计算机图形学
• 特点：
– 点阵字符：存储量大，易于显示 – 矢量字符：存储量小，美观，变换方便; 但需要光
栅化后才能显示。
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字符属性
–字体 宋体 仿宋体 楷体 黑体 隶书
–字高 宋体 宋体 宋体 宋体
–字宽 大海 大海 大海 大海
–字倾斜角
倾斜 倾斜
–对齐 (左对齐、中心对齐、右对齐)
在使用计算机处理图形信息时，计算机内部存储的图形 往往比较大，而屏幕显示的只是图的一部分。
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问：为什么要裁减，直接处理呢？即：在绘制（写帧 缓存时）再处理？
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计算机图形学
最简单的裁剪方法是把各种图形扫描转换 为点之后，再判断各点是否在窗内。但那样太 费时，一般不可取。这是因为有些图形组成部 分全部在窗口外，可以完全排除，不必进行扫 描转换。所以一般采用先裁剪再扫描转换的方 法。
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2.5.1直线段裁剪
• 直线段裁剪算法是复杂图元裁剪的基础。复杂 的曲线可以通过折线段来近似，从而裁剪问题 也可以化为直线段的裁剪问题。
2.5.1.1Cohen-Sutherland 2.5.1.2中点分割算法 2.5.1.3梁友栋－barskey算法。
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2.5.1.1 Cohen-Sutherland裁剪
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• 为快速判断，采用如下编码方法：
– 每个区域赋予4位编码 Ct CbCr Cl
1 Ct 0
y ymax other
1 Cb 0
y ymin other
1 Cr 0
大学计算机图形学练习题及答案
大学计算机图形学练习题及答案
一、选择题
1. 下列关于光栅图形学的说法，正确的是：
A. 光线追踪是光栅图形学的一种重要算法。
B. 光栅图形学是一种基于向量计算的图形学方法。
C. 光栅图形学主要解决几何形状的表示和计算问题。
D. 光栅图形学的核心是基于线段的绘制算法。
2. 阴影生成的基本原理是：
A. 根据物体表面的点击和材质属性计算出光的入射角，并根据入射角生成阴影。
B. 根据物体的几何形状和光源位置计算出影子区域，并在屏幕上进行绘制。
C. 根据光源所在位置以及物体的几何形状生成投影，并在屏幕上进行绘制。
D. 根据物体与光源的相对位置计算出光的强度，从而生成阴影。
3. 渲染管线中，下列哪个阶段将几何形状转换成像素？
A. 光照计算
B. 投影变换
C. 图元装配
D. 光栅化
二、简答题
1. 什么是三角形剪裁？请简要描述剪裁过程中的算法步骤。
2. 请简述光线追踪算法的基本原理，并说明其在图形学中的应用场景。
三、编程题
请使用任意编程语言实现一个简单的光线跟踪算法，并渲染一个球
体和一个平面，要求球体具有反射和折射效果。
注：以上是大学计算机图形学的练习题。
根据题目要求，请自行选
择合适的格式进行回答，可以分节论述，但请注意避免使用“小节一”、“小标题”等词语。
光 栅 图 形 学 算 法
光栅图形学-裁剪-Cohen_Sutherland使用计算机处理图形信息时，计算机内部存储的图形往往比较大，而屏幕显示的只是图的一部分，因此需要确定图形中哪些图形显示在显示区之内，哪些落在显示区之外，这样便于只显示落在显示区内的那部分图形，以提高显示效率。
直线段裁剪算法比较简单，但比较重要，是复杂图元裁剪的基础。
裁剪前（矩形为窗口区）：裁剪后：Cohen_Sutherland裁剪算法：对于每条线段P1，P2，分为三种情况处理。
1、若P1P2完全在窗口内，则显示该线段P1P2，简称取之。
2、若P1P2明显在窗口外，则丢弃该线段，简称弃之。
3、若前段既不满足取的条件，也不满足弃的条件，则在交点处把线段分为两段，其中一段完全在窗口外，可弃之，然后对另一段重复上述处理。
用编码判断一条直线段与窗口属何种关系。
1001|1000|1010----|----|-----0001|0000|0010----|----|-----0101|0100|0110裁剪一条线段时，先求出P1P2所在的区号code1，code2，若code1=0，且code2=0，则线段P1P2在窗口内，应取之。
若按位与运算code1code2！=0，则两个端点同在窗口的上方、下方、左方或右方，可判断线段完全在窗口外，可弃之。
否则按第三种情况处理。
求出线段与窗口某边的交点，在交点处把线段一分为二，其中必有一段在窗口外，可弃之，再对说另一段重复上述处理。
定义的宏：#define LEFT 1#define RIGHT 2#define BOTTOM 4#define TOP 8辅助函数：int CDrawView::encode(int x,int y,int XL,int XR,int YB,int YT) --端点与窗口边界--获得端点的编码-*1001|1000|1010----|----|-----0001|0000|0010----|----|-----0101|0100|0110*-c|=LEFT;c|=RIGHT;c|=BOTTOM;return c;实现源码：void CDrawView::CS_Clip(int x1,int y1,int x2,int y2,int XL,int XR,int YB,int YT)--Cohen_Sutherland裁剪算法--对于每条线段p1p2分为3种情况处理：--若p1p2完全落在窗口内，则显示该线段p1p2，取之（两个编码都为0）--若p1p2明显在窗外，则丢弃该线段，弃之（code1code2!=0） --若线段不满足取得条件，也不满足弃的条件，则在交点出把先把线段分为两段，其中--一段完全在窗口外，弃之，对另外一段重复处理int code,code1,code2,x,y;code1=encode(x1,y1,XL,XR,YB,YT); --获得编码code2=encode(x2,y2,XL,XR,YB,YT);while(code1!=0||code2!=0)if(code1code2)if(code1)code=code1;code=code2;if(LEFTcode) --求得与窗口边界的交点y=y1+(y2-y1)*(x-x1)-(x2-x1);else if(RIGHTcode)y=y1+(y2-y1)*(x-x1)-(x2-x1);else if(BOTTOMcode)x=x1+(x2-x1)*(y-y1)-(y2-y1);else if(TOPcode)x=x1+(x2-x1)*(y-y1)-(y2-y1);if(code==code1) --更新code值code1=encode(x1,y1,XL,XR,YB,YT);code2=encode(x2,y2,XL,XR,YB,YT);MiddleDrawline(x1,y1,x2,y2,RGB(255,0,0));--绘制在窗口内的线种子象素入栈；当栈非空时重复执行如下三步操作：[1] Fundamentals of Computer Graphics 4th用式(1.2)计算符号时，需要4个加法和2个乘法。
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P2
M (Xp+1,Yp+0.5)
P
P1
2020/3/22
Computer Graphics
9.1.2 中点画线法
若d≥0，中点M在直线上方，取正右方象素P1
P2
(Xp+1,Yp)
下一个象素的判别式为：
M
d1=F((Xp+1)+1,Yp+0.5)=a(Xp+2)+b(Yp+0.5)+c
=d+a
x round(y)
0
0
1
0
2
1
3
1
4
2
5
2
y(yi+k)
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
2020/3/22
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9.1.2 中点画线法—基本原理
假定直线斜率k在0-1之间，当前象素点为（xp,yp）， 则下一个象素点有两种可选择点P1（xp+1,yp）或P2 （xp+1,yp+1）。若P1与P2的中点（xp+1,yp+0.5）称为M， Q为理想直线与x=xp+1垂线的交点。当M在Q的下方时，则 取P2应为下一个象素点；当M在Q的上方时，则取P1为下
P2
e’
e P P1
P2
e
e’
P
P1
2020/3/22
Computer Graphics
9.1.3 Bresenham算法
为方便与0比较，设e=e-0.5 当e≥0时，最接近P2(xi+1,yi+1),
y方向走一步 当e<0时，最接近P1(xi+1,yi), y
计算机图形学（三种画线算法）
计算机图形学（三种画线算法）第⼆章：光栅图形学算法1、光栅显⽰器：光栅扫描式图形显⽰器简称光栅显⽰器，是画点设备，可看作是⼀个点阵单元发⽣器，并可控制每个点阵单元的亮度2、由来：随着光栅显⽰器的出现，为了在计算机上处理、显⽰图形，需要发展⼀套与之相适应的算法。
3、研究内容：1>直线段的扫描转换算法2>多边形的扫描转换与区域填充算法3>裁剪算法4>反⾛样算法5>消隐算法⼀、直线段的扫描转换算法1.为了显⽰⼀条直线，就在光栅显⽰器上⽤离散的像素点逼近直线，所以我们就要知道这些像素点的坐标已知P0和P1，利⽤斜截式⽅程，y=kx+b,求出k=（y1-y0）/(x1-x0),b为截距现在k,b已知，x,y未知，现在假设⼀个像素距离为y，即可求出y的值。
因为像素的坐标是整数，所以y值还要进⾏取整处理2.在计算机中加法的运算更快，乘法较慢，故可以把上述⽅法优化来提⾼效率1>数值微分法（DDA）2>中点划线法3>Bresenham算法数值微分法（DDA）-----增量算法（只有⼀个加法）这个式⼦的含义是：当前步的y值等于前⼀步的y值加上斜率k（增量）例⼦：思考：x递增1，y递增k，是否适合任意的k？可改进的点：1>⼀般情况下，k都是⼩数，且每⼀步均要对y四舍五⼊，唯⼀改进的途径是把浮点运算变为整数加法！2>⽅程还有两点式，⼀般式当|k|<=1时，伪代码如下：voidDDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color){Int x;Float dx,dy,y,k;dx=x1-x0;dy=y1-y0;K=dy/dx;y=y0;For(x=x0,x<=x1;x++){Drawpixel(x,int(y+0.5),color);//drawpixel(x, y, color)在(x, y)像素点绘制颜⾊为color的点Y=y+k;}}中点画线法采⽤直线的⼀般式⽅程：Ax+By+C=0 F(x,y)=0，其中a = y0 - y1， b = x1 - x0，c = x0y1 - x1y0令F(x, y)=0则得出直线⽅程，代⼊ (x0, y0)和(x1, y1)，便可得到三个⽅程，可求出a,b,c的值⼀条直线把平⾯分成了三个部分，直线上⽅，直线上，直线下⽅x⽅向上+1，y⽅向上加不加1需判断如何判断Q在M的上⽅还是下⽅？把M点的坐标带⼊⽅程,其中a = y0 - y1， b = x1 - x0分析计算量？两个乘法，四个加法，推导出d的增量公式d的初始值包含⼩数，因此可以⽤2d来代替d实现整数加法，所以d=2a+b伪代码如下：Void MidPointLine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color){Int a,b,delta1,delta2,d,x,y;a=y0-y1;b=x1-x0;d=2*a+b;Delta1 = 2*a;Delta2 =2*(a+b);X = x0;Y=y0;//在对应的x,y像素点着⾊putpixel(x,y,GREEN);while(x<x1){if(d<0){x++;y++;d+=delta2;}else{x++;d+=delta1;}//在对应的x,y像素点着⾊putpixel(x,y,GREEN);}Bresenham算法每步的进化：DDA把算法效率提⾼到每步只做⼀个加法中点算法进⼀步把效率提⾼到每步只做⼀个整数加法Bresenham算法提供了⼀个更⼀般的算法，该算法不仅有好的效率，⽽且有更⼴泛的适⽤范围如何把算法的效率也提⾼到整数加法？改进⼀：令e=d-0.5因为d的初值为0，所以e的初值为-0.5，e=e+k,如果e>0,e=e-1改进⼆：在计算e值的情况下还是关于浮点数的计算，所以把浮点数化为整数。
计算机图形学第三章
void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy; float k, e; dx = x1-x0, dy = y1- y0, k=dy/dx; e=-0.5, x=x0, y=y0; for (i=0; idx; i++) { drawpixel (x, y, color); x=x+1，e=e+k; if (e0) { y++, e=e-1;} } }
设备级显示算法，考虑运算方式、时间、 次数等细节。
扫描转换直线段
直线的绘制要求：
1.直线要直； 2.直线上的点要准确，即无不定向性和断裂情况； 3.直线的亮度、色泽要均匀； 4.画线的速度要快； 5.要求不同直线可具有不同的色泽、亮度、线型等。
扫描转换直线段
直线基础
我们知道：直线的笛卡儿斜率截距方程为：y=m•x+b
过各行各列象素中心构造一组虚拟网格线。按直线 从起点到终点的顺序计算直线与各垂直网格线的交 点，然后根据误差项的符号确定该列象素中与此交 点最近的象素。
d d d
d
yi 1 yi k ( xi 1 xi ) yi k 设直线方程为： ，其中k=dy/dx。 因为直线的起始点在象素中心，所以误差 项d的初值d0＝0。 X下标每增加1，d的值相应递增直线的斜率值k，即d＝d＋k。 一旦d≥1，就把它减去1，这样保证d在0、1之间。 当d≥0.5时，最接近于当前象素的右上方象素 xi 1 , yi 1 （ ） xi 1 , yi 而当d<0.5时，更接近于右方象素（ ）。 为方便计算，令e＝d-0.5， e的初值为-0.5，增量为k。 当e≥0时，取当前象素（xi，yi）的右上方象素 （ ）； xi 1 , yi 1 而当e<0时，更接近于右方象素（ xi 1 , yi ）。
计算机图形学基本光栅图形算法
void bresenham(Graphics g, int xs, int ys, int xe, int ye) { int dx = xe-xs; int dy = ye-ys; 改进后的 int e = 2*dy-dx; 算法程序 int x = xs; int y = ys; for(int i = 0;i < dx; i++) { g.drawLine(x,y,x,y); //画点（x, y） if(e>=0) { y=y+1; e=e-2*dx; } x=x+1; e=e+2*dy; } }
当点(x,y)在圆上时，F(x,y)=0。
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2）实现步骤
第1步：x0=0，y0=R 第2步： 求得Pi(xi,yi)后找点Pi+1的原则为： 当Pi在圆内时(F(xi,yi)≤0)， 要向右走一步得Pi+1，这是向圆外方 向走去。取xi+1= xi+1, yi+1= yi
A
y
Pi
Pi+1
上面讨论了x y 0 的情况，如果 y x 0 ， 则需把 x 和 y 的地位互换。如果 y 0 或 x 0 ， 注： 程序中y y 1或 x x 1需换成 y y 1或x x 1 ， 17 同时 也应相应地改变。
3.3 圆的扫描转换
xi
xi 1
图3.5 ( x)的几何意义的其他两种情况
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算法的程 序实现
m = (double)dy/(double)dx； e = m–0.5； for(i = 0; i <dx; i++) { g.drawLine(x,y,x,y); if(e>=0){ y = y+1； e = e–1; } x = x+1；e = e+m; }
图形学中的光栅化与可视化算法
图形学中的光栅化与可视化算法图形学中的光栅化和可视化算法是实现计算机图形学的重要方法。
光栅化是将连续的图形转化为离散的像素表示，而可视化算法则是将数据转化为可视化图像的过程。
本文将从光栅化和可视化算法的定义、原理、应用等方面进行详细说明。
一、光栅化算法的定义和原理光栅化算法是一个将连续的图形或曲线转化为离散的像素表示的过程。
它将图像或图形划分为一个个的像素单元，用于数据的处理和计算，是实现计算机图形学的基础。
光栅化算法是计算机图形学的重要研究领域，广泛应用于计算机游戏、计算机辅助设计、医学成像等领域。
光栅化算法的原理是将图像或图形的各个元素（点、线、曲面等）转化为像素单元，并根据各个像素单元之间的相对位置信息来确定该像素单元的颜色、纹理等属性。
常见的光栅化算法包括扫描线算法、边界填充算法、多边形填充算法等。
1.扫描线算法：扫描线算法以扫描线为基本单位，从图像的上边界向下边界扫描，将扫描线与图形的边界进行交点判断，得到交点的像素坐标进行像素填充，实现图像的渲染。
2.边界填充算法：边界填充算法是一种线性扫描的方法，通过边界信息和图形的封闭性来确定像素的填充区域。
常见的边界填充算法有种子填充算法和边沿标记算法。
3.多边形填充算法：多边形填充算法是实现对多边形区域的填充，常用的算法有扫描线填充算法、边界标记算法和边缘交换算法等。
二、可视化算法的定义和原理可视化算法是将数据转化为可视化图像的过程，通过将抽象的数据用图像表示出来，使其更加直观和可理解。
可视化算法是科学计算和数据分析领域的重要工具，广泛应用于地理信息系统、医学成像、虚拟现实等领域。
可视化算法的原理是根据数据的特点和需求，选择合适的处理方法和图形表示形式来展示数据。
常见的可视化算法包括散点图、柱状图、线图、等高线图等。
1.散点图：散点图是将数据以点的形式展示，通过点的位置、颜色、大小等属性来表示数据的特征。
散点图常用于数据分析和数据比较等领域。
计算机图形学第四章光栅图形学
❖ Bresenham画线算法程序
void Bresenhamline (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) { int x, y, dx, dy；
float k, e; dx = x1-x0；dy = y1- y0；k=dy/dx； e=-0.5； x=x0；y=y0； for (i=0；i<dx；i++) { drawpixel (x, y, color);
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第四章：光栅图形学
y=-x (-y,x)
y (y,x) y=x
(-x,y) (-x,-y)
(x,y)
(x,-y)
(-y,-x) (y,-x)
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第四章：光栅图形学
❖ 简单方程产生圆弧
算法原理
❖ 利用其函数方程，直接离散计算 ❖ 圆的函数方程为
x2 y2 R2
x=x+1；e=e+k; if (e>=0.5) e=e-1; if (e>=0) y++； } }
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第四章：光栅图形学
❖ 举例：用Bresenham方法扫描转换连 接两点P0(0,0)和P1(5,2)的直线段
============ xye d 0 0 -0.5 0 1 0 -0.1 0.4 2 1 0.3 0.8 3 1 -0.3 0.2 4 2 0.1 0.6 5 2 -0.5 0
第四章：光栅图形学
❖ 本章主要介绍光栅图形学的基本算法
❖ 基本概念
光栅显示器
❖ 一个象素矩阵。光栅显示器上的任何一个图形都是一些具有一种或多种 颜色和灰度象素的集合。由于象素个数、颜色、灰度等级都是有限的， 而且象素是有大小的，所以光栅图形只是实际图形的近似
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第二章光栅图形学（6）消隐（一）
第二章光栅图形学（7）消隐（二）
第三章几何造型技术（1）参数曲线和曲面（一）
第三章几何造型技术（2）参数曲线和曲面（二）
第三章几何造型技术（3）Bezier曲线
第三章几何造型技术（4）Bezier曲面
第三章几何造型技术（5）B样条曲线
第三章几何造型技术（6）B样条曲面
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考试
笔试
合计
本课程总学时46学时，其中：课堂教学40学时，习作或课堂讨论6学时，自学0学时。
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教学进度表
计算机系计算机专业2008年级(2010—2011)学年第2期
课程名称计算机图形学
周次
日期Байду номын сангаас
教学内容
教学
形式
计划时数
考核
执行情况
1
2
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6
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2.1.1 数值微分(DDA)法
• void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) • • int x； • float dx, dy, y, k; • • dx= x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0;
–当M在Q的下方-> P2离直线更近更近->取P2 。 –M在Q的上方-> P1离直线更近更近->取P1 –M与Q重合， P1、P2任取一点。
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2.1.2 中点画线法
问题：如何判断M与Q点的关系？
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2.1.2 中点画线法
• 假设直线方程为：F(x,y)=ax+by+c=0 • 其中a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0 • 由常识知：
– 作为最底层的光栅图形算法，在通常的CAD/图 形系统中，会被大量应用，因此，哪怕节约一 个加法或减法，也是很了不起的改进。 – 由此出发点，导致增量算法的思想。 – 增量算法：在一个迭代算法中，如果每一步的x、 y值是用前一步的值加上一个增量来获得，则称 为增量算法。
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2.1.1 数值微分(DDA)法
• • • • •
for (x=x0; xx1, x++) drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k;
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2.1.1 数值微分(DDA)法 • 注意上述分析的算法仅适用于k ≤1的情形。 在这种情况下，x每增加1, y最多增加1。 • 问题： • 当 k 1时，会如何？(答案见下页)
• 计算
• 当 时; • 即：当x每递增1，y递增k(即直线斜率)；
•
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2.1.1 数值微分(DDA)法
• 例：画直线段
• k • = 0.4
• x y int(y+0.5) y+0.5 • 0 0 0 0
Line: P0(0, 0)-- P1(5, 2) 3 2 1 0 1 2 3 4 5
• 注：网格点表示象素
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2.1.1 数值微分(DDA)法
• 例：画直线段
• • • • • • • x 0 1 2 3 4 5 int(y+0.5) 0 0 1 1 2 2 y+0.5 0 0.4+0.5 0.8+0.5 1.2+0.5 1.6+0.5 2.0+0.5
• 注：网格点表示象素
目标：进一步将一个加法改为一个整数加法。
新思路－> DDA算法采用两点式，可否采用其他 的直线表示方式？
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2.1.2 中点画线法
基本思想
•当前象素点为(xp, yp) 。下一个象素点为P1 或P2 。 •设M=(xp+1, yp+0.5)，为p1与p2 •之中点，Q为理想直线与x=xp+1 •垂线的交点。将Q与M的y坐标进 •行比较。
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2.1.2 中点画线法
• 如果也采用增量算法呢？
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2.1.2 中点画线法
• d是xp, yp的线性函数，因此可采用增量计算，提 高运算效率。
第2章
光栅图形学
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• 什么是光栅图形学？ • • 光栅显示器 －> 图形光栅化、 • 光栅化图形的处理
•
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光栅图形学的研究内容
2.1直线段的扫描转换算法 2.2圆弧的扫描转换算法 2.3多边形的扫描转换与区域填充 2.4字符 2.5裁剪 2.6反走样 2.7消隐
•
0 0 0 1 1 1
从 的左端点 开始，向 右端点步进。步长 =1(个象素)，计算相应的y坐标 ；取象素 点(x, round(y))作为当前点的坐标。 这种方法直观，但效率太低，因为每一步需 要一次浮点乘法、一次加法和一次舍入运算。
•
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2.1.1 数值微分(DDA)法
F x, y 0 F x, y 0 F x, y 0 点在直线上面 点在直线上方 点在直线下方
• ∴欲判断M点是在Q点上方还是在Q点下方， 只需把M代入F(x,y),并检查它的符号。
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2.1.2 中点画线法
•构造判别式:d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5) • =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c • 其中a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0
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DDA算法小结
• 直线的显式方程（两点式） • 象素是整数的（x每次增加1，取象素点(x, round(y)) ） • 最简单算法 • 效率低 • 改进为增量算法（当x每递增1，y递增k ）
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采用增量思想的DDA算法，每计算一个象素，只 需计算一个加法，是否最优？ 如非最优，如何改进？
•当d<0，M在L(Q点)下方，取右上方P2为下一个象素； •当d>0，M在L(Q点)上方，取右方P1为下一个象素； •当d=0，选P1或P2均可，约定取P1为下一个象素；
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2.1.2 中点画线法
• 但这样做，每一个象素的计算量是4个加法，两个 乘法。
• d=a(xp+1)+b(yp+0.5)+c
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2.1 直线段的扫描转换算法
直线的扫描转换：确定最佳逼近于该直线 的一组象素，并且按扫描线顺序，对这些 象素进行写操作。 三个常用算法：
数值微分法（DDA） 中点画线法 Bresenham算法。
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2.1.1 数值微分(DDA)法
基本思想
已知过端点 P ( x , y )ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ P ( x , y ) 的直线段L： • 直线斜率为
•
k <1 示意图 计算机图形学 福建师范大学
2.1.1 数值微分(DDA)法
• 当 k 1时，必须把x，y地位互换， y每增加1，x相应增加1/k。
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2.1.1 数值微分(DDA)法
缺点： 在此算法中，y、k必须是float，且每 一步都必须对y进行舍入取整，不利于硬件 实现。