二项式定理复习课

3 3 10 7
第四项的系数是- c 8 960.
3 10
例题点评
求二项展开式的某一项,或者求满 3 足某种条件的项,或者求某种性质的项, 如含有x项的系数,有理项,常数项等, 通常要用到二项式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. r n r r (2) Tr 1 Cn a b 表示第 r 1项.
n
A 一定为奇数 解:
C 一定为偶数 1 2 2 0 n 2an bn (1 2) C n Cn 2 Cn ( 2) 3 3 n n Cn ( 2) Cn ( 2)
B 与n的奇偶性相反 D 与n的奇偶性相同
bn C C ( 2) C ( 2)
0 n 奇
2 n
2
(2 x 1) 的通项是
5
C (2 x) (1) C (1) 2 x
s 5 s s 5
2
例题点评 求复杂的代数式的展开式 中某项(某项的系数),可以逐项 分析求解,常常对所给代数式进 行化简,可以减小计算量
题型四 求乘积二项式展开式中特定的项(特 定项的系数)
6 ( x 1) (2 x 1) 例题 8:求 的展开式中x 项
6
5
的系数. 6 r r 6 r r 解 ( x 1)6 的通项是 C6 ( x ) C6 x 2
利用 a b 的二项展开式解题 4 1 的展开式 例1 求 3 x x 4 3 1 4 1 1 0 C 3 x C 3 x 4 解法1 3 x 4 x x 1 2 1 3 2 2 3 C4 (3 x ) ( ) C4 (3 x )( ) 式直 x x 定接 1 4 4 C4 ( ) 理用 x 展二 12 1 开项 2 81x 108 x 54 2 x x 题型一
的任意两项的二项式系数相等. 性质2:如果二项式的幂指数是偶数，中间一 项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数 是奇数，中间两项的二项式系数最大；
C C C C C 2 性质3：
0 n 1 n 2 n k n n n n
性质4:(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式 系数的和等于偶数项的二项式系数和.
5
的系数为 ( 1) C 28
2 2 8
2 10 例5.求( x ) 的展开式中第四项的二 项式系数 x 和第四项的系数 .
分析：第 k+1 项的二项式系数 ---c 第 k+1 项的系数--具体数值的积。
k n
2 3 解： 因为T4 T31 (1) c ( x ) ( ) , x 3 所以第四项的二项式系 数是c10 120.

27 r 3 r 令 Z即4 Z (r 0,1 9) 6 6
r 9
( x ) ( x ) (1) C x
r
r r 9

1 2
9 r
1 3
27 r 6
r 3或r 9
27 r 3 3 4 4 r 3 4 T4 (1) C9 x 84 x 6 27 r 9 9 3 3 r 9 3 T10 (1) C9 x x 6 3 4 原式的有理项为:T4 84 x T10 x
1 8 ) 的展开式中 例4(04全国卷) ( x x 系数为__________
x
5
的
解: 设第 r 1项为所求
Tr 1 C x ( x ) r r 8 r 2 (1) C8 x x 3 r r 8 2 r (1) C8 x
r 8 r 8 r
1 2 r
x
3r 由8 5可得r 2 2
复习旧知
二项式定理
a b
n
C a C a b C a b
0 n n 1 n -1 n 2 n- 2 2 n
C ab C b
n -1 n n -1
n n n
T C a b
二项式展开的通项 r n-r r 第 r 1 n
ห้องสมุดไป่ตู้
r 1 项
性质复习
性质1:在二项展开式中，与首末两端等距离
题型三 求多项式的展开式中特定的项(系数)
例6 ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1) ( x 1)
2 3 4 5
的展开式中, x 的系数等于___________ 2 解:仔细观察所给已知条件可直接求得 x 的系 3 3 0 1 2 2 数是 C2 (1)C3 ( 1) C4 (1) C5 20 解法2 运用等比数列求和公式得 5 6 ( x 1)[1 ( x 1) ] ( x 1) ( x 1) 原式 x 1 ( x 1) 3 6 在( x 1) 的展开式中,含有 x 项的系数为 2 3 C6 20 所以 x 的系数为-20
1 4 3
2 4
2
3 4
4 4
1 4 3 2 2 (81x 108 x 54 x 12 x 1) x
12 1 81x 108 x 54 2 x x
2
例题2 若
n N ,( 2 1) 2an bn , (an , bn Z ) ,则 bn 的值(A )


n

题型一
利用 a b 1 例1 求 3 x x

的二项展开式解题
n
1 3x 1 1 0 4 3 x 2 [C4 (3 x) 解法2 2 x x x
4
的展开式
4
4
化 简 后 再 展 开
C (3x) C (3x) C (3x) C ]
偶
4 n
4
偶
所以 bn 为奇数 故选 (A) 能用特殊值法吗? 思考
例题点评 熟记二项式定理,是解答与二 项式定理有关问题的前提条件,对 比较复杂的二项式,有时先化简再 展开更便于计算.
题型二利用通项求符合要求的项或项的系数 9 3 例3 求 x x 展开式中的有理项 解: Tr 1 C