因式分解方法总结

因式分解方法总结

一、定义

定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式

分解（也叫作分解因式）.

因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.

二、因式分解三原则

1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）

2．最后结果只有小括号

3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：2

3(31)x x x x -+=-+） 三、基本方法

（一） 提公因式法 ()ma mb mc m a b c ++=++

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成

两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.

找公因式的一般步骤：

（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；

（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；

（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；

（4）所有这些因式的乘积即为公因式.

（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数

成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.

例2、 39999-能被100整除吗？还能被那些数整除? （二） 公式法

由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把

某些多项式分解因式.

1、平方差公式： 22

()()a b a b a b -=+-

2、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±

3、立方和公式： 3322()()a b a b a ab b +=+-+

4、立方差公式： 3322()()a b a b a ab b -=-++

5、2222222()a b c ab bc ca a b c +++++=++

6、完全立方公式：3223333()a a b ab b a b ±+±=±

7、3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---

例3、 分解因式22

44a ab b ++（2003年南通市中考题）

解： 22244(2)a ab b a b ++=+

例4、已知,,a b c 是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ） A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等边三角形 D .等腰直角三角形

解：222222

222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ （三）分组分解法

能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.

1.分组后能直接提取公因式.

例5、分解因式 am an bm bn +++.

解： 原式=)()(bn bm an am +++

=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！

=))((b a n m ++

例6、分解因式 bx by ay ax -+-5102

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+-

=)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---

=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --

练习：分解因式（1）bc ac ab a -+-2 （2）1+--y x xy

2.分组后能直接运用公式

例7、分解因式：ay ax y x ++-22

解： 原式=)()(22ay ax y x ++-=)())((y x a y x y x ++-+=))((a y x y x +-+

例8、分解因式：2

222c b ab a -+-

解：原式=222)2(c b ab a -+- =22)(c b a --=))((c b a c b a +---

练习：分解因式（1）y y x x 3922--- （2）yz z y x 2222--- （四）十字相乘法

口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中

1. 二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解

特点： （1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和

例9、分解因式：652

++x x

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5. 1 2

解： 652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.

例10、分解因式：672+-x x

解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1

=)6)(1(--x x 1 -6

（-1）+（-6）= -7

练习、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x 2. 二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c

（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=

分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++

例11、分解因式：101132+-x x

分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：101132+-x x =)53)(2(--x x

练习、分解因式（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102+-x x （4）101162++-y y

3. 二次项系数为1的齐次多项式 例12、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：221288b ab a --=)16(8)]16(8[2b b a b b a -⨯+-++ =)16)(8(b a b a -+

练习、分解因式(1)2223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)2

26b ab a --

4. 二次项系数不为1的齐次多项式

例9、22672y xy x +- 例10、2322+-xy y x

1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3