《微积分》第八节 定积分的几何应用

4
y2
A 2( y 4
)dy 18. 2
例3. 求椭圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 , 有 d A y dx
a
A 40 y d x
利用椭圆的参数方程
y
b
O xxd x a x
x a cos t y b sin t
(0 t 2 π)
应用定积分换元法得
4ab
1 2
π 2
π ab
x y2 y x2
面积元素 dA ( x x2 )dx
A
1
0
(
x
x2 )dx
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
例 2 计算由曲线 y2 2x和直线 y x 4所围
成的图形的面积.
解 两曲线的交点
y2 2x
(2,2), (8,4).
y x4
y x4
y2 2x
选 y 为积分变量 y [2, 4]
2
2
2y
1 π a2 a2 3 π 2
2
4
O
a 2a x
作业
P236习题3_8 1(单)，2(2)，3，4(2)， 5，7(1、4)，8，10(单)
以元素 f ( x)dx为被积表达式在[a, b]上作定
积分，得U
b
a
f
( x)dx，即为所求量U
的积分
表达式. 这个方法通常叫做元素法（微元法）．
第八节 定积分的几何应用
一、平面图形的面积
Leabharlann Baidu
1.直角坐标系情形
y y f (x)
y
y f2(x)
o a x x dx b x
oa
y f1( x)
π
4ab 2 sin 2 t dt 0
当 a = b 时得圆面积公式
如果曲边梯形的曲边为参数方程
x
y
(t) (t)
曲边梯形的面积 A t2 (t)(t)dt. t1
（其中t1 和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1,t2]（或[t2 ,t1 ]）上x (t ) 具有连续导数， y (t )连续.
A
20
1 2
a 2 (1
cos
)2
d
a
2
0
4
cos4
2
d
8a
2
2 0
cos4udu
8a2 3 1 3 a2 .
422 2
例 7 求双纽线 ( x2 y2 )2 a2( x2 y2 ) 所围 平面图形的面积.
解 双纽线的极坐标方程
2 a2 cos2
由对称性知总面积=4倍第 一象限部分面积
元素法(微元法)
设U 是与一个变量 x的变化区间a,b有关 的量，且U 对于区间a,b具有可加性；
设想把区间[a, b]分成n个小区间，取其中任 一小区间并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区 间的部分量U 的近似值.如果U 能近似地表示 为[a,b]上的一个连续函数在 x处的值 f ( x)与dx 的乘积，就把 f ( x)dx称为量U 的元素且记作 dU ，即dU f ( x)dx.
0
2
π
16 a 2 2 sin 4 u d u 0
3πa2
2. 极坐标情形
设由曲线 ( ) 及射线
、 围成一曲边扇
( )
形，求其面积．这里， ( )
d
在[ , ]上连续，且 ( ) 0 ．
面积元素 dA 1[( )]2d
o
x
2
曲边扇形的面积
A
1[
2
(
)]2
d
.
例5. 计算阿基米德螺线
到 2 所围图形面积 .
解:
A 2π 1 (a )2 d
02
a2 2
1 3
3
2π 0
4 π3 a2 3
对应 从 0 变
2πa
O
x
例 6 求心形线 a(1 cos ) 所围平面图形
的面积(a 0).
解 dA 1 a2(1 cos )2 d
d
2
利用对称性知
b
x x dx x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
b
A a f ( x)dx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
一般
A b a
f2(x)
f1( x) dx
例 1 计算由两条抛物线 y2 x和 y x2所围成的
图形的面积.
解 两曲线的交点
(0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x [0,1]
O
ax
π 4
A 2
π
6 a2 sin 2 d
0
π 4
π 6
1 a2 2
cos 2
d
2. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
1 2 cos cos 2
解: 利用对称性 , 所求面积
A 1 π a2 2 2
1 a2 (1 cos )2 d
2
1 2
(1
cos
2
)
1 πa2 a2 (3 2 cos 1 cos 2 ) d
A 4 A1
A 4 4 0
1 a2 cos2d
2
a2.
y x
A1
2 a 2 co s 2
小结
求在直角坐标系下、参数方程形式 下、极坐标系下平面图形的面积.
（注意恰当的选择积分变量有助于简化 积分运算）
思考与练习
1. 求双纽线
与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
y
π 4
提示: 利用对称性 , 则所求面积为
例4. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
A
2 0
a
ydx
2
a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
0
a 2 2π (1 cos t)2 d t 0
y a
4a 2 2π sin 4 t d t
0
2
0 t=0
2πa x t= 2π
8a2 π sin 4 u d u (令 u t )