第12章 液体流动的流场理论

（2）旋转运动
12-5 有旋流和无旋流
无旋流是液体质点没有绕自身轴旋转的运动，也就 应满足下列条件：
1 u z u y 0 x 2 y z 1 u x u z 0 y 2 z x 1 u y u x z 0 2 x y
故经过 dt 时段后六面体内质量总变化为
dxdydzdt t
在同一时段内，流进与流出六面体总的液体质量 的差值应与六面体内因密度变化所引起的总的质量变 化相等。
( ux ) ( u y ) ( uz ) dxdydzdt dxdydzdt t y z x
第十二章 液体三元流理论基础
12-1 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 概述 运动液体质点的流速、加速度 流线方程及迹线方程 液体微团运动的基本形式 有旋流和无旋流 液体流动的连续性方程
第十二章 液体三元流理论基础
12-1 概述
探索液体运动规律有流束理论和流场理论两种不同 的途径。 流束理论： 将液体看作是一元流动，只考虑沿流束轴线方向的 运动，而忽略与轴线垂直方向的横向运动，因而不是液 体运动的普遍理论。
dx
x

dy
y

dz
z
与流束相类似，任意取一微小面积，通过该 面积各点作出一束涡线，称为微小涡束。
类似于流量，若微小的涡束的横断面积为 d ，旋 转角速度为 ，则 d 称为微小涡束的涡旋通量，或 称为涡旋强度。
lim u cos s u cos ds u cos(u, ds)ds
dt 时段内流进与流出六面体的液体质量之差：
在y方向为 在z方向为 ( u y ) dxdydxdt
y ( uz ) dxdydxdt yz
dt 时间内流进与流出六面体总的液体质量的变化为
( ux ) ( u y ) ( uz ) dxdydzdt y z x
流场理论：
把液体运动看作是充满一定空间（流场）而由无数
液体质点组成的连续介质运动，研究流场中每个液体质
点的空间位置、流速、加速度、压强等运动要素之间的 关系。是研究液体的三元流动，具有普遍意义。
12-2 运动液体质点的流速、加速度
描述液体的运动有两种方法： 拉格朗日法和欧拉法。
在水力学中应用广泛的是欧拉法。
在时刻t，某一液体 质点通过渐变段上的 A点，经过时间 dt 该 液体质点运动到新的 位置 A 。 在时刻t，A点流速为 ，A 点的流速为 u x
u x dx 。 x
ux t d t dt ，而 A 点的 在时刻 ，A点的流速变为 u x t 流速则变为
ux ux ux ux dx ux dx dt ux dx dt ux x x x t t
1 e c
n
称为沿封闭周线C的速度环量。 速度环量可写成： (ux dx u y dy uz dz )
c
若液体的运动 是无旋的，必有流 速势函数存在
A d [ ] A c
A A 0
当流速势为单值时，沿无旋流空间画出的任意封 闭周线的速度环量都等于零。
( u x ) ( u y ) ( u z ) 0 t x y z
可压缩液体非恒定流的连续性方程式。
常数，因此得连续性方程式为 对不可压缩液体，
u x u y u z 0 x y z
或写作div u＝0，式中div u叫速度散量。
12-6 液体流动的连续性方程式
现设想在流场中取一空间微 分平行六面体取如图所示。
经一微小时段 dt 自左面流入 的液体质量为：
ux dx dx u x dydzdt x 2 x 2 ux dx dx u 自右面流出的液体质量为 x dydzdt x 2 x 2
如果流场中液体质点通过任一空间点时至少有一 个运动要素是随时间而改变的这种流动叫非恒定流。
12-3 流线方程及迹线方程
拉格朗日法：研究液体中各个质点在不同时刻运动的 变化情况； 欧拉法：研究在同一时刻研究不同质点的运动情况。 前者引出了 迹线的概念，后 者建立了流线的 概念。 在右图流线AB上 取微分段 ds
dx dy dz ds ux u y uz u
某一液体质点在不同时刻所流经的路线叫迹线。
由此得到迹线微分方程式
根据定义有
dx u x dt dy u y dt dz u z dt
ux u y uz dx dy dz
恒定流时，迹线和流线重合。可用下列微分方程式表示
恒定流时时变加速度为零，非恒定时时变加速度不 等于零。但位变加速度是否等于零并不决定于是否是恒 定流，而要看液体质点自一点转移到另一点时流速是否 改变。
由此可知一个液体质点在空间点上的全加速度应 为时变加速度和位变加速度之和。这种概念同样适用 于液体的密度与压强。
d ux uy uz dt t x y z
ux
因此该液体质点通过A点时的加速度应为
u x u x dx dt u x ux u x u x x t ax ux dt t x
式中第一项叫做 时变加速度，第 二项叫做位变速 度。
dux u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
dp p p p p ux uy uz dt t x y z
流场中液体质点通过任一空间点时所有运动要 素都不随时间而改变叫恒定流。
u x u y u z 0 t t t p 0 恒定流 t 0 t
一般情况下同一时刻不同空间点( x , y , z)上液体的运动 要素是不同的，即使在同一空间点上运动要素也是随时间 t 而变化的。 所以各种运动要素是空间位置( x , y , z )和时间 t 的连续函数。
u x f x ( x, y , z , t ) u y f y ( x, y , z , t ) u z f z ( x, y , z , t )
dx dy dz ux u y uz
12-4 液体微团运动的基本形式
在液体中取一个微分平行六面体，各边长 dx, dy, dz 取一角点 P( x, y, z ) ，令该点在各坐标轴上的分速度为 ux , uy , u z 。 由泰勒级数，Q角点速度为
u x dx 沿x方向 u x x u y dx 沿y方向 u y x u z dx 沿z方向 u z x
流场中所有液体质点的旋转角速度都等于零，即
d uxdx uy dy uz dz
无旋流，则必有流速势函数存在，所以无旋流 又称为势流（无涡流）。 有旋流（有涡流）可用旋转角速度的矢量来表 征，引用所谓涡线、涡束等概念。 涡线是某一瞬时在涡流场的一条几何曲线，在 这条曲线上各质点在同一瞬时的旋转角速度的矢量 都与该曲线相切。涡线的作法与流线相似。
同理可写出微分平行六面体每个角点的分速度。
平行六面体 的整个变化过程 可看作是由下列 几种基本运动形 式所组成： 一、位置平移。 二、线变形。
三、边线偏转： (1)角变形；(2) 旋转运动。
u x dxdt u x x x方向 dxdt x u y dydt u y y y方向 dydt y u z dzdt u z z z方向 dzdt z 三、角变形和旋转
二、线变形
d u x dt z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同理
d u z dt x
（1）角变形
1 u z u y x 2 y z 1 u x u z y 2 z x 1 u y u x z 2 x y 1 u z u y x 2 y z 1 u x u z y 2 z x 1 u y u x z 2 x y
其方向余弦为
dx u x cos ds u dy u y cos ds u dz u z cos ds u
可得流线方程
即
ds dx u ux ds dy u uy ds dz u uz