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随机模拟与蒙特卡洛方法
随机模拟与蒙特卡洛方法
模拟：把某一现实的或抽象的系统的部分状 态或特征用另一系统(称为模型)来代替或模 仿 计算机模拟在复杂系统或过程的研究中发挥 着越来超重要的作用 随机模拟和蒙特卡洛(Monte CarIo)方法
蒙特卡洛方法的基本思想
基本思想：把各种随机事件的概率特征 与 数学分析的解联系起来，用试验的方法确定 事件的相应概率与数学期望 特点：概率模型的解是由试验得到的，而不 是计算出来的。 作用：可以解决其它方法无法解决的实际问 题、对理论研究进行补充及辅助
k pk
随机模拟的应用： 报童问题
利润公式：
r a ( n r ) b , rn , L n a , rn .
随机模拟的应用： 报童问题
产生服从经验概率分布的随机数 产生一[0，1]上的均匀分布的随机数U， Y=1000*U
300 350 400 450 r 500 550 600 650 7 0 0 0 Y< 25 25 Y< 75 75 Y< 175 175 Y< 350 350 Y< 650 650 Y< 825 825 Y< 925 925 Y< 975 975 Y 1000
程序如下： a=2; l=1.2; N=100000; n=0; for i=1:1:N x=a*rand(1)/2; t= pi*rand(1); rand(1); if x<l*sin(t)/2 n=n+1; end end n pii=2*l*N/n/a
增加N值试验，改变a和l的值，重新试验，观察pii的值。
为了分析来自百度文库头的效率，我们考虑共有
n
条船到达码头卸货的情形，原则上讲，
n
越大越好。 由于船到达码头的时间和卸货时间都是不确定的，因此，我们要用随机模拟的方法 来建立数学模型。首先，我们假设两船到达之间的时间间隔是一个随机变量，服从15 分钟到145分钟之间的均匀分布；各船卸货时间也是一个服从15分钟到45分钟间均匀 分布的随机变量。然后我们可以用发生均匀分布的随机数的方法，分别产生 n n [15,145]和[45,90]之间的随机数 个
随机模拟的优势
对无法实施的一类问题进行模拟 对大量方案的比较和选优 对大型复杂系统进行模拟 对有危险的试验或训练进行模拟 对无法重复的现象进行模拟
随机数的产生
随机模拟能够成功应用的关键是在计算机上 实现随机抽样，而随机抽样的基础是随机数 随机数：具有给定概率分布的随机变量的可 能值。 最重要的随机数：(0，1)均匀分布的随机 数 伪随机数 产生随机数的方法：迭代取中法、移位法、 同余法
乘加同余
x ax c )(mod m ) n 1 ( n
n [0,1]
n x n /m
MATLAB软件中随机数的产生
rand(m,n) 生成区间(0,1) 上的均匀分布的m 行n 列随机矩阵； randn(m,n) 生成标准正态分布N(0,1) 的m行 n 列随机矩阵； randperm(N) 生成1,2,…,N的一个随机排列 随机种子 例将种子设置为系统时间，： rand (‘state’，surn(100 * clock))
随机模拟的应用： 报童问题
问题提出：报童，每天批发报纸后零售，每卖一份报 可赚钱a元，卖不完则可再退回每退一份报要赔钱b元 历史数据：
300 0.025 350 0.05 400 0.1 450 0.175 500 0.3 550 0.175 600 0.1 650 0.05 700 0.025
进行计算机模拟需要大样本的均匀分布随机 数数列，如何获得？ 真随机数：由随机物理过程来产生，如：放射性 衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间 伪随机数：由计算机按递推公式大量产生
r 2 2 r x 2 x m o d 2 冯.诺曼平方取中法 n 1 n 2 r x /2 n n
随机模拟试验的目的
系统的比较与评价，在指定的性能指标下对实际存 在的或所设计的系统性能做出对比和评价； 系统的分析与预测，分析确定一些因素对整个系统 性能的影响以及系统在某些条件下的性能； 系统的优化，在许多因素中找出使系统性能最优的 因素参数； 系统的假设检验，用模拟结果与系统实际状态作对 比以检验对系统所作假设是否合理。
数学模型的建立 为简单计，假设前一艘船卸货结束后马上离开码头，后一艘船立 即可以开始卸货。 引进如下记号： a j ——第j艘船的到达时间。 t j ——第j艘船与第j+1艘船到达之间的时间间隔。 u j ——第j艘船的卸货时间。 l j ——第j艘船的离开时间。 w j ——第j艘船的等待时间。 s j ——第j艘船在港口的停留时间。 d j ——卸完第j艘到开始卸第j+1艘船之间的设备闲置时间。 w m ——船只最长等待时间。 w a ——船只平均等待时间。 s m ——船只最长停留时间。 s a ——船只平均停留时间。 d l ——设备闲置总时间。 R d ——设备闲置百分比。
随机模拟的应用： 报童问题
具体实现：对n=300,…,700,分别进行以下操 作： 产生随机数r; 计算利润L 重复N次进行平均 选出L平均值最大的n
随机模拟的应用：码头卸货效率分析
问题的提出 有一个只有一个舶位的小型卸货专用码头，船舶运送某些 特定的货物（如矿砂，原油等）在此码头卸货。若相邻两 艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟之间变化，每艘 船的卸货时间由船的大小、类型所决定，在45分钟到90分 钟的范围内变化。 现在需对该码头的卸货效率进行分析，即设法计算每艘船 在港口停留的平均时间和最长时间；每艘船等待卸货的时 间；卸货设备的闲置时间的百分比等。
蒲丰投针问题 1777年法国科学家蒲丰提出了下面的著名问 题，这是几何概率的一个早期例子。 平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等 于a，向此平面任意投一长度为l的针（l<a），试 求此针与任一平行线相交的概率． 2l p 根据几何概率的知识可求得此概率为 π a 。 由于最后的答案与π有关，因此不少人想利用它来 计算π的数值，其方法是投针N次，计算出针与线 相交的次数n，再用频率值n/N作为概率p的值代入 π2 上式，求得 lN/an 。
随机模拟与蒙特卡洛方法
模拟：把某一现实的或抽象的系统的部分状 态或特征用另一系统(称为模型)来代替或模 仿 计算机模拟在复杂系统或过程的研究中发挥 着越来超重要的作用 随机模拟和蒙特卡洛(Monte CarIo)方法
蒙特卡洛方法的基本思想
基本思想：把各种随机事件的概率特征 与 数学分析的解联系起来，用试验的方法确定 事件的相应概率与数学期望 特点：概率模型的解是由试验得到的，而不 是计算出来的。 作用：可以解决其它方法无法解决的实际问 题、对理论研究进行补充及辅助
k pk
随机模拟的应用： 报童问题
利润公式：
r a ( n r ) b , rn , L n a , rn .
随机模拟的应用： 报童问题
产生服从经验概率分布的随机数 产生一[0，1]上的均匀分布的随机数U， Y=1000*U
300 350 400 450 r 500 550 600 650 7 0 0 0 Y< 25 25 Y< 75 75 Y< 175 175 Y< 350 350 Y< 650 650 Y< 825 825 Y< 925 925 Y< 975 975 Y 1000
程序如下： a=2; l=1.2; N=100000; n=0; for i=1:1:N x=a*rand(1)/2; t= pi*rand(1); rand(1); if x<l*sin(t)/2 n=n+1; end end n pii=2*l*N/n/a
增加N值试验，改变a和l的值，重新试验，观察pii的值。
为了分析来自百度文库头的效率，我们考虑共有
n
条船到达码头卸货的情形，原则上讲，
n
越大越好。 由于船到达码头的时间和卸货时间都是不确定的，因此，我们要用随机模拟的方法 来建立数学模型。首先，我们假设两船到达之间的时间间隔是一个随机变量，服从15 分钟到145分钟之间的均匀分布；各船卸货时间也是一个服从15分钟到45分钟间均匀 分布的随机变量。然后我们可以用发生均匀分布的随机数的方法，分别产生 n n [15,145]和[45,90]之间的随机数 个
随机模拟的优势
对无法实施的一类问题进行模拟 对大量方案的比较和选优 对大型复杂系统进行模拟 对有危险的试验或训练进行模拟 对无法重复的现象进行模拟
随机数的产生
随机模拟能够成功应用的关键是在计算机上 实现随机抽样，而随机抽样的基础是随机数 随机数：具有给定概率分布的随机变量的可 能值。 最重要的随机数：(0，1)均匀分布的随机 数 伪随机数 产生随机数的方法：迭代取中法、移位法、 同余法
乘加同余
x ax c )(mod m ) n 1 ( n
n [0,1]
n x n /m
MATLAB软件中随机数的产生
rand(m,n) 生成区间(0,1) 上的均匀分布的m 行n 列随机矩阵； randn(m,n) 生成标准正态分布N(0,1) 的m行 n 列随机矩阵； randperm(N) 生成1,2,…,N的一个随机排列 随机种子 例将种子设置为系统时间，： rand (‘state’，surn(100 * clock))
随机模拟的应用： 报童问题
问题提出：报童，每天批发报纸后零售，每卖一份报 可赚钱a元，卖不完则可再退回每退一份报要赔钱b元 历史数据：
300 0.025 350 0.05 400 0.1 450 0.175 500 0.3 550 0.175 600 0.1 650 0.05 700 0.025
进行计算机模拟需要大样本的均匀分布随机 数数列，如何获得？ 真随机数：由随机物理过程来产生，如：放射性 衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间 伪随机数：由计算机按递推公式大量产生
r 2 2 r x 2 x m o d 2 冯.诺曼平方取中法 n 1 n 2 r x /2 n n
随机模拟试验的目的
系统的比较与评价，在指定的性能指标下对实际存 在的或所设计的系统性能做出对比和评价； 系统的分析与预测，分析确定一些因素对整个系统 性能的影响以及系统在某些条件下的性能； 系统的优化，在许多因素中找出使系统性能最优的 因素参数； 系统的假设检验，用模拟结果与系统实际状态作对 比以检验对系统所作假设是否合理。
数学模型的建立 为简单计，假设前一艘船卸货结束后马上离开码头，后一艘船立 即可以开始卸货。 引进如下记号： a j ——第j艘船的到达时间。 t j ——第j艘船与第j+1艘船到达之间的时间间隔。 u j ——第j艘船的卸货时间。 l j ——第j艘船的离开时间。 w j ——第j艘船的等待时间。 s j ——第j艘船在港口的停留时间。 d j ——卸完第j艘到开始卸第j+1艘船之间的设备闲置时间。 w m ——船只最长等待时间。 w a ——船只平均等待时间。 s m ——船只最长停留时间。 s a ——船只平均停留时间。 d l ——设备闲置总时间。 R d ——设备闲置百分比。
随机模拟的应用： 报童问题
具体实现：对n=300,…,700,分别进行以下操 作： 产生随机数r; 计算利润L 重复N次进行平均 选出L平均值最大的n
随机模拟的应用：码头卸货效率分析
问题的提出 有一个只有一个舶位的小型卸货专用码头，船舶运送某些 特定的货物（如矿砂，原油等）在此码头卸货。若相邻两 艘船到达的时间间隔在15分钟到145分钟之间变化，每艘 船的卸货时间由船的大小、类型所决定，在45分钟到90分 钟的范围内变化。 现在需对该码头的卸货效率进行分析，即设法计算每艘船 在港口停留的平均时间和最长时间；每艘船等待卸货的时 间；卸货设备的闲置时间的百分比等。
蒲丰投针问题 1777年法国科学家蒲丰提出了下面的著名问 题，这是几何概率的一个早期例子。 平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等 于a，向此平面任意投一长度为l的针（l<a），试 求此针与任一平行线相交的概率． 2l p 根据几何概率的知识可求得此概率为 π a 。 由于最后的答案与π有关，因此不少人想利用它来 计算π的数值，其方法是投针N次，计算出针与线 相交的次数n，再用频率值n/N作为概率p的值代入 π2 上式，求得 lN/an 。