详解平稳随机过程

2) 对任意s, t∈T, RX(s, t)=RX(t－s)=RX(τ). 平稳过程. 称RX(τ)为{X(t),t∈T}的自相关函数. 其协方差函数为
常 数
称{X(t),t∈T}为宽(弱、广义)平稳过程,简称
C X ( s, t ) RX ( s, t ) m X RX ( ) m X
4) 对于正态过程, 宽平稳性与严平稳性等价.
注：利用均值函数与协方差函数也可讨论 随机过程的平稳性。
怎样理解平稳过程? 一般地说,当产生随机现象的一切主要 条件可看作不随时间的改变而改变时,可以 把由此形成的随机过程看做是平稳的. 科学技术中的许多过程都是平稳的.
Ex.1 设{ X (t ) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列，
RW ( t a , t a ) RW ( t a , t ) RW ( t , t a ) RW ( t , t )
2 [min( t a , t a ) min( t a , t ) min( t , t a ) min( t , t )] 2 {[ t a min( 0, )] [t min( a , )]
有相同的联合分布函数, 称{X(t ),t∈T}是严 (强、狭义)平稳过程. 有限维分布不随时 间的推移而改变.
注1 严平稳过程描述的物理系统的概率
特征不随时间的推移而改变.
例如:工作在稳定状态下的接收机, 其输出 噪声可认为是严平稳的随机过程; 刚接上电源时的输出噪声应认为是非平稳过程.
严平稳过程的一维分布与时间无关, 而二维分布仅与t1和t2的间隔有关, 与时间起 点无关. 二、宽平稳过程 1）实际问题中确定一个过程的有限维分布 函数族,进而判定过程的严平稳性十分困难； 2）部分随机过程(如正态过程)的概率特征 主要由一阶和二阶矩函数确定；
平稳随机过程
§6.1 平稳随机过程的概念
§6.2 平稳过程的自相关函数
§6.3 平稳过程的各态历经性 §6.4 平稳过程的谱分析简介
§6.1 平稳随机过程的概念
上一章对于二阶矩过程,主要是针对过 程的均值函数和相关函数两个数字特征, 进 行概率性质的讨论. 平稳过程是一类其概率特征不随时间推 移的随机过程，在过程理论和应用中有特 殊地位和作用。 本章重点讨论特殊的二阶矩过程—(宽) 平稳过程.
与起点 有关.
2）因维纳过程是严平稳独立增量的正态 过程，且 X(t)=W(t+a)－W(t)～N(0, aσ2)
m X ( t ) E[ X ( t )] E[W ( t a )E[ X ( t ) X ( t )]
因为 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪 声”，它是实际中最常用的噪声模型。
注
Ex.2
设随机序列{ X (t ) sin 2t ， t T }，
其中T={1，2，…}
是在[0，1]上服从均匀分布的随
机变量，
试讨论随机序列 解
X (t )
的平稳性。
的密度函数为
所以
R(t , t )
注2
3）实际问题中,通常仅需在相关理论范畴 内考虑平稳过程,即只限于研究一、二阶矩 （均值、相关函数等）理论. 从随机过程的一、二阶矩出发定义在理 论和应用中更重要的平稳过程概念.
定义6.4.2 设X=｛X(t),t∈T｝是二阶矩过程, 若
1）对任意t∈T, m X ( t ) E ( X ( t )) m X ;
且均值和方差为 1， 2， } ， 其中 T {0，
E[ X (t )] 0
D[ X (t )]
2
试讨论随机变量序列 X (t ) 的平稳性。 解
E[ X (t )] 0 2，当 0 R(t , t ) E[ X (t ) X (t )] 0，当 0 故 X (t ) 是一个平稳时间序列。
注
故 X (t ) 是平稳随机序列。
1 ，当 0 sin 2 (t ) x sin 2txdx 2 0 0，当 0
E[ X (t )] sin 2txdx 0
0
1, f ( x) 0 ,
1
0 x 1
其它

1
Ex.2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的
一、严平稳过程 一类过程,具有平稳性, 即它的统计特性 不随时间的推移而改变, 它的当前变化情况 与过去的情况有不可忽视的联系. 定义6.4.1 {X(t) t∈T}是实随机过程, 若对n ＞1, t1 ,t2,…,tn∈T 和实数τ,当t1+τ,t2+τ,…, tn+τ∈T 时 (X(t1) , … , X(tn)) 与 (X(t1+τ), …,X(tn+τ))
[t min( 0, a )] [t min( 0, )]
2 [a 2 min( 0, ) min( a, ) min( 0, a )]
Ex.3 {W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程, 有 1) 维纳过程非宽平稳过程; 2) 维纳过程是增量宽平稳过程，即 X(t)=W(t + a)－W(t), t≥0, (a>0) 是宽平稳过程. 证 1) 因 E[W(t)]=0, RW(s, t)=σ2min(s, t), s,t≥0 故 {W(t), t≥0} 非宽平稳过程.
2
2
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
三、两种平稳性的关系 1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳; 3) 严平稳过程是宽平稳过程的充要条件是 其二阶矩存在.