详解平稳随机过程
平稳随机过程的概念
所以随机相位周期过程是平稳的. 特别, 随机相位 正弦波是平稳的.
例3
考虑随机电报信号 x( t ) I
信号X ( t )由只
取 I或 I
o
I
t
的电流给出 .
这里 P{ X ( t ) I } P{ X ( t ) I } 1 / 2
而正负号在区间 ( t , t )内变化的次数N ( t , t )
2. 广义平稳过程
{ X ( t ), t T }, 如果对任意 定义1 给定二阶矩过程
t,t T :
E[ X ( t )] X
(常数)
E[ X ( t ) X ( t )] RX ( )
则称{ X ( t ), t T }为宽平稳过程, 或广义平稳过程 .
其中A是服从瑞利分布的随机 变量, 其概率密度为
a e f (a ) 2 0,
a2 2 2
, a0 a0
是在(0,2π )上服从均匀分布且与 A 相互独立的 随机变量, 是一常数,问X n ( t ) 是不是平稳过程?
解 因 E ( A)
a
2 2
即相关函数只与k l 有关,
所以它是宽平稳的随机序列.
如果 X1 , X 2 ,, X k ,是独立同分布的 , 则序列是
严平稳的.
例2 设s( t )是一周期为T的函数,是在(0, t )上服
从均匀分布的随机变量 , 称X (t ) s(t )为随机
相位周期过程. 试讨论它的平稳性 .
说明 (1) 严平稳过程只要二阶矩存在, 则它必定也 是宽平稳的. 反之不成立. (2) 宽平稳的正态过程必定也是严平稳的.
平稳随机过程的概念
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单
第十二章-平稳随机过程
若T为离散集, 称平稳过程{X(t), t T }为 平稳序列.
广义平稳过程
严平稳过程
严平稳过程 二阶矩存在 广义平稳过程
严平稳过程 正态过程 广义平稳过程
8
例1 设{Xk , k = 1,2,…}是互不相关的随机变量 序列, E[Xk ] = 0, E[Xk ²] = σ², 则有
解 由假设, Θ的概率密度为
f
(
)
1
/
T, 0,
0 T,
其 它.
于是, X(t)的均值函数为
T
E[ X (t)] E[s(t )]
0
s(
t
)
1 T
d
1
t T
s( )d
Tt
10
利用s(φ)的周期性, 可知
E[X (t)] 1 T s( )d 常数. T0
而自相关函数
RX (t, t ) E[s(t )s(t )]
• 当X(t)和Y(t)是联合平稳随机过程时, W(t) = X(t) +Y(t)是平稳随机过程.
18
事实上, E[W(t)]= E[X(t)] + E[Y(t)] = 常数.
E[W (t)W (t )] E{[X (t) Y (t)][X (t ) Y (t )]} E[ X (t)X (t ) X (t)Y (t ) Y (t)X (t ) Y (t)Y (t )] E[ X (t)X (t )] E[ X (t)Y (t )] E[Y (t)X (t )] E[Y (t)Y (t )] RX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RY ( ) RW ( )
t1, t2,, tnT, t1+h, t2 +h,,tn+h T， 若(X(t1), X(t2),, X(tn))与
平稳过程
二维分布函数
F 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 ) F 2 ( x1 , x 2 ; t1 , t 2 )
F 2 ( x1 , x 2 ; 0 , ) F 2 ( x1 , x 2 ; )
上式表明:严平稳过程的一维分布函数 于参数 t ,
F1 ( x 1 ) 不依赖
2
2
X X
2 2
2 X
(常数);
E [ X ( t ) X ( t )]
x 1 x 2 f 2 ( x 1 , x 2 ; t , t ) dx 1 dx 2
x 1 x 2 f 2 ( x 1 , x 2 ; ) dx 1 dx 2 R X ( )
I 给出,任意时刻 1
t 的电报
内信号变化的次数,已知 { N ( t ), t 过程,则 { X ( t ), t 0} 是一个平稳过程. 泊松过程的定义
P{ N (t ) N (t ) k }
0 , k 0 ,1, 2 ,
( | |) k!
2
n 维正态分布 ( X 1 , X 2 , , X n ), 概率密度
f ( x 1 , x 2 , , x n ) 1 ( 2 )
n 2 1
exp{
2
1 2
(x ) C
'
1
( x )}
(det C )
其中
x1 x2 x x n
(仅依赖于 ,而不依赖于 t );
E {[ X ( t ) EX ( t )][ X ( t ) EX ( t )]} E [ X ( t ) X ( t )] E [ X ( t )] E [ X ( t )]
第四章 平稳随机过程
第四章 平稳随机过程第一节 平稳过程的概念一、两类平稳过程 1.严平稳过程定义1 设为随机过程，如果对任意正整数n 及任意，及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即的n 维分布函数Fn 满足：),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切,2,1,=i x i 成立则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。
定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有证：首先利用柯西—许瓦兹不等式可以证明 ，即自相关函数存在。
又由于 为严平稳过程，故对任意有相同的分布，所以再由s 、t 的任意性可知又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是[]),()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程定义2 设有随机过程，且对任意t ，，如果)(),()(ττμX X X R t t R t =+=常数则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。
以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。
严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。
正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。
二、平稳过程的数字特征设为平稳过程，且，则)]([t X E X =μ为常数，称其为均值。
)]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数）)]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）)]([2t X D X =σ为常数，（方差）])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=为τ的一元函数，（自协方差函数） 它们之间有以下关系：（3）2)()(X X X R C μττ-=事实上，])(][)([)(X X X t X t X E C μτμτ-+-=2)]()([X t X t X E μτ-+=2)(XX R μτ-= 例1：（随机热噪声）设是两两不相关的随机序列，即对任意。
平稳随机过程
平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。
①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。
即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。
（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。
2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。
（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。
（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。
（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。
3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。
所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。
当均值为0时，有R(0)＝σ2。
4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。
平稳随机过程
相关时间：
0 rX ( )d
0
rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0
相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )
2 X
2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )
第十一章 平稳随机过程
(3)
[ R X ( )] | E [ X ( t ) X ( t )] |
2
2
E [ X ( t )] E [ X ( t )] R X (0 )
2 2 2
(4)
i , j 1
n
R X (ti t j )g (ti ) g (t j )
i , j 1
n
i , j 1
t i T , i 1, 2 , , n
和任意实值
R
n
X
(t i t j )g (t i ) g (t j ) 0
证
(2)
R X ( ) R X ( t , t ) E [ X ( t ) X ( t )]
E [ X ( t ) X ( t )] R X ( t , t ) R X ( )
(2) ( X ( t 1 ), X ( t 2 )) 与 ( X ( t 1 h ), X ( t 2 h )) 同分布， 令 h t 1，得 ( X ( t 1 ), X ( t 2 )) 与 ( X (0), X ( t 2 t 1 ))
R X ( t1 , t 2 ) E [ X ( t1 ) X ( t 2 )] E [ X ( 0 ) X ( t 2 t1 )] R X ( t 2 t1 )
E (U ) co s t co s t E (V ) sin t sin t
2 2
[cos t cos t sin t sin t ] cos
2 2
且
E [ X ( t )] R X ( t , t )
概率论第三章 平稳随机过程
严平稳过程只要均方值有界， 就是广义平稳的， 但反之则不一定。
当我们同时考虑两个平稳过程X(t)和Y(t)时，若它 们的互相关函数仅是单变量τ 的函数，即
RX Y (t1, t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] RXY ( ), t2 t1,
则称X(t)和Y(t)宽平稳相依，或称这两个随机过程 是联合宽平稳的。
例3.1 设随机过程 X (t) a cos(0 t )
式中a，ω0为常数，Φ是在区间(0，2π)上均匀分 布的随机变量, 这种信号通常称为随相正弦波。求 证X(t)是宽平稳的。
二、各态历经（遍历）随机过程
在上面的讨论中，每当谈到随机过程时，就意味 着所涉及的是大量的样本函数的集合。要得到随机过 程的统计特性，就需要观察大量的样本函数。
ln
p( X
/
mX
)
K
N 1
exp
i0
(xi
mX
2
2 X
)2
均值估计
让对数似然函数取最大值
ln p( X / mX ) 0 m X
得到均值的最大似然估值
mˆ X
1 N
N 1
xi
i0
此式说明，可用N个观测值的算术平均作为均值mX的估值。
估计量的性质（工程）
1．有偏估计与无偏估计
由于估计量依赖于观测结果，因此估计量本身是 随机变量，于是它也存在其均值和方差。
定义1：取对应于ρX(τ)=0．05的那个时间为相关 时间τ
0
定义2：用图3.6中的矩形(高为ρX(0)=1，底为τ0的
矩形)面积等于阴影面(ρX(τ)积分的一半)来定义
τ0，即
平稳随机过程的概念
平稳随机过程的概念
平稳随机过程是指具有固定统计特性的随机过程。
具体而言，平稳随机过程在时间上的统计性质不随时间变化而变化，即其概率密度函数、平均值、自相关函数等都不受时间起点的影响。
平稳随机过程分为弱平稳和强平稳两种类型。
弱平稳是指随机过程的均值和自相关函数不随时间变化而变化，而强平稳还要求联合分布函数不随时间变化而变化。
对于弱平稳随机过程，其特点是平均值和自相关函数只与时间差有关，与时间起点无关。
具体来说，对于平稳随机过程X(t)，其平均值为E[X(t)]，自相关函数为R(t1,t2):
1. 平稳随机过程的平均值不随时间变化而变化，即对于任意t，有E[X(t)]= E[X(0)]。
2. 平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，即对于任意
t1,t2，有R(t1,t2) = R(t1-t2)。
强平稳过程除了满足弱平稳条件外，还要求联合分布函数不随时间变化而变化，即对于任意t1,t2和任意k1,k2，有联合分布
函数F(x1,x2,t1,t2) = F(x1,x2,t1+k,t2+k)。
这意味着在时间上的
任意平移，联合分布函数都保持不变。
平稳随机过程在实际应用中具有广泛的应用，例如信号处理、通信系统、金融市场等领域。
由于其统计特性不随时间变化而变化，使得对时间序列进行建模和预测更加稳定、可靠。
04 平稳随机过程 070924
则称
{X (t ), t T } 为广义平稳随机过程。 （弱平稳随机过程）
3、广义平稳与狭义平稳
当 E[ X (t )]
2
时， 狭义平稳 广义平稳
当X(t)为高斯过程时，
狭义平稳 广义平稳
广义平稳和狭义平稳并没有必然的
因果关系。
例2.2-1
设随机过程 X t At ，A为均匀分布于
同理
C ( ) C ( )
2、 在零点处达最大值
用公式表示：
同理可证：
（练习）
R(0) | R( ) |
C (0) C ( )
证明：E{[ X (t ) X (t )]2 } 0
即E[ X 2 (t ) 2 X (t ) X (t ) X 2 (t )] 0 而E[ X 2 (t )] E[ X 2 (t )] R(0) 故2 R(0) 2 R( ) 0 R(0) | R( ) |
1
1 2
1 2 0 ... n
或：
2
...
1 2 n RX t k , t m 0 ... n
狭义平稳随机过程的条件过于严格，
往往难于实现。 弱化条件，在二阶矩范围内（一阶 矩、二阶矩）满足平稳性，已经可 以满足实际中的分析要求。
2、广义平稳随机过程的定义
设 { X (t ), t T } 是一随机过程， E[ X 2 (t )] 且有：
(1) E[ X (t )] mx 常数 一阶矩 (2) R(t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] R( ) 二阶矩
随机过程第六章平稳随机过程
2
6.1 平稳随机过程的概念
定义6. 2 设{X(t)，t T }是随机过程，并满足： (1) {X(t)，t T }是二阶矩过程； (2) 对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3) 对任意s, t T ，
RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)， 则称{X(t)，t T }为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简 称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT }为平稳序列。
E ln.i.m
Xn
l.i.m
n
Ym
特别有 lim E n
Xn
2
E[
X
2]
E
l.i.m
n
Xn
2
28
6.3 随机分析简介
定理6.4 设{Xn} 为二阶矩随机序列，则{Xn}均方收敛的 充要条件是下列极限存在
lim
n,m
E
X
n
X
m
29
6.3 随机分析简介
定义6.6 设有二阶矩过程{X(t),tT}，若对每一个tT ，有
2
AB sin(t )sin(t )
1
d
0
2
AB 2 1 [cos( )
2 0 2
cos(2t 2 )]d
1 2
AB
cos(
)
RXY
(
)
22
6.2 联合平稳随机过程
RYX (t,t ) E[Y (t)X (t )] E[B sin(t )Asin(t )]
2
AB sin(t )sin(t )
其中ti1 ti ti (i 1, 2, , n)
随机过程课件chapter8平稳过程.pptx
称 X t S t 为随机相位周期信号，讨论其平稳性.
解 由假设， 的概率密度为
f
1 T
,
0＜＜T ,
0, 其它,
于是，均值函数
E［X
t ］
1 T
T
0
S
t
d
1 T
t T
t
S
d
1 T
T
0
S
d
常数
上面的第三个等号用到 S t 的周期性.
BUPT
8
1 平稳过程的概念
解：（续）同样，利用 S S 关于 的周期性，可得
BUPT
14
2.2自相关函数的性质
(4) 若平稳过程 X t 满足条件 X t X t l ，则称它
为周期过程，其中 l 为过程的周期. 周期平稳过程的自相关函 数必是以 l 为周期的周期函数. 因为:
RX l E［X t X t l］ E［X t X t ］ RX .
(5 ) RX 是非负定的，即对任意的 t1,t2 ,tn T 及任意
无关而只与 有关，则称X t,t T为宽(弱、广义)平稳过
程，并称 X 为它的均值， RX 为它的自相关函数.特别地.
一般来说，宽平稳过程不一定是严平稳过程.反过来，严 平稳过程一般也未必是宽平稳过程，因为它的二阶矩不一定 存在.
BUPT
6
1 平稳过程的概念
例 1.2 如果 Xn, n 0, 1, 2, 为互不相关的随机变
(3) RXY 2 RX 0 RY 0 .
这是由于
RXY 2 E［X t Y t ］2 E［X 2 t ］E［Y 2 t ］ RX 0 RY (0)
(4) | RXY( )| 12［RX (0) RY(0)］.
第十四章平稳随机过程
2
2
E[cos0 cos(20t 0 2)] [cos0
2 0
2
2
2
2
1 cos(20t 0 2 ) d ] 2
↓ 0
cos0 RX ( )
E[ X 2 (t )] RX (t , t ) RX (0)
2
2
因而，我们根据定义式，求得过程X(t)的均值， 自相关函数和均方值分别为
m X (t ) E[ X (t )] x(t ) f ( )d
2
0
1 cos( 0t ) d 0 2
RX (t1 , t 2 ) RX (t , t ) E[ X (t ) X (t )] E[ cos(0t ) cos(0 (t ) )]
f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 , t2 ,..., tn ) f X ( x1 , x2 ,..., xn ; t1 t , t2 t ,..., tn t )
则称该过程为严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。
为了形象的说明问题，我们暂且假定随机过程的所有状态X(t) 可以用纵轴表示，见下图。 X (t ) X (tn t )
因此：严平稳过程的二维数字特征仅是(时间差)的函数
RX (t1 , t2 ) x1 x2 f X ( x1 , x2 ; )dx1dx RX ( )
2
C X (t1 , t2 ) ( x1 mX )( x2 mX ) f X ( x1 , x2 ; )dx1dx2 C X ( ) RX ( ) mX 2 C X (0) RX (0) mX 2 X 2 D[ X (t )]
《平稳随机过程》课件
3
随机过程的度量
一些常用的计算方法，如二阶矩、自相关函数、谱密度等会在这个部分中讲述。
平稳性
严平稳
解释严平稳的定义，以及一些判 别方法。
宽平稳
介绍宽平稳的特点和判别方法， 形象化地展示。
平稳性的判别
详细介绍如何判断一个随机过程 是否为平稳随机过程。
自相关函数与谱密度
自相关函数
探讨自相关函数的定义以及在平稳随机过程中的应用。
小波分析与平稳随机过程
1
基本概念
介绍小波分析的基本概念，如小波包、小波函数、小波系数等。
2
小波变换
我们在这里介绍离散小波变换和连续小波变换。讲解原理和实例。
3
平稳性分析
这一部分主要是介绍如何用小波分析方法分析平稳随机过程的平稳性。
应用
信号处理
介绍平稳随机过程在信号处理中 的应用，如去噪、信号模拟等。
展望未来
展望未来平稳随机过程将会在 哪些领域得到更广泛的应用。
谱密度
解析谱密度的定义和具体应用。
Wiener-Hopf因子分解
进一步探讨在平稳随机过程中的应用，展示威纳-霍普夫因子分解方法。
平稳随机过程的线性组合
Hale Waihona Puke 系数• 线性组合中每个随机变 量对应一个系数
• 系数的大小和正负决定 了线性组合的具体形式
协方差
线性组合的协方差公式，以及 应用。
平稳性
这一部分主要是探究如何保持 线性组合的平稳性质。通过实 例来分析。
《平稳随机过程》PPT课 件
欢迎大家来了解平稳随机过程。这是一门数学上比较深奥的课程，但它也是 很有趣和有用的。在这个PPT课件中，我们会通过丰富的图例和实例讲解这门 课程的各个方面。
第二章随机信号分析2.3.1平稳随机过程的定义
第二章随机信号分析2.3.1平稳随机过程的定义
2.3.1 平稳随机过程的定义：
一、平稳随机过程的定义:
如果对于任意和以及有：则称为严平稳随机过程，或称狭义平稳随机过程。
二.平稳随机过程的数字特征：
1）,平稳随机过程的数学期望与时间无关
2），平稳随机过程的方差与时间无关
3）其中：
4）
平稳随机过程的数学期望及方差与无关，它的自相关函数和协方差函数只与时间间隔有关；随机过程的这种“平稳”数字特征，有时就直接用来判断随机过程是否平稳。
即若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与有关，即我们就称这个随机过程是广义平稳的。
三.宽平稳随机过程（广义平稳）:
若的数学期望为常数，且自相关函数只与有关，则称为宽平稳随机过程，或称广义平稳随机过程。
不难看出，严平稳过程一定是宽平稳过程，反之，不一定。
但对于正态随机过程两者是等价的。
后面，若不加特别说明，平稳过程均指宽平稳过程。
四. 联合宽平稳随机过程：
若，是宽平稳过程，且其中：。
则称和为联合宽平稳随机过程。
第五讲-平稳随机过程
(6) 相关函数具有非负定性 即对任意的 个复数 相关函数具有非负定性,即对任意的 即对任意的n个复数
α1 , α 2 ,..., α n
有
αi α*j RX (ti − t j ) ≥ 0 ∑∑
i =1 j =1
n
n
利用如下关系可证明
2 n E ∑ αi X (ti ) ≥ 0 i =1
2.3 平稳随机过程
X(t)=At， 例2.7、 设随机过程X(t)=At，A为标准正态分布的 2.7、 设随机过程X(t)=At 随机变量。 随机变量。 试问X(t)是否平稳？ 试问X(t)是否平稳？ X(t)是否平稳 解、
E{X (t )} = E{tA} = tE{A} = 0
RX (t1, t2 ) = E{X (t1 ) X (t2 )} = t1t2 E{A2} = t1t2
解、
1 x(t ) = lim T →∞ 2T
∫
T
−T
a cos(ωt + ϕ )dt = 0 = m X
1 x(t ) x(t + T ) = lim T → ∞ 2T
∫
T
−T
a 2 cos(ωt + ϕ ) cos(ωt + ωτ + ϕ )dt
= a 2 cos(ω0τ ) / 2 = RX (τ )
ˆ mX = 1 2T
∫
T
−T
x ( t ) dt
ˆ (τ ) = 1 RX 2T
∫
T
−T
x ( t + τ ) x ( t ) dt
随机序列： 随机序列：
ˆ mX
ˆ σ
2 X
1 = N
平稳随机过程
平稳随机过程平稳随机过程的是一种特殊而又广泛应用的随机过程。
一、平稳随机过程定义1.狭义平稳定义随机过程的维分布函数或维概率密度函数与时间起点无关，即对于任何和，随机过程的维概率密度函数满足则称是在严格意义下的平稳随机过程。
简称严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。
它的一维概率密度函数与时间无关，即而二维概率密度函数仅依赖于时间间隔有关，即 2.广义平稳定义：若随机过程的数学期望及方差与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔有关，即则称为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。
通信系统中所遇到的信号及噪声大多数可视为广义平稳随机过程。
以后讨论平稳随机过程除特殊说明外均指广义平稳随机过程。
二、各态历经性各态历经性是平稳随机过程在满足一定条件下的一个非常重要的特性。
设是平稳随机过程中任取的一个样本函数，若的数字特征（统计平均）可由的时间平均值替代，即则称随机过程具有各态历经性。
“各态历经”的含义：从随机过程中得到的任何一个样本函数，都经历了随机过程的所有可能状态。
因此，可用一个样本函数得统计特性来了解整个过程的统计特性，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。
注意：只有平稳随机过程才可能具有各态历经性，但在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经性条件。
三、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度1.平稳随机过程自相关函数的性质平稳随机过程自相关函数的定义式性质：（1）（的平均功率）（2）（是偶函数）（3）（时有最大值，为上界值）（4）（的直流功率）（5）（方差，为的交流功率）由上述性质可知，用自相关函数可表述的几乎所有的数字特征，因而具有实用意义。
例3.3.1 设随机过程，其中是在内均匀分布的随机变量。
试证明：（1）是广义平稳的；（2）试说明它的自相关函数的性质。
证明：(1)按题意，随机相位的概率密度函数为则的数学期望为的自相关函数为令，得。
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常 数
称{X(t),t∈T}为宽(弱、广义)平稳过程,简称
C X ( s, t ) RX ( s, t ) m X RX ( ) m X
4) 对于正态过程, 宽平稳性与严平稳性等价.
注：利用均值函数与协方差函数也可讨论 随机过程的平稳性。
怎样理解平稳过程? 一般地说,当产生随机现象的一切主要 条件可看作不随时间的改变而改变时,可以 把由此形成的随机过程看做是平稳的. 科学技术中的许多过程都是平稳的.
Ex.1 设{ X (t ) ,t T }是相互独立同分布的随机变量序列，
RW ( t a , t a ) RW ( t a , t ) RW ( t , t a ) RW ( t , t )
2 [min( t a , t a ) min( t a , t ) min( t , t a ) min( t , t )] 2 {[ t a min( 0, )] [t min( a , )]
有相同的联合分布函数, 称{X(t ),t∈T}是严 (强、狭义)平稳过程. 有限维分布不随时 间的推移而改变.
注1 严平稳过程描述的物理系统的概率
特征不随时间的推移而改变.
例如:工作在稳定状态下的接收机, 其输出 噪声可认为是严平稳的随机过程; 刚接上电源时的输出噪声应认为是非平稳过程.
严平稳过程的一维分布与时间无关, 而二维分布仅与t1和t2的间隔有关, 与时间起 点无关. 二、宽平稳过程 1）实际问题中确定一个过程的有限维分布 函数族,进而判定过程的严平稳性十分困难； 2）部分随机过程(如正态过程)的概率特征 主要由一阶和二阶矩函数确定；
平稳随机过程
§6.1 平稳随机过程的概念
§6.2 平稳过程的自相关函数
§6.3 平稳过程的各态历经性 §6.4 平稳过程的谱分析简介
§6.1 平稳随机过程的概念
上一章对于二阶矩过程,主要是针对过 程的均值函数和相关函数两个数字特征, 进 行概率性质的讨论. 平稳过程是一类其概率特征不随时间推 移的随机过程，在过程理论和应用中有特 殊地位和作用。 本章重点讨论特殊的二阶矩过程—(宽) 平稳过程.
与起点 有关.
2）因维纳过程是严平稳独立增量的正态 过程，且 X(t)=W(t+a)－W(t)～N(0, aσ2)
m X ( t ) E[ X ( t )] E[W ( t a )E[ X ( t ) X ( t )]
因为 在科学和工程中，例1中的过程称为“白噪 声”，它是实际中最常用的噪声模型。
注
Ex.2
设随机序列{ X (t ) sin 2t ， t T }，
其中T={1，2，…}
是在[0，1]上服从均匀分布的随
机变量，
试讨论随机序列 解
X (t )
的平稳性。
的密度函数为
所以
R(t , t )
注2
3）实际问题中,通常仅需在相关理论范畴 内考虑平稳过程,即只限于研究一、二阶矩 （均值、相关函数等）理论. 从随机过程的一、二阶矩出发定义在理 论和应用中更重要的平稳过程概念.
定义6.4.2 设X=｛X(t),t∈T｝是二阶矩过程, 若
1）对任意t∈T, m X ( t ) E ( X ( t )) m X ;
且均值和方差为 1， 2， } ， 其中 T {0，
E[ X (t )] 0
D[ X (t )]
2
试讨论随机变量序列 X (t ) 的平稳性。 解
E[ X (t )] 0 2，当 0 R(t , t ) E[ X (t ) X (t )] 0，当 0 故 X (t ) 是一个平稳时间序列。
注
故 X (t ) 是平稳随机序列。
1 ，当 0 sin 2 (t ) x sin 2txdx 2 0 0，当 0
E[ X (t )] sin 2txdx 0
0
1, f ( x) 0 ,
1
0 x 1
其它
1
Ex.2中的过程是宽平稳的，但不是严平稳的
一、严平稳过程 一类过程,具有平稳性, 即它的统计特性 不随时间的推移而改变, 它的当前变化情况 与过去的情况有不可忽视的联系. 定义6.4.1 {X(t) t∈T}是实随机过程, 若对n ＞1, t1 ,t2,…,tn∈T 和实数τ,当t1+τ,t2+τ,…, tn+τ∈T 时 (X(t1) , … , X(tn)) 与 (X(t1+τ), …,X(tn+τ))
[t min( 0, a )] [t min( 0, )]
2 [a 2 min( 0, ) min( a, ) min( 0, a )]
Ex.3 {W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程, 有 1) 维纳过程非宽平稳过程; 2) 维纳过程是增量宽平稳过程，即 X(t)=W(t + a)－W(t), t≥0, (a>0) 是宽平稳过程. 证 1) 因 E[W(t)]=0, RW(s, t)=σ2min(s, t), s,t≥0 故 {W(t), t≥0} 非宽平稳过程.
2
2
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
三、两种平稳性的关系 1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳; 3) 严平稳过程是宽平稳过程的充要条件是 其二阶矩存在.