同济大学高等数学第六版 第七章 微分方程

y y 例1. 解微分方程 y tan . x x y 解: 令 u , 则 y u x u ,代入原方程得 x u x u u tan u cos u dx du 分离变量 sin u x cos u d x d u 两边积分 sin u x 得 ln sin u ln x ln C ,即 sin u C x y 故原方程的通解为 sin C x ( C 为任意常数 ) x ( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
P ( x ) d x则
用常数变易法: 作变换 y ( x ) u ( x ) e
,
P (x) ue P ( x ) u e d u P (x )dx Q (x )e 即 d x ( x ) d x P 对应齐次方程通解 y C e P ( x ) d x 两端积分得 u Q ( x ) e d x C
2 y u ( x 1 ) 2 u ( x 1 )
代入非齐次方程得
1 (x u 1 )2
3 2 u ( x 1 ) 2 C 解得 3 3 2 2 ( x 1 ) ( x 1 )2 C 故原方程通解为 y 3
4、伯努利 ( Bernoulli )方程
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
一、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .
分类
常微分方程 (本章内容)
偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程
的阶. 一般地 , n 阶常微分方程的形式是
( n ) F ( x , y , y , , y ) 0
即
y e
x3 C 1
e e
C 1
3 C 1 x
令 C e
3 ln y x ln C
y Ce
x3
( C 为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
例2. 解初值问题
2 x y d x ( x 1 ) d y 0
y ( 0 ) 1
dy x 解: 分离变量得 dx 2 y 1x
x y ( C 为任意常数 ) ln ( 1 e ) y C 所求通解:
例4. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原
子的含量 M 成正比, 已知 t = 0 时铀的含量为 M 0 , 求在 衰变过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律. d M M( 0 ) t 解: 根据题意, 有 d M M t 0 0 (初始条件) dM ( ) d t 对方程分离变量, 然后积分: M t M 即M C e 得 ln M t ln C , M0 利用初始条件, 得 CM 0 t 故所求铀的变化规律为 M M e . o 0
故有 即 解得
2 1 u sin u
2 sec u d u d x
tan u x C
( C 为任意常数 ) x y 1 ) x C 所求通解: tan(
d y x 练习: 求方程 e y 的通解 . d x y x 解法 1 分离变量 e d y e d x
或
( n ) ( n 1 )( n 阶显式微分方程) y f ( x , y , y , , y )
微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 其图形称为积分曲线族. 特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线. 定解条件 — 确定通解中任意常数的条件. n 阶方程的初始条件(或初值条件): ( n 1 ) ( n 1 ) y ( x ) y , y ( x ) y , , y ( x ) y 0 00 0 0 0 引例1 通解:
y ln 2 ln C 两边积分得 ln x 1
即
2 y x 1C ( C 为任意常数 )
1
由初始条件得 C = 1, 故所求特解为
y x 1 1
2
例3. 求下述微分方程的通解:
2 y sin ( x y 1 ) x y 1 , 则 解: 令 u u 1 y
dy dx
2x
d2y
y x 12
y x2 C y x2 1
引例2
特解:
ds st 0 , dt t0 20 0 2 s 0 . 2 t C t C 1 2 2
dx
2Hale Waihona Puke Baidu
0.4
s 0 . 2 t 20 t
例1. 验证函数 x C cos k t C sin k t ( C ,C 为常数 ) 1 2 1 2 d2 x 2 的解, 并求满足初始条件 是微分方程 k x 0 2 d t dx 0 的特解 . x t0 A, dt t 0 d 2x 2 2 解: C k k t C k cos k t 2 sin 1 2 d t 2 2 k ( C sin k t C cos k t ) k x 1 2 这说明 x 是方程的解 . C cos k t C sin k t 1 2
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . dy P(x)y 0 1. 解齐次方程 dx dy P(x)dx 分离变量 y 两边积分得
ln y P ( x ) d x ln C
( x ) d x P y C e
故通解为
2. 解非齐次方程
d y P (x )yQ (x ) d x


2、齐次方程
dy y 形如 ( ) 的方程叫做齐次方程 . dx x y dy du u x , 解法: 令 u , 则 y u x , x dx dx du (u) 代入原方程得 u x dx du dx 分离变量: (u) u x du dx 两边积分, 得 ( u ) u x y 积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. x
第七章
第七章 微分方程
— 积分问题 已知 y f ( x ) , 求 y
推广
已知含 y及其若干阶导数的方程 ,求 y — 微分方程问题
第七章
第一节 微分方程的基本概念 与一阶微分方程解法
引例
几何问题
物理问题
一阶微分方程的基本概念与解法
引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的
C 1 ,C 2 是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得: C ,C 2 0, 故所求特解为 1 A
x A cos k t
例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q
且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 . 解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为 1 (Xx ) Yy y y 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标
2 2 例2. 解微分方程 ( y 2 x y ) d x x d y 0 . d y y y2 y 解: 方程变形为 , 2 令 u , 则有 d x x x x 2 u x u 2 u u
du dx 1 1 d x 分离变量 即 d u 2 x u u u 1u x x(u1) u 1 C 积分得 ln ln x ln C , 即 u u
P ( x ) d x
齐次方程通解
非齐次方程特解
5 d y 2 y 例1. 解方程 ( x 1 ) 2. d x x 1 d y 2d x dy 2y 0, 即 解: 先解 y x 1 dx x 1 2 积分得 ln 即 y y 2 ln x 1 ln C , C ( x 1 ) 2则 y u ( x ) ( x 1 ) , 用常数变易法求特解. 令
ue
P(x)dx
( x ) d x P
P (x)dx
Q (x )

P ( x ) d x e Q ( x ) e d x C 故原方程的通解 y P ( x ) d x P ( x ) d x P (x )dx e Q ( x ) e d x y Ce 即
则有
x g(y)dy f (x)d
G( y)
F ( x)
G ( y ) F ( x ) C
称为方程的隐式通解.
d y 2 的通解. 例1. 求微分方程 3x y dx dy 解: 分离变量得 3x2 dx 说明: 在求解过程中 y 每一步不一定是同解 dy 变形, 因此可能增、 两边积分 3x2 dx y 减解. 或 3 ln y x C 得 1
伯努利方程的标准形式: d y n P ( x ) y Q ( x ) y( n 0 , 1 ) d x 解法: 以 y n 除方程两边 , 得 d y n 1 n y P ( x ) y Q ( x ) d x d z y 1 n nd 令 zy , 则 ( 1 n ) y d x d x d z ( 1 n ) P ( x ) z ( 1 n ) Q ( x )(线性方程) d x 求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
t
例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系.
dv mg kv 解: 根据牛顿第二定律列方程 m dt 初始条件为 v t 0 0 dv dt 对方程分离变量, 然后积分 : mgkv m 1 t ( m g k v ) C( 此处 m g k v 0 ) 得 ln k m 1 t 足够大时 利用初始条件, 得 C ln (m g) mg k k v t k m g m 代入上式后化简, 得特解 v ( 1e ) k
X x y y x y y x ,即 y y 2 x 0
P
Q o xx
二、一阶微分方程的解法
1、可分离变量微分方程 形如
dy f1(x) f2(y) 或 g ( y ) d y f ( x ) d x dx
的微分方程称为 可分离变量方程。
解法：可分离变量方程的解法: g ( y ) d y f ( x ) d x 两边积分, 得
代回原变量得通解
求解过程中丢失了.
x ( y x ) C y(C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
3、一阶线性微分方程
d y P (x )yQ (x ) 一阶线性微分方程标准形式: d x 若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
y x e e C
即
x y ( e C ) e 1 0(C<0 )
解法 2 令 u 1 y u x y ,则
故有 积分
u u 1 e du 1eu xC
u u ( 1e )e 1eu du
u u ln ( 1 e ) x C
切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x dx y x 12
2
① ②
xd x x C (C为任意常数) 由 ① 得 y2
2 由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 yx 1 .
引例2. 列车在平直路上以 20m s的速度行驶, 制动时 2 获得加速度 a 0 . 4 m s ,求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) . 2 d s 0 .4 2 已知 dt ds 20 st 0 , 0 dt t 0 2 由前一式两次积分, 可得 s 0 . 2 t C t C 1 2 利用后两式可得 C 20 ,C 0 1 2 2 s 0 . 2 t 20 t 因此所求运动规律为