1.4.1倒格子和布里渊区

r
r r
r
r
b1
r
v v v v a1 b1 a2 b2 2 v v v v a1 b2 a2 b1 0
简立方点阵： r r
倒易点阵仍是简立方点阵：
a1 ai, a2 a j , a3 ak
r
2 r 2 r 2 r b1 i, b2 j , b3 k, a a a
推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。
用
u r
由于布里渊区界面是某倒格矢 G 的垂直平分面，如果 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
u u r
k
间矢量，它必然满足方程： v v 1 k G G2 2 该方程称作布里渊区的界面方程
布里渊区界面方程
布里渊区的界面是某一倒格矢 r r 1 2 程式可以写成： k G G 即
1.4
倒格子和布里渊区
(Reciprocal lattice; Brillouin zones)
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义 四. 倒易点阵实例
五. 布里渊区
一. 定义：假设 a1 , a2 , a3 是一个晶体点阵的基矢，该点阵的
格矢为： R n n1 a1 n1 a 2 n1 a 3
1. 证明：根据矢量运算规则，从倒格矢定义即可说明。
v v v v v v v v Rn Ghkl (n1a1 n2 a2 n3a3 ) (hb1 kb2 lb3 ) 2 (n1h n2 k n3l ) 2 m (m为整数)
3. 证明见习题1.11
2. 证明：
上述第4点的图示。
u r u u r ur 5. 正点阵和倒易点阵是互易的:由正点阵 a , a , a 给出倒易 1 2 3 r r r r r r 点阵 b1 , b2 , b3 现假定 b1 , b2 , b3 为正点阵，则其
倒易点阵根据定义为： 利用三重矢积公式： 可以得到： r
r
v v v v v v v v v A ( B C ) B( A C ) C ( A B)
Corner point Center of a square face Body-centered cubic Corner point joining four edges Center of a face Corner point joining three edges Hexagonal Center of a hexagonal face
所以倒格子也是布拉菲格子。 六角点阵： 六角点阵的倒易点阵： 见Ashcroft p88 c 轴方向不变，a 轴在垂直于c 轴的 平面上旋转30度。
正格子空间六方结构，在倒格子空间亦为六方结 构。不过其基矢尺寸关系发生变化，基矢方向也转了 一个角度。
三维例子：
正点阵为简 单点阵，倒 易点阵也是 简单点阵。
4. 证明：先证明倒格矢 Gh1 ,h2 ,h3 h1 a1 h2 a2 h3 a3
与正格子的晶面系 (h1h2h3 ) 正交。 如图所示，晶面系 (h1h2h3 ) 中最靠近原点的晶面（ABC） u r u r u r r r r 在正格子基矢 a1 , a2 , a3 的截距分别为： a1 , a 2 , a 3
Léon Brilliouin
（1889-1969）
布里渊区定义：在倒易点阵中，以某一格点为坐标原点，做所有 倒格矢的垂直平分面，倒易空间被这些平面分成许多包围原 点的多面体区域，这些区域称作布里渊区，其中最靠近原点 的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面
与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，依次类
uu r v uu r uu r 同理 Gh h h CB 0 而且 CA, CB 都在（ABC)面上， u r 所以 G h h h 与晶面系 (h1h2h3 ) 正交。
1 2 3
1 2 3
晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于 Gh h h ( ABC)
1 2 3
u r
可以证明：
r r r
r
r
r
r
v v v a (a2 a3 ) 原胞体积是： 1
v v v a2 a3 b1 2 v v v a1 a2 a3 v v v a3 a1 b2 2 v v v a1 a2 a3 v v v a1 a2 b3 2 v v v a1 a2 a3
d h1h2h3
v uur Gh h h 2 1 2 3 OA v v Gh1h2h3 Gh1h2h3
由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说 阵点）就能综合地表达出来。
K
显然： 即：
既然 R n 是正点阵的格矢，符合该关系的 G hkl 就是倒易点阵 的格矢。所以，同一物理量在正点阵中的表述和在倒易点阵中 的表述之间服从Fourier变换关系。
r
v v exp(iGhkl Rn ) 1 v v Ghkl Rn 2 m
K
u r
实际上，晶体结构本身就是一个具有晶格周期 性的物理量，所以也可以说：倒易点阵是晶体点阵的 Fourier变换，晶体点阵则是倒易点阵的Fourier逆变换。 因此，正格子的量纲是长度 L, 称作坐标空间，倒格 子的量钢是长度的倒数 L-1，称作波矢空间。例如：正 点阵取cm,倒易点阵是cm-1, 下一节我们将看到： 晶体的显微图像是真实晶体结构在坐标空间的映像。 晶体的衍射图像则是晶体倒易点阵的映像。
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是：
3 v v v (2 ) * b1 (b2 b3 )
4. 正点阵晶面族 (h,k,l) 与倒易点阵格矢 G hkl 相互垂直， u r r r r 2
Ghkl hb1 kb2 lb3
且有：
d hkl u r G hkl
u r
b 3 a1 a 2 ,
r
r
r
v v v a3 a1 b2 2 v v v a1 a2 a3 v v v a1 a2 b3 2 v v v a1 a2 a3
b2
r
a2
a1
r
左图是一个二维斜方点阵和它的 倒易点阵， b1 a2 , b2 a1 ,
c1

同样可以证明：
c2 a2 , c3 a3 ,
r
*

a1 a1
r r
r
三. 倒易点阵（Reciprocal lattice）的物理意义：
倒易点阵的物理意义和在分析周期性结构和相应物性中作 为基本工具的作用，需要我们在使用中逐步理解。 r r r r 当一个点阵具有位移矢量 R n n1 a1 n1 a 2 n1 a 3 时，考虑到周期性特点，一个物理量在 r 点的数值 ( r ) r r r 也应该具有周期性： (r ) (r Rn ) 两边做Fourier展开，有： v v v v v v '(Ghkl ) exp(iGhkl r ) '(Ghkl ) exp(iGhkl r ) exp(iGhkl Rn )

r k
G 2


k
G 2
G


正方点阵布里渊区
第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状，不管被分成多少部分，对原点都是对称的
六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4－24 （p194)
Kittel
（p28)
黄昆书图4－12（p179)
见黄昆书图4－12 （p179)
2 r r c1 * (b 2 b 3 )
v v v v 2 v 3 又因为： b1 (b2 b3 ) (2 ) (a1 b1 ) (2 ) r 2 (2 ) 2 r r 所以：
*
2 r r 2 r r (2 ) 2 r b 2 b3 ( a 3 a1 ) ( a1 a 2 ) a1
r空间（实空间）
k空间(相空间) 倒格子 布里渊区
（倒空间中的Wigner-Seitz原胞）
布拉伐格子
原胞 正（坐标）空间
数学：正格子 观察：显微镜
周百度文库性
倒（动量）空间
数学：倒格子 观察：X射线衍射
五. 布里渊区： 第一布里渊区的确定：取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。
r k
r 在G r 上的投影是 G
2
r G
的垂直平分面，界面方
的0.5倍 。 r r r k 是倒格子空间中的矢量。满足上式的 k 的端点将落在 G r 的垂直平分面上，所有 k 的末端的格点构成布里渊区的界 r 面，只要给定 G ，就可以求出对应的布里渊区界面。
G G ( k ) 0 2
倒易点阵是在晶体点阵（布拉菲格子）的基础上定 义的，所以每一种晶体结构，都有 2个点阵与其相联系， 一个是晶体点阵，反映了构成原子在三维空间做周期排 列的图像；另一个是倒易点阵，反映了周期结构物理性 质的基本特征。
四. 倒易点阵实例：
倒格子基矢是从点阵基矢引出的，它们之间的联系需要我 v v 们通过具体实例来理解：根据右面定义， v a2 a3 r r r r r r b1 2 v v v a1 a2 a3 显然 ： b1 a 2 a 3 , b 2 a 3 a1 ,
X
K L
Center of a face
Face-centered cubic Middle of an edge joining two hexagonal faces Center of a hexagonal face
U
W X H N P A
Middle of an edge joining a hexagonal and a square face
u u r
u r
u r
u r
h1 h2 h3
于是：
CA OA OC CB OB OC
uu r
uu r
uur
a1 h1 a2 h2
r

a3 h3 a3 h3
r
uu r
uu r
uur
r
r
uu r v Gh h h CA
1 2 3
v v v v v a1 a3 ( h1b1 h2b2 h3b3 ) ( ) h1 h3 2 2 0
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系：
倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的， 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系： v v bi a j 2 ij 1. 两个点阵的基矢之间： 1, i j ij 0, i j
v v 2. 两个点阵的格矢之积是 2 的整数倍： Ghkl Rn 2 m
正格子空间中长 的基矢a3对应于 倒格子空间短的 基矢b3，反之亦 然。推广，正格 子空间长的线条 对应于倒格子空 间短的线条。
正点阵为有心点阵时，倒易点阵也是有心点阵， 但有心类型可能不同，例如：体心立方点阵的倒格子 为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
正、倒格子对应关系
不同空间描写晶体的对称性
体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
Kittel （p29）,黄昆书图4－13（p179)
见黄昆书图4－13 （p179)
Symbol Γ M R
Description Center of the Brillouin zone Simple cube Center of an edge Corner point
现在定义 3个新的基矢 r r r b1 , b2 , b3 构成一个新点阵：
（ h,k,l 是整数。） 位移矢量
G hkl hb1 kb2 lb3 就构成了上面点阵的
u r
r
r
r
倒易点阵，上面变换公式中出现的 2 因子，对于晶体学 家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮 助，更是整个固体物理的核心概念。