2021年高考数学专题复习：椭圆
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（II）过点 作直线 交椭圆于两个不同点 ，求证：直线 ， 的斜率之和为定值.
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
D
C
C
C
D
B
9． 10． 11． 12．
13.【答案】（1）解：命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，则 ，解得 .
（2）解：命题 ：“方程 表示双曲线”，则 ，解得 或 .
若“ 和 ”都是真命题， ，所以
A．变大B．变小C．不变D．与 的大小有关
7．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆 上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．3C．4D．5
8．已知 ， ， 是第一象限内的点，且满足 ，若 是 的内心， 是 的重心，记 与 的面积分别为 ， ，则（）
A． B． C． D． 与 大小不确定
【解析】（1）根据方程表示焦点在 轴上的椭圆得到 ，计算得到答案.（2）命题 为真命题时满足 或 ，求交集得到答案.
14.【答案】解：椭圆C： 的标准方程为： ，
所以 ，
所以椭圆的长轴长 ，焦点坐标 ，
离心率 ．
【解析】写出椭圆的标准方程，求出a，b，c，代入求出长轴长，焦点坐标和离心率．
15.【答案】（1）解：由 得 ，消去 得 ，
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的右焦点是 ， 为坐标原点，若椭圆上存在一点 ，使 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能为（）
A． B． C． D．
5．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
A． B． C． D．
6．我国于2010年10月1日成功发射嫦娥二号卫星，卫星飞行约两小时到达月球，到达月球以后，经过几次变轨将绕月球以椭圆型轨道飞行，其轨迹是以月球的月心为一焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近月点到月心的距离为m,远月点到月心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m,2n.则第一次变轨前的椭圆离心率比第二次变轨后的椭圆离心率( )
15.在直角坐标系 中，直线 的参数方程 （ 为参数， ），曲线C的参数方程 （ 为参数）．
（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；
（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线 所得线段的中点极坐标为 时，求 ．
16.已知椭圆 （ ）的焦距为2，离心率为 ，右顶点为 .
（I）求该椭圆的方程；
2021年高考数学专题复习：椭圆
一、单选题
1．椭圆 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
2．已知 ､ 分别是椭圆 的左､右焦点，过 的直线 交椭圆于 ､ 两点， ， ，且 轴.若点 是圆 上的一个动点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 的方程是（）
二、填空题
9．已知 为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一点，若 ，则 等于________．
10．斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 ， 两点，且 在直线 的左上方.若 ，则 的面积为________.
11．已知椭圆C的两个焦点为 ， ，过 的直线与椭圆C交于A、B两点，若 ， ，则C的方程为________.
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆方程为 ．
（II）由题意得，当直线 的斜率不存在时，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 .
由 消去y整理得 ，
∵直线与椭圆交于两点，
∴ ，
解得 ．
设 ， ，
则 ， ，
又 ，
∴ .
即直线 ， 的斜率之和为定值.
【解析】（I）由椭圆的焦距和离心率可得 ， ，故 ，从而可得椭圆的方程．（II）讨论直线 的斜率，当斜率存在时设其方程为 ，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得 ，即得结论成立．
12．已知过椭圆 的左焦点 的直线交 于 、 两点，若 恒成立，则 的最大值为______.
三、解答题
13.已知命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 ：“方程 表示双曲线”.
（1）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 都是真命题，求实数 的取值范围.
14.已知椭圆C：4x2+9y2=36．求的长轴长，焦点坐标和离心率．
所以曲线C的普通方程为
（2）解：直线l所得线段的中点极坐标为 化成直角坐标为 ．
设直线l与曲线C相交于 ， 两点，则
， ， ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
又∵ ，∴直线 的倾斜角为
【解析】（1）消去参数 ，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k的值，从而求得直线的倾斜角.
16.【答案】解：（I）由题意可知 ，故 ，
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
D
C
C
C
D
B
9． 10． 11． 12．
13.【答案】（1）解：命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，则 ，解得 .
（2）解：命题 ：“方程 表示双曲线”，则 ，解得 或 .
若“ 和 ”都是真命题， ，所以
A．变大B．变小C．不变D．与 的大小有关
7．在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆 上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )
A．2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．3C．4D．5
8．已知 ， ， 是第一象限内的点，且满足 ，若 是 的内心， 是 的重心，记 与 的面积分别为 ， ，则（）
A． B． C． D． 与 大小不确定
【解析】（1）根据方程表示焦点在 轴上的椭圆得到 ，计算得到答案.（2）命题 为真命题时满足 或 ，求交集得到答案.
14.【答案】解：椭圆C： 的标准方程为： ，
所以 ，
所以椭圆的长轴长 ，焦点坐标 ，
离心率 ．
【解析】写出椭圆的标准方程，求出a，b，c，代入求出长轴长，焦点坐标和离心率．
15.【答案】（1）解：由 得 ，消去 得 ，
A． B． C． D．
4．已知椭圆 的右焦点是 ， 为坐标原点，若椭圆上存在一点 ，使 是等腰直角三角形，则椭圆的离心率不可能为（）
A． B． C． D．
5．设 是椭圆 上的动点，则 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（）
A． B． C． D．
6．我国于2010年10月1日成功发射嫦娥二号卫星，卫星飞行约两小时到达月球，到达月球以后，经过几次变轨将绕月球以椭圆型轨道飞行，其轨迹是以月球的月心为一焦点的椭圆．若第一次变轨前卫星的近月点到月心的距离为m,远月点到月心的距离为n，第二次变轨后两距离分别为2m,2n.则第一次变轨前的椭圆离心率比第二次变轨后的椭圆离心率( )
15.在直角坐标系 中，直线 的参数方程 （ 为参数， ），曲线C的参数方程 （ 为参数）．
（1）求曲线C在直角坐标系中的普通方程；
（2）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C截直线 所得线段的中点极坐标为 时，求 ．
16.已知椭圆 （ ）的焦距为2，离心率为 ，右顶点为 .
（I）求该椭圆的方程；
2021年高考数学专题复习：椭圆
一、单选题
1．椭圆 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
2．已知 ､ 分别是椭圆 的左､右焦点，过 的直线 交椭圆于 ､ 两点， ， ，且 轴.若点 是圆 上的一个动点，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．已知中心在原点的椭圆 的右焦点为 ，离心率等于 ，则 的方程是（）
二、填空题
9．已知 为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一点，若 ，则 等于________．
10．斜率为 的直线 与椭圆 ： 交于 ， 两点，且 在直线 的左上方.若 ，则 的面积为________.
11．已知椭圆C的两个焦点为 ， ，过 的直线与椭圆C交于A、B两点，若 ， ，则C的方程为________.
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴椭圆方程为 ．
（II）由题意得，当直线 的斜率不存在时，不符合题意；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 .
由 消去y整理得 ，
∵直线与椭圆交于两点，
∴ ，
解得 ．
设 ， ，
则 ， ，
又 ，
∴ .
即直线 ， 的斜率之和为定值.
【解析】（I）由椭圆的焦距和离心率可得 ， ，故 ，从而可得椭圆的方程．（II）讨论直线 的斜率，当斜率存在时设其方程为 ，与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及题意可求得 ，即得结论成立．
12．已知过椭圆 的左焦点 的直线交 于 、 两点，若 恒成立，则 的最大值为______.
三、解答题
13.已知命题 ：“方程 表示焦点在 轴上的椭圆”，命题 ：“方程 表示双曲线”.
（1）若 是真命题，求实数 的取值范围；
（2）若命题 和 都是真命题，求实数 的取值范围.
14.已知椭圆C：4x2+9y2=36．求的长轴长，焦点坐标和离心率．
所以曲线C的普通方程为
（2）解：直线l所得线段的中点极坐标为 化成直角坐标为 ．
设直线l与曲线C相交于 ， 两点，则
， ， ，
由 得 ，
所以 ，即 ，
又∵ ，∴直线 的倾斜角为
【解析】（1）消去参数 ，即可得曲线的普通方程；（2）利用点差法求出直线的斜率k的值，从而求得直线的倾斜角.
16.【答案】解：（I）由题意可知 ，故 ，