大学物理-第二十章第一课

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Ψ(x, t) A cos 2 ( t x ) A cos 2 (h t hx )
Acos 1 Et P x
h
i
(
Et
px
)
Ψ(x,t) Ae
概率波波函数:一维
Ψ(x, t),三维
Ψ(r , t)
2、波函数的统计解释 物质波是“概率波”,它是怎样描述粒子
在空间各处出现的概率呢?
玻恩对 的统计解释(1926) :波函数 是描
由于量子力学预言的结果和实验异常精确地相 符,所以它是一个很成功的理论,但是关于量 子力学的哲学基础仍然有很大的争论。
以波恩、海森伯为代表的哥本哈根学派坚持波 函数的概率或统计解释,认为它就表明了自然 界的最终实质。
爱因斯坦1927年就说过:“上帝并不是跟宇宙 玩掷骰子游戏”
德布罗意1957年说:不确定性是物理实质,这样的主 张并不是完全站得住的。将来对物理实在的认识达到 一个更深的层次时,我们可能对概率定律和量子力学 作出新的解释,即它们是目前我们尚未发现的那些变 量的完全确定的数值演变的结果。
3)连续性: 波函数连续,保证概率密度连续。
玻恩(M.Born,英籍德国人,1882 1970) 由于进行了量子力学的基本研究, 特别是对 波函数作出的统计解释,获得了1954年诺贝 尔物理学奖。
四、 不确定关系
电子一个一个 地通过单缝
长时间积累后也 出现衍射图样
由于微观粒子具有波粒二象性,用经典概
狄拉克1972年说:在我看来,我们还没有量子力学的 基本定律。目前还在使用的定律需要做重要的修 改,……。当我们作出这样剧烈的修改后,当然,我 们用统计计算对理论作出物理解释的观念可能会被彻 底地改变。
19.5 量子物理学的基本原理
一、 基本概念
粒子、动力学变量、量子态
粒子(微观粒子):不是质点,它就是 客观存在的实体。
念(坐标、动量、能量、轨道等)描述其状态 会受到限制。
假设经典描述仍适用。我们用狭缝来测电子过狭缝 时的 x 坐标。
电子到达观测屏时将传递动量给观测屏,通过测量 这一动量可得到电子过狭缝时动量的 x 分量。
为了尽可能确定 x 坐标,必须缩小狭缝宽度 a , 这样就增加了 px 的不确定度,即其测量值是随机 的、不确定的,又称 测不准。
子弹的运动几乎显现不出波粒二象性。
【例】原子的线度按1010 m估算,原子中电子的
动能按 10eV估算,论证原子中电子的运动不存
在轨道。

v
2Ek m
2 10 1.6 1019 9.11 10 31
2106(m
s)
x px 2
v
2mx
1.05 10-34 2 9.11 1031 1010
E
p
2 x
算符对应关系: 2m
2 2
i
t
2m
x 2
作用于波函数,得自由粒子薛定谔方程
i
t
(x,
t)
2 2m
2 x 2
(
x,
t)
二、薛定谔方程
设粒子在势场U(x,t)中运动,能量关系为
E
p
2 x
U ( x, t )
2m
算符对应关系:i
t
2 2m
2 x 2
U ( x, t)
作用于波函数,得薛定谔方程
述粒子在空间概率分布的“概率幅”。其模方
Ψ(r,t) 2 Ψ(r, t)*Ψ(r, t)
代表
t
时刻,在坐标
r
附近单位体积中发现一个
粒子的概率, 称为“概率密度”。
z
在t 时刻,在 r附近dV
dV 内发现粒子的概率为:
r
y
Ψ(r ,t )
2 dV
x
在空间
发现粒子的概率为:
Ψ
r,t
2
dV
Ω
4、统计解释对波函数提出的要求 根据波函数的统计解释,它应有以下性质:
0.6106 (m
s)
速度不确定度v和速度本身v数量级相同, 电子速度完全不确定。从 而 下 一 时 刻 电 子 位 置 完全不能确定,轨道的概念失去意义。
物理意义:
1)微观粒子运动过程中,其坐标的不确定量 与该方向上动量分量的不确定量相互制约
x , px ;
x 0 位置完全确定
px 动量分量完全不确定
微观粒子在某些 条件下表现出粒子 性,在另一些条件 下表现出波动性, 而两种性质虽寓于 同一客体体中,却 不能同时表现出来。
少女? 老妇? 两种图象不会同时 出现在你的视觉中。
三、对波粒二象性的理解
“整体性”:
只在空间和时间的很小区域内,作为一个整
体产生效果。
粒 具有集中的能量E和动量 p
子 性
不是经典粒子!抛弃了“轨道”概念!
x
px
y py z pz
2
h
2
不确定关系使微 观粒子运动失去 了“轨道”概念。
海森伯(W.K.Heisenberg)1901--1976
德国理论物理学家。
26岁时提出不确定关系,
于1932年获诺贝尔物理学奖。
能量和时间之间的不确定关系:
E t
2
t:测量能量经历的时间范围, E:能量不确定度。
“轨道”概
px 0 动量完全确定
念失去意义
x 位置完全不确定
2) 微观粒子永远不可能静止 —— 存在零点能,
否则,x 和 px 均有完全确定的值,违反不确定关系。
海森伯的原理是发出警告的路牌:“普通的 语言只能应用到这里为止”,当你走到原子领 域时,就会遇到麻烦。
---维斯科夫
该图出自伽莫夫的 《物理世界奇遇记》
等于 Aˆ 在量子态 上的平均值
A Aˆ dV
A Aˆ , Aˆ
4、 波函数(概率幅)随时间的演化,遵从 薛定谔方程
i Hˆ
t
Hˆ 是系统的哈密顿算符 Hˆ pˆ 2 U
2m
pˆ 是粒子的动量算符 pˆ i
三、 关于量子物理学的几个问题 1、 关于概率幅 2、 关于概率幅和算符的关系
波粒二象性,既不是经典粒子,也不是 经典波。
描述微观粒子,可以借用经典物理的概 念,但不能照搬。
动力学变量(力学量): 即通常说的物理量 在量子力学里面,力学量通常用线性算符来表示
量子态: 要确定一个量子系统的量子态,需要用到动力 学变量的一个集合,称为“力学量的完全集”。
用力学量的一些特定值(即本征值),可以 惟一地标定一个给定的量子态
1)有限性:在空间任何有限体积元V中找到
粒子的概率 ( Ψ 2 dV ) 必须为有限值。
V
归一化:在空间各点的概率总和必须为1。
归一化条件: Ψ r,t2dV 1, ( 全空间)
若 Ψ r,t2 dV A, 则
1 Ψ r,t 2 dV 1
A
1 — 归一化因子
A
2)单值性:波函数应单值,从而保证概率密 度在任意时刻、任意位置都是确定的。
是线性齐次微分方程,解满足态叠加原理
若 1(r, t ) 和 2(r, t ) 是薛定谔方程的解,
则 c11(r,t) c2 2(r,t) 也是薛定谔方程的解。
方程中含有虚数 i
它的解 是复函数,复数不能直接测量。 而 的模方代表概率密度,可测量。
哈密顿(Hamilton)量
Hˆ pˆ 2 U (r, t) 2 2 U(r, t)
Ψ(x,t) A cos 2 ( t x ) A cos 2 (h t hx )
Acos 1 Et P x
h
i (Et px)
Ψ(x,t) Ae
根据波函数的统计解释,它应有以下性质:
1)有限性: 归一化: 2)单值性: 3)连续性:
自由粒子波函数(一维)
i (Et px)
微商,得到方程
x
Px P Py
a sin
只 计 中 央 明 纹 区 , 角 宽度2
a sin
位置不确定量: x a
动量 px 不确定量
正中 px 0
px
边沿 px psin
px
p sin
h a
h a
x px h
p
py
把其余明纹的贡献考虑在内,有:
x px h (同时测量)
海森伯1927年由量子力学导出了不确定关系:
7个电子
尽管单个电子的去向是概率性的,但其概率在
一定条件下(如双缝),还是有确定的规律的。
玻恩(M.Born):德布罗意波并不像经典 波那样是代表实在物理量的波动,而是描述粒 子在空间的概率分布的“概率波”。
二、波函数及其统计解释
1、波函数 微观粒子的状态用波函数表示。
对于一维运动的自由粒子,德布罗意波的波长 和频率不变,故可用平面简谐波的波函数来描述。
【例】设子弹质量为0.01kg,枪口直径为0.5cm, 试分析波粒二象性对射击瞄准的影响。
解 横向速度的不确定度为
v x
2mx
1.05 10-34 2102 0.5 102
1.11030(m
s)
这可以看成是横向速度的最大值,它远远 小于子弹从枪口射出时每秒几百米的速度, 因此对射击瞄准没有任何实际的影响。
第20章 薛定谔方程
§20 .1 薛定谔方程和力学量算符
1926年,在一次学术讨论会上年轻的薛定谔介绍德 布罗意关于粒子波动性假说的论文,在薛定谔讲完后, 物理学家德拜(P.Debey)评论说:认真地讨论波动, 必须有波动方程。
几个星期后,薛定谔又作了一次报告。开头就兴奋 地说:你们要的波动方程,我找到了!这个方程,就 是著名的薛定谔方程。
Ψ(x,t) Ae
(x,t)
t
i h
E
Ae(xhi (,Ett)
px )
两边同乘以 i
i (x,t) E (x,t) i E
t
t
i (x,t)
x
px
(
x,t)
i x
px
2
2
(x,t x2
)
px2
(
x,t)
2
2 x2
px2
算符 对波函数的运算、变换或操作。 例如
t
(x,t)
:算符
t
i
t
( x, t )
2 2m
2 x 2
U( x, t)
( x, t )
三维:
i
t
2 2m
2 x
2
2 y2
2 z2
U
(r,
t
)
引入拉普拉斯算符:
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
薛定谔方程:
i t
2 2m
2
U
(ห้องสมุดไป่ตู้ ,
t
)
i
t
2 2m
2
U
(r,
t
)
是量子力学的基本方程,描述非相对论性粒 子波函数随时间演化规律。
这在微观世界里是可能 发生的图象。该图包含着 两个物理内容:
1. 由不确定关系,汽车在 车库中永远不会静止。
2. 物体在有限势阱内(车 库的壁)有一定透出的概 隔壁车库内的汽车突然闯入了客厅 率。
波函数的统计解释及不确定关系具有重要的哲学意义。
它意味着:在已知给定条件下,不可能精确地 预知结果,只能预言某些可能的结果的概率。 这与经典物理的严格的因果律矛盾。
薛定谔方程是量子力学的基本动力学方程,它在量 子力学中的作用和牛顿方程在经典力学中的作用是一 样的。
同牛顿方程一样,薛定谔方程也不能由其它的基本 原理推导得到,而只能是一个基本的假设,其正确性 也只能靠实验来检验。
一、自由粒子薛定谔方程
波函数 微观粒子的状态用波函数表示。
对于一维运动的自由粒子,德布罗意波的波长 和频率不变,故可用平面简谐波的波函数来描述。
2m
2m
用哈密顿量,薛定谔方程可写成
i Hˆ
t
势函数U不显含时间的情况很重要。这时, 薛定谔方程可分离变量求解。
三、 定态薛定谔方程
若势函数U不显含t,
能量、概率密度不随时间变化的状态——定态
定态波函数取驻波形式:
▲ 能级自然宽度和寿命的关系
设体系处于某能量状态的寿命为t ,则该状
态能量的不确定程度(能级自然宽度)E , 2t
假定原子中某一激发态的寿命 t ~10 8 s,则
由此给出能级宽度 ΔE 3.3108 eV
不确定关系是由微观粒子的固有属性决定的,
与仪器精度和测量方法的缺陷无关。
在宏观现象中,不确定度关系可以忽略。
二、 基本原理
1、 每一个动力学变量对应于一个线性算符
量子力学的算符是定义在波函数上的,算符作 用在波函数上,仍旧得到一个描述该量子系统 的波函数
线性算符:
Aˆ (c ) cAˆ ,
Aˆ ( 1 2 ) Aˆ 1 Aˆ 2
2、 线性算符的本征值,就是相应动力学变量测 量的可能值
3、 动力学变量 Aˆ 的测量值的平均值 A ,
轨道:粒子在任意时刻都具有确定的位置和
速度,从而下一时刻的位置和速度完全确定。
波 动
“相干叠加”、干涉、衍射、偏 振
具有波长和波矢
k(
2
e)

不是经典波!不代表实在物理量的波动。
底片上出现一个个的点 电子具有粒子性。 随着电子增多,逐渐形成衍射图样 来源于 “一个电子”所具有的波动性, 而不是电子间相 互作用的结果。
代表对波函数关于
t
求导
x
( x, t ) :算符
x
代表对波函数关于
x
求导
xˆ (x,t) x (x,t) :算符 xˆ 代表用 x 乘波函数
*(x,t) :对波函数取复共轭
算符是通过对波函数的作用关系来定义的
算符和力学量的对应关系:
i E, t
i
x
px ,
2
2 x2
px2
对于非相对论性一维自由粒子:
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