第三章 水动力学基础

比较：采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉 格朗日法优越，其原因有三：
一 是利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工 具来研究。 二 是采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法， 加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏 微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程 比二阶偏微分方程求解容易。 三 是在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。当 然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问题中 还是方便的
(u • ∨ )u = 0
非均匀流指流场中相应点的流速大小或方向或 二者同时沿程改变，即沿流程速度分布不均匀的 流动
(u • ∨ )u ≠ 0
非均匀流又可分为渐变流和急变流
• 渐变流、急变流 • 渐变流——非均匀流中流动沿程变化缓 慢 • 渐变流问题一般可近似为均匀流问题求 解。渐变流与急变流没有明确的界限。
流线方程微分为
dx dy = ux u y
将两个分速度代入流线微分方程，得到
即
dy dx = − ky kx
xdx+ydy=0 x2+y2=c
积分上式得到
即流线簇是以坐标原点为圆心的同心圆。
2.迹线
迹线是流场中某一质点运动的轨迹。例如在流 动的水面上撒一个小球，小球随水流漂流的途 径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。 流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线 是流体运动的一种几何表示，可以用它来直观 形象地分析流体的运动，清楚地看出质点的运 动情况。 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表 示同一流体质点在不同时刻所形成的曲线，其 数学表达式为： dx dy dz = = = dt ux u y uz
量，则得到流体质点的运动规律。 对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量， 得到某一时刻不同流体质点的位置分布。
• 流体质点的速度分量可写为位移对时间 的一阶导数：
∂x( a, b, c, t ) u x = u x ( a , b, c , t ) = ∂t
∂y ( a, b, c, t ) u y = u y ( a , b, c , t ) = ∂t
均匀流
渐变流 非均匀流
均匀流
急变流 非均匀流
均匀流
非
急 变 均 流 匀 流
均 匀 流
非均匀流 急变流
• 加速度分量（欧拉法）
du x ∂u x ∂u x dx ∂u x dy ∂u x dz ax = = + + + dt ∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
∂u x ∂u x ∂u x ∂u x 位移加速度 = + ux + uy + uz 时变加速度∂t ∂x ∂y ∂z
A
A'
B B'Βιβλιοθήκη Baidu
当水箱水位不变时： A点的位移加速度和时变加速 uAdt uBdt 度均为零；B点的时 变加速度为零，位移加速度不为零。 当水箱水位变化时： A点的位移加速度为零，时变加速度不为零，为一负值；B点 的时变加速度和位移加速度均不为零。 质点的加速度=时变加速度+位移加速度 非恒定引起 非均匀性引起
无数微元流束的总和称为总流。自然界和工程中所 遇到的管流或渠流都是总流。根据总流的边界情 况，可以把总流流动分为三类： （1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约 束，即流体充满流道，如压力水管中的流动。 （2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约 束，另一部分与气体接触，形成自由液面，如明 渠中的流动。 （3）射流 总流的全部边界均无固体边界约束， 如喷嘴出口的流动。
x，y，z有双重意义，一方面它代表流场的空间 坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。根据 流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所 占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的 速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标 x，y，z也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函 数： x= x (t) y= y (t) z= z (t)
§3.1
流体运动的两种描述方法
a，b，c，t
• 拉格朗日法（Lagrange ）
z = z (a , b, c, t)
y = y (a ,b, c,t)
x = x(a, b, c, t)
称为拉格朗日变数， 它不是空间坐标的函数， 而是流体质点标号。
a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的 a、b、c代表不同的流体质点。 对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变
u = u ( x, y , z , t )
流动的描绘
1.流线
流线是某一瞬时在流场中所作的一条曲线，它上面所有液 体质点在该瞬时的流速向量都与这一曲线相切，这样的曲 线称为流线。流线表明了某瞬时流场中各点的流速方向。 因此流线是同一时刻，不同流体质点所组成的曲线。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清楚地 看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度，也可以 判定出速度的大小。流线的引入是欧拉法的研究特点。例如在流 动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条 曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线就是流线
流管和流束
微小流管
封闭曲线
流管、微小流束、总流和过水断面
流管——由流线构成的 一个封闭的管状曲面 微小流束——充满以流
dA
管为边界的一束液流
过水断面——与微 小流束或总流的流 线成正交的横断面
总流——在一定边界内 具有一定大小尺寸的实 际流动的水流，它是由 无数多个微小流束组成
过水断面的形状可以 是平面也可以是曲面。
例：在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹
线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在x和y方 向的分量为多少？
【解】
dx d ux = = (5t 2 ) = 10t dt dt
dy d ⎛ 25 ⎞ 1 dx uy = = ⎜ ⎟ = −25 2 x dt dt dt ⎝ x ⎠
= −25 1
非恒定流又称非定常流，是指流场中空间点上至少有一个 运动要素随时间变化而变化。
∂u ≠ 0 ∂t
欧拉加速度中的时变加速度为0的流动即为恒定流， 时变加速度不为0的流动即为非恒定流
2.均匀流、非均匀流（渐变流和急变流） 均匀流指沿流动方向流场各点的流速，包括大小 与方向均相同的流动。 均匀流的特性：匀速直线运动
例如：流体质点的三个速度分量、压强和密度可表示 为： ux=ux (x，y，z，t) uy=uy (x，y，z，t) uz=uz (x，y，z，t) P=P (x，y，z，t) ρ=ρ（x，y，z，t)
• 当参数x，y，z不变而改变时间t，则表示空间 某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不 变，而改变x，y，z，则代表某一时刻，空间各 点的速度分布。
【例3-1】 已知用拉格朗日变量表示的速度分布为
ux=(a+2)et-2，uy=(b+2)et-2，且t=0时，x=a， y=b。求（1）t=3时质点分布；（2）a=2，b=2质 点的运动规律；（3）质点加速度。
【解】
∂x = ( a + 2) e t − 2 ∂t
将上式积分，得
∂y = (b + 2 ) e t − 2 ∂t x = (a + 2)e t − 2t + c1
∂u ax = = 10 ∂t
(5t )
2 2
10t = −
10 t3
30 = 4 ay = ∂t t
∂u y
三、流管、流束和总流
在流场中任取一条不是流线的封闭曲线，通过 曲线上各点作流线，这些流线组成一个管状表 面，称之为流管。因为流管是由流线构成的，所 以它具有流线的一切特性，流体质点不能穿过流 管流入或流出(由于流线不能相交)。流管就像固 体管子一样，将流体限制在管内流动。 过流管横截面上各点作流线，则得到充满流 管的一束流线簇，称为流束。当流束的横截面积 趋近于零时，则流束达到它的极限——流线。
一元流、二元流与三元流
一元流：流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的 流动可以忽略不计
u = u ( s, t )
du ∂u ∂u = +u 欧拉加速度 a = dt ∂t ∂s 二元流：流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方 向的流动可忽略
u = u ( x, y , t )
三元流（三维流动）：流体流动的三个要素是三个空间 坐标的函数
3.色线
色线又称脉线，是源于一点的很多流体质点在 同一瞬时的连线。 用一系列流线、迹线或色线描绘出来的流动图 谱，称为流谱。将流动的数学描述转换成了流 动图像。
4.推论
均匀流中的流线为一平行的直线簇，非均匀流 中流线有弯曲或流线之间有夹角 渐变流中的流线接近平行线，既流线的曲率很 小而且交角也很小。 恒定流中，流线、迹线、色线三线重合；非恒定 流中，三线不重合。
∂u y
∂u z ∂ z (a, b, c, t ) a z = a z ( a , b, c , t ) = = 2 ∂t ∂t
2
• 欧拉法（Euler）：
流体质点运动的全部空间称为流场。
从分析流场中每一个空间点上的流体质点 的运动着手，来研究整个流体的运动的， 即研究流体质点在通过某一空间点时流动 参数随时间的变化规律。所以流体质点的 流动是空间点坐标（x，y，z）和时间t的 函数。 x，y，z，t 称为欧拉变数
v u × ds = u x
即
i
j dy
k u y uz dz =0
dx
上式又可写成
dx dy dz = = ux u y uz
就是流线的微分方程，式中时间t是个参变量
【例3-3】 有一流场，其流速分布规律为：ux= -
ky，uy= kx，uz=0，试求其流线方程。
【解】 由于uz=0，所以是二维流动，二维流动的
∂t ∂x ∂y ∂z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z az = + ux + uy + uz ∂t ∂x ∂y ∂z
ay =
∂u y
+ ux
∂u y
+ uy
∂u y
+ uz
∂u y
du ∂u a= = + (u • ∨ )u dt ∂t
恒定流中，时变加速度为零，位移加速度可以不为零。 在水箱放水管中管径相同处 取点A，管径变化处取点B。 有：
流线的绘制
在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的 流速矢量u，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该 处的流速矢量u2，如此继续，得到一折线1234，若各点 无限接近，其极限就是某时刻的流线。
u2 u1
图 某时刻的流线图
流线的基本特性
同一时刻的不同流线互不相交 流线是光滑曲线或直线，不能是折线 流线的形状与固体边界的形状有关，流线簇的疏密反 映了速度的大小。断面小处，流速大、流线密；断面 大处，流速小，流线疏 。
第三章 流体运动学
流体运动学 研究流体的运动规律，如速度、加速度等 运动参数的变化规律。
本章主要介绍流体运动学和流体动力学的基本知识， 并推导出流体动力学中的一个重要的基本方程：连续性方 程，这一方程是分析流体流动问题的基础之一。
第三章
§3.1
流体运动学
流体运动的两种描述方法 体运动类型)
§3.2 描述流体运动的基本概念(含流 §3.3 流体运动的连续性方程 §3.4 流体微元运动的基本形式
x=4et-2t-2
y=4et-2t-2
(3)
∂u x = (a + 2)et ∂t
∂u y ∂t = (b + 2)et
§3.2 流场运动的若干基本概念
• 恒定流、非恒定流
恒定流又称定常流，任一空间点上各运动要素（u,ρ,P,μ 等）均不随时间变化。
∂u x ∂u y ∂u z ∂p = = =0 = ∂t ∂t ∂t ∂t
y = (b + 2)e t − 2t + c 2
上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。 利用t=0时，x=a，y=b得c1=-2， c2=-2 X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2
（1）将t=3代入上式 得
x=(a+2)e3-8
（2）a=2，b=2时
y=(b+2)e3-8
绕叶片的流线
绕突然缩小管道的流线
流线微分方程 现由矢量分析法导出流线微分方程。设在某一空间点上流体 r r r u 质点的速度矢量 u = u x i + u y j + r z k ，通过该点流线 r r 上的微元线段 dS = dxi + dyj + dzk 。 由流线的定义 知，空间点上流体质点的速度与流线相切。根据矢量分析， 这两个矢量的矢量积应等于零，即
∂z ( a, b, c, t ) u z = u z ( a , b, c , t ) = ∂t
• 流体质点的加速度分量可写为：
∂u x ∂ x(a, b, c, t ) ax = ax (a, b, c, t ) = = ∂t ∂t 2
2
∂ 2 y (a, b, c, t ) a y = a y (a, b, c, t ) = = 2 ∂t ∂t