5因式分解定理
教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积
教学重点：不可约多项式 重因式
课时：4
教学方式：讲授式
教学内容：
一、不可约多项式
1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。
问：为什么一定要强调数域P 呢？
例：
上不可分了
在复数域上不可分了在实数域上不可分了
在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=-
注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。
2、重要性质（定理5）：
（1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈?
（2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21ΛΛ∈对某个则若不可约
二、因式分解及唯一性定理
数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式
)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ΛΛ==
则必有t s =且适当排列因式的次序后有
s i c x q c x p i i i i ,,2,1,0),()(Λ=≠=其中
证明：先证分解式的存在性。我们对)(x f 的次数作用数学归纳法。 01、因为一次多项式都是不可约的，所以1=n 时结论成立。
02、设n x f =?))((，并假设结论对于次数低于n 的多项式已经成立。 如果)(x f 是不可约多项式，结论是显然的，无妨设)(x f 不是不可约的，即有
)()()(21x f x f x f =，n x f
由归纳假设)(1x f 和)(2x f 都可以分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。把)(1x f ，)(2x f 的分解式和起来就得到)(x f 的一个分解式。
由归纳法原理，结论普遍成立。
再证唯一性。设)(x f 可以分解成不可约多项式的乘积 )()()()(21x p x p x p x f s Λ=
如果)(x f 还有另一个分解式
)()()()(21x q x q x q x f t Λ=
其中)(x q i ),...,2,1(t i =都是不可约多项式，于是
)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ΛΛ== )1(
我们对s 作归纳法。当1=s ，)(x f 是不可约多项式，由定义必有
t s =
且
)()()(11x q x p x f ==。 现在设不可约多项式的个数为1-s 时唯一性已证。
由)1(，)()()(|)(211x q x q x q x p t Λ，因此)(1x p 必能整除其中的一个，无妨设 )(|)(11x q x p
因为)(1x q 也是不可约多项式，所以
)()(11x cq x p = )2(
在)1(式两边消去)(1x q ，就有
)()()()()(21112x q x q x q c x p x p t s ΛΛ-=
由归纳法假设，有
11-=-t s ，即t s =， )3(
并且适当排列次序之后有
)()(21122x q c c x p -'=，即)()(222x q c x p = ),...,3)(()(s i x q c x p i i i == )4(
)4(),3(),2(合起来即为所要证的。
三、标准分解式，
1、标准分解式
把)(x f 的分解式中不可约多项式都化为首一不可约多项式，并且把相同因式的乘积写成幂的形式：
)()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r Λ=
+∈Z
r r r x p x p x p x f c s s ,,, 1 )(,),(),()(2121ΛΛ多项式，的不可约是不同的首项系数为的首项次数，是其中
最小公倍式
定义：多项式)(x m 称为)(x f 与)(x g 的最小公倍式，如果
1、)(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；
2、若)(|)(x m x f '，)(|)(x m x g '，则有)(|)(x m x m '。
命题：设)(),(x g x f 是两个非零多项式，则
)()())(),()]((),([x g x f x g x f x g x f = 证明：设)())(),((x d x g x f =，则)()()(1x f x d x f =，)()()(1x g x d x g =，并且1))(),((=x g x f 。于是
)1()(|)(x m x f ，)(|)(x m x g ；（)()()(1x m x g x f =或)()()(1x m x f x g =）。
)2(若)(|)(),(|)(x m x g x m x f ''，我们证明)(|)(x m x m '。 )()()(),()()(21x q x g x m x q x f x m ='='
可得)()()()(2111x q x g x q x f =，由于1))(),((=x g x f ，所以)(|)(11x q x g 。设)()()(311x q x g x q =，则有
)()()()()()()()(3313x q x m x q x g x f x q x f x m ==='
于是)(x m 是)(x f 与)(x g 的最小公倍式。
2、多项式)(),(x g x f 的最大公因式的求法二
把)(),(x g x f 写成标准分解式，())(),(x g x f 就是同时在)(),(x g x f 的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂指数等于)(),(x g x f 中所带的方幂较小的那一个。
四、重因式
1、定义：
不可约多项式)(x p 称为多项式)(x f 的k 重因式，如果)(|)(x f x p k ，而)(1x p k +不能整除)(x f ，此时记作)(||)(x f x p k 。
注：当0=k 时，)(x p 根本不是)(x f 的因式；
当1=k 时，)(x p 是)(x f 的单因式； 当1>k 时，称)(x p 是)(x f 的重因式。
2、如何判断一个多项式有无重因式
方法一：可用标准分解式。（不常用）
方法二：用微商
设有多项式
0111......)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--，
我们规定它的微商是
1211......)1()(a x a n x na x f n n n n ++-+='---。
微商的基本运算规则
='+))()((x g x f )()(x g x f '+'；
)())((x f c x cf '='；
)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='； )()())((1x f x mf x f m m '='-。
其理论依据为
定理6 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥ ，则()p x 是()f x '的1k -重因式。
推论 1 如果不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥，则()p x 是(1)(),(),,()k f x f x f x -'L 的因式，但不是()()k f x 的因式。
推论2不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式(1)k ≥?()p x 是()f x 与()f x '的公因式。
推论3：()1)(),()()(='?'x f x f x f x f 没有重因式与
3、去掉重因式的方法：
若1212()()()()s r r r s f x cp x p x p x =L ，则()1211112(),()()()()s r r r s f x f x p x p x p x ---'=L 。
于是
()
12()()()()(),()s f x cp x p x p x f x f x ='L 例1 判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式并确定重数。
)1( 1)(24++=x x x f ；
)2( 277251815)(2346+-++-=x x x x x x f .
解：)1( x x x f 24)(3+='，而1))(),((='x f x f ，所以)(x f 无重因式。
)2( 7210224606)(235-++-='x x x x x f ，由辗转相除法得
)3()1())(),((2+-='x x x f x f 从而1-x 是)(x f 的三重因式，3+x 是)(x f 的二重因式。
例2 求1)(24++=Bx Ax x f 有重因式的条件，并确定重数。
解：当0=A 时，多项式12+Bx 显然没有重因式。不妨设0≠A 。 Bx Ax x f 24)(3+='
对)(),(x g x f 作辗转相除法得
12141)()(2++=Bx x x g x f x B
A B x B A Bx x g 428)121()(22-++= 如果)(x f 有重因式，则必有042=-B
A B ，重因式为22+Bx ，且重数为二。 作业：15、16（1）、17、18、23。
因式分解重难点
《因式分解》 一、教学分析 1．教学内容分析 因式分解是人教版初中《数学》八年级第15章的第4节。因式分解与上一节整式的乘除和下一章分式联系极为密切，它是因数分解的延伸和推广，是多项式乘法的逆运算，在分式通分和约分，一元二次方程和函数中有广泛的应用．本节的提公因式法是最常用，最基本也是最重要的分解方法之一，是后继学习其他分解方法的基础。因此，本节起着承上启下的作用。 2、教学对象分析 学生已有整式的乘除、因数分解等知识的基础，通过观察类比得到因式分解意义，通过与电子白板的整合教学，相互合作交流，归纳确定公因式的步骤及提公因式的分解方法。在积极倡导下，学生通过动脑、动手、动口，亲身经历体验数学学习的过程。根据由具体到一般的思维方式，符合学生的认知规律。 3、教学环境分析 充分地运用媒体、加大了一堂课的教学容量，极大提高了学生的学习兴趣，提高教学效率。通过与电子白板的整合，可以很好地体现教师在教学过程中的思路和策略。 二、教学目标 （1）初步了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形. （2）会找公因式. （3）会用提取公因式法分解因式. （4）体会数学知识之间是相互联系的，是可以相互转化的. （5）进一步培养学生观察、分析、归纳的能力.并向学生渗透对比的数学思想方法． 三、教学重点、难点 重点：因式分解的概念，提公因式法. 难点：因式分解与整式乘法的相互关系，确定公因式. 理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整节因式分解的灵魂，提公因式法是因式分解最基本最常用的方法。难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，利用它们之间的关系进行因式分解的思想。理由是学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍新概念的形成。公因式的确定，学生往往不能正确确定公因式，数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都有的字母，并取它们的最低次幂。
公开课因式分解教案、反思
教学案例：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学目标】 1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。 3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。 【教学重点与难点】 重点：提公因式法分解因式 难点：多项式因式分解和整式乘法的关系 【教学方法与教学手段】 教学方法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法 教学手段：多媒体辅助教学 【教学过程】
教学反思：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学反思】 因式分解共二个课时，本节课为第一课时。为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。 1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。” 2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。 3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。 4．本课教学流程图： 情境激趣 复旧孕新 自主小结
5.《因式分解》课例分析
第五节 《因式分解》课例分析 该节主要讨论问题： 1. 如何设计概念的注意要点？ 2. 如何划分题组层次？ 《因式分解》是人教版教材八年级上册第十五章第四节的第一课时。前一节主要学了整式乘法、乘法公式等内容。该节有两个知识点：1、因式分解概念，2、提公因式法。课程标准对该节的教学要求是：能用提公因式法进行因式分解。以下描述的两节课，均由一位熟手女教师郑老师执教。郑老师在一所省会城市普通中学任教，教学业绩在年级名列前茅。郑老师曾在一所省城著名私立初中校任教多年。第一次课由郑老师自己备课，上课。上课后与研究者简要讨论后，简单修改教学设计，第二天在另一个班继续上课。 以下是第一次课的描述。第一次课分为四个环节。分别是复习、讲授因式分解概念、讲授提公因式法、练习。在复习环节，郑老师引导学生复习了乘法公式（平方差公式和完全平方公式）、添括号和约分。约分以221==6233 ? 为例，郑老师强调，对分数进行约分必须对分子或者分母写成的乘积的形式，然后进行约分。 在讲授因式分解概念环节，郑老师分成了两项学习活动。首先是讲授因式分解概念。郑老师这样讲：“初中我们已经学习了多项式，同样我们要把多项式写成一种乘积的形式，为我们下一个章节做准备。举个例子：22211(1)(1)x x x x -=-=+-，这是我们之前学过的平方差公式，21x -可以写成(1)x +与(1)x -)的乘积。像这样子，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。21(1)(1)x x x -=+-左边到右边的这种变形叫做因式分解，从右边到左边的变形叫做是整式乘法。”第二项学习活动是概念辨析，郑老师出了四个辨析题，题目如下：判断下列各式从左到右是否为因式分解？ （1）()()2 314312153x x x x -+=+- （2）111a a a ?? ??++ ?= （3）()24161441x x x x +-=++ （4）111()333 ax bx x a b +=+ 通过与学生讨论这四道题，郑老师强调了因式分解概念的三个注意要点：左边是多项式、右边是乘积的形式、整式的乘积。节录1展示了师生的探索对话。 节录1 师：第一个是不是？ 生1：不是。 师：为什么不是？ 生1：写反过来了。 师：那这样写是我们之前学过的什么？
因式分解定理
§5 因式分解定理 一、不可约多项式 C on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2() 2)(2)(2() 2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 1．定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的 乘积. 2．注：1）、根据定义，一次多项式总是不可约多项式； 2）、一个多项式是否可约是依赖于系数域的； 3）、零多项式与零次多项式不说可约或不可约； 4）、不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数（0c ≠） 与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了。 反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的 证：若1)(=?x f ，结论显然成立。 1)(>?x f ，假设)(x f 可约， 则)()(),()( ),()()(x f x h x f x g x h x g x f ?
因式分解说课稿教案
《因式分解》(说课稿) 尊敬的各位领导、各位评委： 大家好！ 我今天说课的课题是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十五章第五节《因式分解》第一课时“因式分解的意义”。下面我从：教材的分析、教法与学法及教学手段、教学过程、板书设计四部分来说这一节课，其中，教学过程分为：导入新课、新课讲解、小结作业三部分；整个过程是先由实际问题引入新课，然后再回到实际问题中，解决实际问题。 一、教材分析 1、教材地位与作用。 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下作用。 2、教学目标。 根据因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标： （一）知识目标： ①理解因式分解的概念； ②掌握从整式乘法得出因式分解的方法。 （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。（三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 3、教学重点与难点。 本节课理解因式分解的概念及意义是学习本节因式分解的关键，而学生由乘法到因分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。因此我将本课的学习重点、难点确定为： 重点：因式分解的概念 难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 4、教法与学法及教学手段。
(最新)数学八年级下《 因式分解》省优质课一等奖教案
4.1因式分解 一．教材分析： 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方 程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义． 本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过 程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 二．学情分析： 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整 式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础． 学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节 还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。 三．教学目标： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）。 3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养变形与化归的能力。 4.培养学生认识矛盾的对立统一，勇于探索的精神和实事求是的学习态度。四．教学重点：因式分解的概念。
教学难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系。 五．教学过程： 本节课设计了五个教学环节：复习回顾（整式乘法），自主探究概念，小组合作学习，检测巩固，小结。 （一）复习回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：3a4ab= (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ 2.乘法公式有哪些? (1)平方差公式:(a+b)(a-b)=_______ (2)完全平方公式:(a±b)2=___________ （二）自主探究： 1、填写下表，你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?它们的左右两边有何特点？ a(a+1)=a2+a= (a+b)(a-b)=a2-b2= (a+1)2= a2+2a+1=
沪教版 (上海)七年级 第一学期数学第九章 第5节 因式分解 同步练习题 (解析版)
第5节因式分解同步练习题 一、选择题（共6小题） 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 A．B． C．D． 2．多项式各项的公因式是 A．B．C．D．3．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 A．B．C．D．4．若，则值为 A．B．或13C．11或D．11 5．若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为A．B．1C．，1D．，3 6．若长和宽分别是，的长方形的周长为10，面积为4，则的值为A．14B．16C．20D．40二．填空题（共12小题） 7．分解因式：． 8．因式分解：． 9．分解因式：．
10．把因式分解的结果是． 11．多项式与多项式的公因式是． 12．若，则． 13．与互为相反数，则． 14．已知，，则． 15．若多项式能因式分解为，则． 16．若多项式可分解为．则的值为． 17．已知为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为． 18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）． 三．解答题（共7小题） 19．分解因式：． 20．分解因式：． 21．因式分解：． 22．已知，，求的值． 23．已知，，求下列式子的值： （1）；
（2）． 24．阅读下列材料：已知，求的值． 解： 根据上述材料的做法，完成下列各小题： （1）已知，求的值． （2）已知，求代数式的值． 25．利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你检验这个等式的正确性； （2）若，，，你能很快求出的值吗？（3）若，，，求的值．
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
第11节-因式分解-分组分解法
因式分解之分组分解法 探索尝试 1.分解因式：a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能直接运用提取公因式法吗？ 分组分解法分解因式的意义： 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。 我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。 例题：把下列多项式分解因式： 1. 按字母特征分组 （1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc 2. 按系数特征分组 （1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+- 3. 按指数特点分组 （1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组 （1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+- 总结规律： 1.合理分组（2+2型）； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 练习巩固 1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ） A ．1种 B .2种 C .3种 D .4种 2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ） 3．填空： （1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( ) （2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( ) （3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( ) 4．把下列各式分解因式 （4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn （7）b b a a b a 623223--+ （8）162234-+-x x x （9）2 2414y x xy --+ （10）2333x x x +++ )2().() 2().(222222bc c b a C bc b c a A ------) 2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21变成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2b a ± 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
人教版八年级数学第15章第四节《因式分解》教案
人教版八年级数学讲练稿 编号 日期 主备 彭丽华 审核 课题 15.4因式分解 课型 新授 班级 预习 学生姓名 目标 提公因式法，公式法 重点 提公因式法分解因式，用完全平方公式平方差公式分解因式 难点 用完全平方公式平方差公式分解因式 一．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式 （1）x 2+x=_________ （2）x 2-1=_________ （3）am+bm+cm=_ _ 把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解 是整式乘法的相反方向的变形 找出公因式：①c ab ab b a 3222834+- ②532)32(21)32(14)32(7y x y x y x -+--- ③xz xy x -+- 2212 ④yz x z xy z y x 2 23323153510+-- 因式分解： ⑴2a （b+c ）-3（b+c ） ⑵3x 3 -6xy+x ⑶-4a 3+16a 2 -18a ⑷ 6（x-2）+x （2-x ） 二．如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． 因式分解 （1）x 4-y 4 （2）a 3b-ab （3） 36（x+y ）2-49（x-y ）2 （4）（x-1）+b 2 （1-x ） 三．把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式． a 2+2ab+b 2=（a+b ）2， a 2-2ab+b 2（a-b ）2 ． 两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，?等于这两个数的和（或差）的平方． 分解因式： （1）3ax 2+6axy+3ay 2 （2）（a+b ）2-12（a+b ）+36 （3）6a-a 2-9 （4）-8ab-16a 2-b 2 四．常用公式法： 一、直接法 例1:分解因式⑴x 2－9;⑵x 2＋4x ＋4;⑶x 2－4xy ＋4y 2. 析解:⑴此题是两项式,符合平方差公式的条件,从而x 2－9＝(x ＋3)(x －3);⑵⑶题是三项式,符合完全平方公式的条件,从而有x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2,x 2－4xy ＋4y 2＝(x －2y)2. [归纳小结]形式上符合平方差公式及完全平方公式的多项式,可以直接运用公式分解因式. 二、先提后用法 例2:分解因式⑴x 3－x;⑵x 3y －2x 2y ＋xy. 析解:⑴先提取公因式x,再运用平方差公式,所以x 3－x ＝x(x 2－1)＝x(x ＋1)(x －!).⑵提取公因式xy,再运用完全平方公式,所以x 3y －2x 2y ＋xy ＝xy(x 2－2x ＋1)＝xy(x －1)2. [归纳小结]对于含有公因式的多项式,首先提取公因式,然后运用公式分解因式. 三、先化后用法 例3:分解因式(a ＋b)2－4ab. 析解:先化简合并后运用公式,所以(a ＋b)2－4ab ＝a 2＋2ab ＋b 2－4ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2. [归纳小结]对于不能直接运用公式的多项式,先化简合并后运用公式. 四、整体法 例4:分解因式(a ＋2b)2－(2b ＋1)2. 析解:若把a ＋2b 和2b ＋1看作一个整体,符合平方差公式的条件,所以(a ＋2b)2－(2b ＋1)2.＝[(a ＋2b)＋(2b ＋1)][(a ＋2b)－(2b ＋1)]＝(a ＋4b ＋1)(a －1). [归纳小结]对于多项式中的有些部分看作一个整体时,符合公式的条件,就可以采用整体法进行分解. 五、连续运用公式法 例5:分解因式81－x 4. 析解:将x 4看成是(x 2)2,则可运用平方差公式分解后继续运用平方差公式,所以81－x 4＝(9＋x 2)(9－x 2)＝(9＋x 2)(3＋x)(3－x). [归纳小结]把多项式适当变形后,可以连续运用公式法进行分解.
因式分解定理
§5 因式分解定理 §6 重因式 教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积 教学重点：不可约多项式 重因式 课时：4 教学方式：讲授式 教学内容： 一、不可约多项式 1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。 问：为什么一定要强调数域P 呢 例： 上不可分了 在复数域上不可分了在实数域上不可分了 在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=- 注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。 2、重要性质（定理5）： （1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈? （2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约 二、因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式 )()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==
因式分解概念
因式分解（1）案例分析 李超北京市海淀区教师进修学校附属实验学校 1．因式分解的主题简介 《数学课程标准（2011版）》明确指出：数学教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。因式分解这一节是解析式的一种恒等变形，这种恒等变形与小学学习的分解质因数在概念、原理、作用等方面有极大的相似性。这部分的学习是学生体会从数到式、发展学生数感、符号意识的重要载体，也是理解运算法则和运算律等算理，培养运算能力的有效载体。《数学课程标准（2011版）》还强调：在课程设计和教学活动中，应同时兼顾知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面的目标。在知识技能目标方面，学生在利用提公因式法、公式法进行因式分解的过程中，巩固必要的运算技能；在问题解决方面，学生经历归纳因式分解概念的过程，尝试从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法，体验解决问题方法的多样性；在情感态度方面，在运用数学表达和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨、应用广泛的特点，体会数学学习的特点。 2．因式分解的内容分析 《因式分解》是人教版八年级上第14章《整式的乘除与因式分解》第3节的内容。它是学生学习经历了整式的乘除后，安排的一节教学内容。从内容上看，因式分解是整式乘法的一种相反的变形，这是因式分解的概念和各类因式分解的基础，并由此推导出来。从学习方法来看，学生可以类比分解质因数，从数到整式，从具体、简单的问题出发，经历归纳、总结出因式分解的概念，然后再用归纳得出的因式分解的概念，进一步指导因式分解的方法，这种学习循序渐进的方法，符合现阶段学生的认识水平。从思想方法来看，因式分解是整式乘法的一种逆变形，这种逆向变形，学生虽然经历了加与减、乘与除、乘方与开方等类经历，但是这种逆向变形的技巧和思考问题的方法本身对学生来说是一个难点，同时它的变化技巧较高，对学生来说具有较大的挑战。从后续学习来看，因式分解是分式和二次根式、方程、函数等知识的基础，也是有式的变形、计算等基本问题解决的基础，对数学、物理、化学等学科学习的有重要意义。
因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． ⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～. ②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m
沪教版 七年级(上)数学 第5节 因式分解 专项训练 (Word版 含解析)
第5节 因式分解 专项训练 一．选择题（共6小题） 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( ) A ．2(2)(3)6x x x x +-=-- B ．23623xy x y = C ．2221(2)1x x x x ++=++ D ．29(3)(3)x x x -=-+ 2．下列因式分解正确的是( ) A ．29(9)(9)x x x -=+- B ．2294(94)(94)x y x y x y -=+- C ．2211()44x x x -+=- D ．22244(2)x xy y x y ---=-+ 3．下列因式分解过程中，分组正确的是( ) A ．225315(53)(15)x y xy x x y xy x -+-=-+- B ．55(5)(5)ax x ay y ax y ay x -+-=-+- C ．393(33)(9)ax bx by ay ax by bx ay -+-+=--++ D ．22221441(44)a ab b a ab b -+-=--+ 4．多项式33128ab c a b +的各项公因式是( ) A ．24ab B ．4abc C ．22ab D ．4ab 5．二次三项式212(x mx m --是整数），在整数范围内可分为两个一次因式的积，则m 的所有可能值有( )个． A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 6．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是2216x mx ++能在有理数的范围内因式分解，则整数m 的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m 的值有几个？( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 二．填空题（共10小题） 7．因式分解：2436m -= ． 8．分解因式：4281m m -= ． 9．分解因式：256a a +-= ．
1 5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式 第5节.因式分解定理 教学大纲 .素因子的个数 小学算术就学了正整数的因子分解，学了质数合数.初中学了多项式的因式 分解.因子分解是你们熟悉的.很多人就认为因式分解很容易，就凭那三招(提取 公因子，用乘法公式，分组分解法)就可以纵横天下。 其实，正整数的因子分解都是世界难题。多项式就更不可能容易。 先别去碰难题。还有些入门的小儿科都没有搞清楚。 比如,1不能分解,为什么不是质数？ 学了负整数,2=(-2)(-1)可以分解,2还是质数吗？ -6的分解式是 3冬-2)还是(-3)X2还是(-1) X 3X 2 2X+4在有理系数范围内能不能分解？ 2x+4=2(x+2)不就分解了吗？ 还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。你分到不知道怎么分就结 束了。为什么不想一下，你不知道怎么分，不能断定它就不能分。有可能是它还能 分，你水平不够没有发现它的分解式。 因此，不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。 最简单的情况：全部因式都是一次，肯定到底了。大部分时候不能分到一次，怎 么知道它到底没有。比如 x 10+x 5+1, x 12+x 9+x 6+x 3 +1在有理数范围内能不能分？ 1. 正整数的分解： 不能分解的正整数叫做 质数(也叫素数)，能分解的叫合数. 1是质数还是合数？ 1不能分解，是质数. 1既不是合数，也不是质数. 既不是合数，也不是质数，是什么呢？ 它就是1. 为什么不说“ 2既不是合数，也不是质数，它就是2”？ 例1. 学生 老师 学生 老师 点评
1和2都不能分解，它们有什么区别？ 例2.如下正整数是多少个素因子的乘积？ (1)24; (2) 24 X 2X 1X 3X(3)1;24 2 1 3 1; (4) 23X32; (5) 210 210。 解.⑴24=2 X 2X,X个素因子。 (2)24X 2X 1X 2X214, 含4 个素因子, 乘2 乘3 各增加一个素因子变成6 个. 乘1 不变, 素因子不增加, 仍是6 个. (3)24 2 3, 24 含4 个素因子,除以2,3 能够整除,各减少一个素因子变成2 个. 除以1 不变, 素因子不减少, 仍是6 个. (4)23X32，3 个素因子乘2 个素因子，共5 个素因子。 (5)210 210, 10 个素因子除以10 个素因子，减少10 个,变成0 个素因子. 因此规定 210 210 =210-10=20=1 点评：两个整数相乘, 素因子个数相加. 相除，素因子个数相减. 乘1 不增加, 除以1 不减少, 说明1 是0 个素因子。 素数幕p n自己除以自己等于1,素因子个数n-n=0,说明P°=1, 也说明1 是0 个 素因子。 结论. 1 个素因子叫做素数, 2 个或更多个素因子的乘积叫做合数. 0 个素因子的乘积是1 ．这种分类言之成理了. 如果将1也规定为素因子,2=2 X 1X1XX 1X的分解就永远分不完了。 2.整数的分解：整数包括正整数、0、负整数. 0 不能作因子，只考虑正负整数. 例3. 如下整数是几个素因子的乘积. (1)-1; (2) 1; (3) -2; (4) 6; (5) - 6. 解. (1) -1=(-1)(-1)(-1)=(-1)5=(-1)2019. -1 是不是素因子？ 如果是, 它也是3 个,5个,2019个, 任意奇数个素因子的乘积. 显然不合理。 (2)1=(-1)(-1)=(-1)2020。 1 是2 个-1 的乘积,也是2020个-1 的乘积. 既然1 是0 个素因子个数为0, - 1 的素因子个数就是0 2 = 0 2020 = 0。 (3)-2=(-1)X2 的素因子个数= 0+1=1 。素因子个数为1 的, 自己就应该是素数。但是-2=(-1)X2 可以分解,能够称为素数吗？ 2=2X1=(-2)(-1) 也可以分解, 是素数吗？ 如果说前一种分解2X1 的因子是2 自己和1,不算是分解。 后一种分解的因子-2,-1 既不是2 自己也不是1,算不算分解？ 如果也算分解，每个素数p=(- p)(- 1) 都可以分解为既非p 也非1的因子的乘积，就都不是素数，就没有素数了。p=(- p)(-1)2k+1的因子个数2k+2可以任意大。 就永远分不完了。 由此可见，整数P因子分解p=bc的因子b,c不但不应该是1,也不应该是1 的因子-1.
17.2.3 因式分解法 公开课一等奖教案
3．因式分解法 1．理解并掌握用因式分解法解方程的 依据；(难点) 2．会用因式分解法解一些特殊的一元 二次方程．(重点) 一、情境导入 我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0， 类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为 两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来 解，你能求(x＋3)(x－5)＝0的解吗？ 二、合作探究 探究点：用因式分解法解一元二次方程 【类型一】利用提公因式法分解因式解 一元二次方程 用因式分解法解下列方程： (1)x2＋5x＝0； (2)(x－5)(x－6)＝x－5. 解析：变形后方程右边是零，左边是能 分解的多项式，可用因式分解法． 解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0， 所以x＝0或x＋5＝0， 所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5； (2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5) ＝0， 所以(x－5)[(x－6)－1]＝0， 所以(x－5)(x－7)＝0， 所以x－5＝0或x－7＝0， 所以原方程的解为x1＝5，x2＝7. 方法总结：利用提公因式法时先将方程 右边化为0，观察是否有公因式，若有公因 式，就能快速分解因式求解． 【类型二】利用公式法分解因式解一元 二次方程 用公式法分解因式解下列方程： (1)x2－6x＝－9； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0. 解：(1)原方程可变形为x2－6x＋9＝0， 则(x－3)2＝0， ∴x－3＝0， ∴原方程的解为x1＝x2＝3； (2)[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0， [2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝ 0， (7x－16)(－3x＋4)＝0， ∴7x－16＝0或－3x＋4＝0， ∴原方程的解为x1＝ 16 7，x2＝ 4 3. 方法总结：用因式分解法解一元二次方 程的一般步骤是：①将方程的右边化为0； ②将方程的左边分解为两个一次因式的乘 积；③令每一个因式分别为零，就得到两个 一元一次方程；④解这两个一元一次方程， 它们的解就是原方程的解． 三、板书设计 本节课通过学生自学探讨一元二次方程的 解法，使他们知道分解因式是一元二次方程 中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂 的计算，提高了解题速度和准确程度．牢牢 把握用因式分解法解一元二次方程的一般 步骤，通过练习加深学生用因式分解法解一 元二次方程的方法
第九章 第5节 多项式的因式分解(5)(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 多项式的因式分解（5）——分组分解 一、选择题： 1．下列多项式中，不能用分组分解法继续分解的是 【】 A．5x＋mx＋5y＋my B．5x＋mx＋3y＋my C．5x－mx＋5y－my D．5x－mx＋10y－2my 2. 分解因式后结果是（a＋2）（b－3）的是 【】 A．－6＋2b－3a＋ab B．－6－2b＋3a＋ab C．ab－3b＋2a－6 D．ab－2a＋3b－6 3. a2＋ab－ac－bc分解因式的结果为 【】 A．（a－b）（a－c）B．（a－b）（a＋c）C．（a＋b）（a－c） D．（a＋b）（a＋c） 4. 把多项式2ab－a2－b2＋1分解因式，正确的分组方法是 【】
A．1＋（2ab－a2－b2）B．（2ab－b2）－（a2－1）C．（2ab－a2）－（b2－1）D．（2ab＋1）－(a2＋b2) 二、解答题: 5．把下列各式因式分解： （1）xy－x－y+1 （2）x2－x－9y2－3y(3) 7x2－3y+xy－21x (4) x2－y2－z2－2yz （5）x2－6ax－9b2－18ab（6）a2－b2－4a+4b(7) 1－4a2+4ab－b2（8）a2－3a－ab+3b （9）a2－1+b2－2ab（10）x2－2xy+y2－x+y（11）x2+2xy+y2－4x－4y－4
（12）913222---b b a （13）x 3＋3x 2－4x －12 （14）ax 2－bx 2＋bx －ax ＋a －b （15）3266922-+-+-y x y xy x （16）()165)45(22+++++x x x x 6．已知：43=+y x ，41=-y x ，求22-33y y x x --的值. 7．已知ab b a b a 412222=+++，求a 、b 的值.