图的伴随多项式的两个因式分解定理及其应用

2020—2021年湘教版七年级数学下册《因式分解及其应用》综合测试题及答案解析.docx

新课标2017-2018学年湘教版七年级数学下册 综合练习因式分解及其应用 1.下列式子从左到右变形是因式分解的是( ) A．a2+4a-21=a(a+4)-21 B．a2+4a-21=(a-3)(a+7) C．(a-3)(a+7)=a2+4a-21 D．a2+4a-21=(a+2)2-25 2.下面分解因式正确的是( ) A．x2+2x+1=x(x+2)+1 B.(x2-4)x=x3-4x C.ax+bx=(a+b)x D.m2-2mn+n2=(m+n)2 3.若代数式x2+ax可以因式分解，则常数a不可以取( ) A．-1 B．0 C．1 D．2 4.下列各式不能用平方差公式因式分解的是( ) A.-y2+1 B.x2+(-y)2 C.m2-n2 D.-x2+(-y)2 5.下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A．-a2-4ab+4b2B．a2+6ab-9b2 C．a2+6a+9b2D．4（a-b）2+4（a-b）+1 6.若多项式ax2+bx+c可分解为(1-3x)2，那么a、b、c的值分别为( ) A.-9，6，-1 B.9，-6，1 C.9，6，1 D.9，6，-1 7.利用因式分解简便计算57×99+44×99-99正确的是( ) A.99×(57+44)=9 999 B.99×(57+44-1)=9 900

C.99×(57+44+1)=10 098 D.99×(57+44-99)=198 8.(-1 2)2 015+(- 1 2)2 016的结果是( ) A.-1 2 B. 1 2 C.( 1 2)2 015 D.-(1 2)2 016 9.将3a2（x-y）-6ab（y-x）用提公因式法因式分解，应提出的公因式是__________. 10.计算：32×3.14+3×(－9.42)=__________. 11.因式分解：x2+3x(x-3)-9=__________. 12.设a＝192×918，b＝8882-302，c＝1 0532-7472，则数a，b，c 按从小到大的顺序排列，结果是__________＜__________＜__________． 13.若x2+(m-3)x+4是完全平方式，则数m的值是__________. 14.如图，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1的阴影部分拼成一个长方形，如图2，比较图1和图2的阴影部分的面积，你能得到的公式是____________________. 15.58-1能被20至30之间的两个整数整除，那么这两个整数是__________. 16.若a※b=a2-ab2，则x2※y所表示的代数式因式分解的结果是__________.

因式分解常用的六种方法详解

因式分解常用的六种方法详解 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式． 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； (3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab； (4)a7-a5b2+a2b5-b7． 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2n y2+y4)

因式分解定理

§5 因式分解定理 一、不可约多项式 C on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2() 2)(2)(2() 2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 1．定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的 乘积. 2．注：1）、根据定义，一次多项式总是不可约多项式； 2）、一个多项式是否可约是依赖于系数域的； 3）、零多项式与零次多项式不说可约或不可约； 4）、不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数（0c ≠） 与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了。 反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的 证：若1)(=?x f ，结论显然成立。 1)(>?x f ，假设)(x f 可约， 则)()(),()( ),()()(x f x h x f x g x h x g x f ?

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤

因式分解的十二种方法及多项式因式分解的一般步骤 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) 解：a +4ab+4b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析： 1 -3 7 2 2-21=-19 解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

2018-2019学年度冀教版七年级数学下册同步练习 第十一章 因式分解及其应用( 无答案)

因式分解及其应用1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（） A．9x2 y3 z = 3x2 z ?y3 B．x2 +x -5 =x(x +1) -5 C．a2b +ab2 =ab(a +b) D．x2 +1=x( x+1 x ) 2. 下列各式中，代数式（）是x3y+4x2y2+4xy3 的一个因式． A．x2y2 B．x+y C．x+2y D．x-y 3. 因式分解： （1）3a2b + 6ab2 -3ab ；（2）y(x -y) -(y -x) ；（3）16 -8(x -y) + (x -y)2 ；（4）(a2 +1)2 - 4a2 ； （5）3m(2x -y)2 -3mn2 ；（6）(x -1)(x -5) +4；（7）(x -1)(x + 4) -3x ；（8）4(m +n)2 -12m(m +n) +9m2 ；（9）1012 -992 ；（10）2 0182 - 2 018? 4 032 + 2 0162 ．4. 要使4a2 +ab +mb2 成为一个完全平方式，则m=． 5. 要使4a2 -ma +1 4 成为一个完全平方式，则m=． 6. 若x2 - 2x +y2 +6y+10 =0，则x=，y=．

7. 观察下列各式： 12 + 32 + 42 = 2 ?(12 + 32 + 3) 22 + 32 + 52 = 2 ?(22 + 32 + 6) 32 + 62 + 92 = 2 ?(32 + 62 +18) …… （1）小明用a，b，c 表示等式左边的由小到大的三个数，你能发现c 与a， b 之间的关系吗？ （2）你能发现等式右边括号内的三个数与a，b 之间的关系吗？请用字 母a，b 写出你发现的等式，并加以证明． 8. 观察下面的几个算式： ①14×16=100×1×2+24=224； ②24×26=100×2×3+24=624； ③34×36=100×3×4+24=1 224； …… （1）仿照上面的书写格式，请你迅速写出84×86 和124×126 的结果； （2）请利用多项式的乘法表示你所发现的规律，并进行验证．

初三数学因式分解的应用教案

初三数学因式分解的应用教案【】初三数学因式分解的应用教案教案让学生学会运用因式分解进行简单的多项式除法并且学会运用因式分解解简单的方程。 教学目标1、会运用因式分解进行简单的多项式除法。2、会运用因式分解解简单的方程。 二、教学重点与难点教学重点：因式分解在多项式除法和解方程两方面的应用。 教学难点：应用因式分解解方程涉及较多的推理过程。三、教学过程（一）引入新课1、知识回顾(1) 因式分解的几种方法: ①提取公因式法: ma+mb=m(a+b) ②应用平方差公式: = (a+b) (a-b)③应用完全平方公式:a 2ab+b =(ab) (2) 课前热身：①分解因式:(x +4) y - 16x y （二）师生互动，讲授新课1、运用因式分解进行多项式除法例1 计算: (1) (2ab -8a b) (4a-b)(2)(4x -9) (3-2x)解:(1) (2ab -8a b)(4a-b) =-2ab(4a-b) (4a-b) =-2ab (2) (4x -9) (3-2x) =(2x+3)(2x-3) [-(2x-3)] =-(2x+3) =-2x-3 一个小问题:这里的x能等于3/2吗?为什么? 想一想:那么(4x -9) (3-2x) 呢?练习：课本P162课内练习12、合作学习 想一想:如果已知( )( )=0 ，那么这两个括号内应填入怎样的数或代数式子才能够满足条件呢? (让学生自己思考、相互之

间讨论!)事实上，若AB=0 ，则有下面的结论：(1)A和B同时都为零，即A=0，且B=0(2)A和B中有一个为零，即A=0，或B=0 试一试:你能运用上面的结论解方程(2x+1)(3x-2)=0 吗?3、 运用因式分解解简单的方程例2 解下列方程：(1) 2x +x=0 (2) (2x-1) =(x+2) 解：x(x+1)=0 解：(2x-1) -(x+2) =0则x=0，或2x+1=0 (3x+1)(x-3)=0原方程的根是x1=0，x2= 则3x+1=0，或x-3=0 原方程的根是x1= ，x2=3注：只含有一个未知数的方程的解也叫做根，当方程的根多于一个时，常用带足标的字母表示，比如：x1 ，x2 等练习：课本P162课内练习2 做一做！对于方程:x+2=(x+2) ，你是如何解该方程的，方程左右两边能同时除以(x+2)吗?为什么? 教师总结：运用因式分解解方程的基本步骤(1)如果方程的右边是零，那么把左边分解因式，转化为解若干个一元一次方程;(2)如果方程的两边都不是零，那么应该先移项，把方程的右边化为零以后再进行解方程;遇到方程两边有公因式，同样需要先进行移项使右边化为零，切忌两边同时除以公因式!4、知识延伸解方程：(x +4) -16x =0解：将原方程左边分解因式，得(x +4) -(4x) =0(x +4+4x)(x +4-4x)=0(x +4x+4)(x -4x+4)=0 (x+2) (x-2) =0接着继续解方程，5、练一练①已知a、b、c为三角形的三边，试判断a -2ab+b -c 大于零?小于零?等于

因式分解的十二种方法

因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

多项式的因式分解

1.1 多项式的因式分解 教学目标 1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系． 2．感受因式分解在解决相关问题中的作用． 3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。 重点与难点 重点：理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。 难点：对分解因式与整式关系的理解 教学过程 一、创设情境，导入新课 1 回顾整式乘法和乘法公式 填空：计算：(1)2ab(3a+4b-1)=_________, （2）（a+2b）(2a-b)=__________ (3)（x-2y）(x+2y)=__________;(4)错误!未找到引用源。=_____________ (5) 错误!未找到引用源。=________ 2 你会解方程：错误!未找到引用源。吗？ 估计学生会想到两种做法：（1）一是用平方根的定义，（2）二是：解：（x+1）(x-1)=0,根据两个因式相乘等于0，必有一个因式等于0，得到：x+1=0或者x-1=0,因此：得x=1或-1 指出：把错误!未找到引用源。叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？这节课我们来学习这个问题。 二合作交流，探究新知 1 因式的概念 （1）说一说：6=2×___, 错误!未找到引用源。, （2）指出：对于6与2，有整数3使得6=2×3，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6的一个因数。 类似的：对于整式错误!未找到引用源。与x+2,有整式x-1使得错误!未找到引用源。，我们把x+2叫多项式错误!未找到引用源。的一个因式，同理，x-2也叫多项式错误!未找到引用源。的一个因式。 你能说说什么叫因式吗？ 一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f 的一个因式，同样，h也是f的一个因式。 （3）考考你：你能说出下面多项式有什么因式吗？ A ab+ac, B 错误!未找到引用源。 C 错误!未找到引用源。 D 错误!未找到引用源。 2 因式分解的概念 （1）指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解。

因式分解的应用

因式分解的应用 一、知识体系 1. 因式分解是代数变形的重要工具，在后续的学习中，因式分解是学习分式、一元二次方程等知识的基础．现阶段，因式分解在数值计算、代数式的化简求值、不定方程（组）、代数等式的证明等方面都有广泛的应用；同时，通过因式分解的训练和应用，能使我们的观察能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力、探究能力得以提高。其应用主要体现在以下几个方面： ①．整体代换，代数式变形求值问题； ②．简化复杂的数值计算，利用因式分解找可以相消，凑整的部分； ③．证明数论相关问题，通过因式分解进行倍数、约数的分析； ④．解决几何问题，特别是三角形三边关系的恒等变形与证明． 2. 有些多项式因式分解后的结果在解决问题过程中常常用到，我们应该熟悉这些结果，记住一些常用公式，有助于我们快速解题： ①1(1)(1)ab a b a b +++=++，1(1)(1)ab a b a b --+=--； ②4224(22)(22)x x x x x +=-+++，42241(221)(221)x x x x x +=-+++； ③2222 2()()a b c ab bc ca a b c +++++=++； ④3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---. 二、例题讲解 例1.计算： （1）)219961993()2107)(285)(263)(241()219971994()2118)(296)(274)(222(+?+?+?+?+?+?+?+?+?+? ； （2）32 322017220172015201720172018-?-+- 1.1 设322320162015(20162017)2015(20142013)2014a -?+=?--，3223 20172016(20172018)2016(20152014)2015b -?+=?--，则a ，b 的大小关系为（ ） A. a b > B. a b = C. a b < D. 无法确定 1.2 设n 为某一自然数，代入代数式3n n -计算其值时，四个学生算出了下列四个结果．其中正确的结 果是( ) A ．5814 B ．5841 C ．8415 D ．845l

因式分解常用方法(方法最全最详细)

因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 因式分解：因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式，主 要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等 因式分解的一般步骤是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。 即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤 都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； （2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数 法、试除法、拆项（添项）等方法；。 注意：将一个多项式进行因式分解应分解到不能再分解为止。 一、提公因式法.:ma+mb+mc=m（a+b+c） 二、运用公式法? 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因

F 面再补充两个常用的公式: ⑸a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2 ; (6)a 3 +b 3 +c 3 -3abc=(a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 -ab-bc-ca); 例.已知a, b, c 是 ABC 的三边，且a 2 b 2 c 2 则ABC 的形状是() A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 2 2 2 2 2 2 解：a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c 三、分组分解法. (一)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用 公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a ，后两项都含有 b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考 虑两组之 间的联系。 式分解中常用的公式，例如： (1)(a+b)(a-b) = a 2 -b 2 ------- a (2)(a ±b)2 = a 2 ±2ab+b 2 ------- a ⑶(a+b)(a 2 -ab+b 2) =a 3+b 3 ⑷(a-b)(a 2+ab+b 2 ) = a 3 -b 3 2 -b 2 =(a+b)(a-b) ； 2 ±2ab+b 2 =(a ±b)2 ； a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )； a 3 _b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 ). ab bc ca ,

多项式因式分解的一般步骤

①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； ②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解； ③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解； ④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 也可以用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。十字相乘试一试，分组分解要合适。” 几道例题 1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2． 解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方） =[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2 =[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x] =(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1) =[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)． 2．求证：对于任何实数x,y，下式的值都不会为33： x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5． 解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5) =x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y) =(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4) =(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2) =(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)． （分解因式的过程也可以参看右图。） 当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y 互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立。 3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求证：这个三角形是等腰三角形。 分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。 证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0， ∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0． ∴(a-c)(a+2b+c)=0． ∵a、b、c是△ABC的三条边， ∴a＋2b＋c＞0． ∴a－c＝0， 即a＝c，△ABC为等腰三角形。 4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。 解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

余式定理 因式定理

余式定理 1公式 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 2概念 当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。 例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。 3推论 当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。 例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。 设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。 4例题 （全国港澳台华侨联合招生考试题型） 设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。 因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8 所以f(1)=3a+7+16=8 所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11 因式定理 1定义 为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 2例题 如图， 此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。 仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的， 可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式 为对称多项式直接得到） 然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系 数即可 3意义

初中数学因式分解的应用培优练习题(附答案详解)

初中数学因式分解的应用培优练习题（附答案详解） 1．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．61和63 B ．63和65 C ．65和67 D ．64和67 2．已知4821-可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A ．1、3 B ．3、5 C ．6、8 D ．7、9 3．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且满足a 2＋2b 2＋c 2－2b(a ＋c)＝0，则此三角形是 ( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定 4．若a-b=1，则222a b b --的值为____________． 5．“元旦”期间小明去永辉超市购物，恰逢永辉超市“满1400减99元”促销活动，小明准备提前购置一些年货A 和B ，已知A 和B 的单价总和是100到200之间的整数，小明粗略测算了一下发现自己所购年货总价为1305元，不能达到超市的促销活动金额. 于是小明又购买了A 、B 各一件，这样就能参加超市的促销活动，最后刚好付款1305元. 小明经仔细计算发现前面粗略测算时把A 和B 的单价看反了，那么小明实际总共买了______件年货. 6．已知a 1?a 2?a 3?…?a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2006）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2006），那么M 与N 的大小关系是M N ． 7．已知a 2＋b 2-6ab=0（a ＞b ），则 a b b a +-= 8．有下列四个结论： ①a÷m+a÷n=a÷(m+n)； ② 某商品单价为a 元．甲商店连续降价两次，每次都降10%．乙商店直接降20%．顾客选择甲或乙商店购买同样数量的此商品时，获得的优惠是相同的； ③若222450x y x y ++-+=，则x y 的值为 12； ④关于x 分式方程211 x a x -=-的解为正数，则a ＞1． 请在正确结论的题号后的空格里填“√” ，在错误结论的题号后空格里填“×”： ①______； ②______； ③______； ④______ 9．如图1,在平面直角坐标系中, ,90,8AO AB BAO BO cm =∠=?= ,动点D 从原点O 出发沿x 轴正方向以/acm s 的速度运动,动点E 也同时从原点O 出发在y 轴上以/bcm s 的速度运动,且,a b 满足关系式22 4250a b a b +--+=,连接,OD OE ,设运动的时间为t 秒.

因式分解的十二种方法 因式分解的方法顺口溜

因式分解的十二种方法因式分解的方法顺 口溜 因式分解的十二种方法 : 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。 例1、分解因式x3-2x2-x (2003淮安市中考题) x3 -2x2 -x=x(x2 -2x -1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。 例2、分解因式a2 + 4ab + 4b2 (2003南通市中考题) 解：a 2 + 4ab +4b2 =（a+2b）2 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a ，把它后两项分成一组，并提出公因式b ，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m 2 + 5n - mn - 5m 解：m 2 + 5n - mn - 5m= m2 - 5m - mn + 5n = (m2 -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n)

4、十字相乘法 对于mx 2 +px+q形式的多项式，如果a ×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x 2 -19x-6 分析： 1 - 3 7 2 2 - 21=-19 解：7x 2 -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。 例5、分解因式x 2 +3x-40 33解 x 2 +3x - 40=x 2 + 3x + ( 2) 2 - ( 2 ) 2 -40 313=(x + 2 ) 2 - ( 2 ) 2 313313=(x + 2 + 2 )(x + 2 - 2 ) =(x+8)(x-5) [1**********]注：( ) 2 + ==( ) 2=( ) 2 244422 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) 解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c – a + a +b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

-多项式的因式分解定理

§1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分？ 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的. 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =， 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数. 反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有

非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约. 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的. 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约. 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除. Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立;

《浅谈多项式因式分解的方法》

贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计） 期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》 学生姓名：何娜 科任教师：龙伟锋 专业：数学与应用数学 年级： 2012级 学号： 122008011013 2015年 12 月 10 日

多项式因式分解的方法 摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解 多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。 １ 求根法 （参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对j i u v 试验，确定()x f 的根； 第四步 写出()x f 的标准分解式。 例1 求()x f =251074234-+++x x x x 在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求()x f =251074234-+++x x x x 的有理根。 ()x f 的常数项和首项系数的全部因数分别为1±，2±与1±，2±，4±,则需要检验的有 理数为1±，2±，12±，14 ±. 由于()1-f =0，故-1是()x f 的根，且易知()x f =()() 2734123-+++x x x x .

余式定理

余式定理与因式定理 例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。 (2)设1537935699357)(2 345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。 类1. 15)(2 4-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。 类2. 求=-?-?+?-?-2001246012161258127123 3 4 5 。 类3. 以1+x 除5102610019992000 ++-+x x x x 的余式为 。 类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322 -+x x 之 余式为25+x ，则)()15()()3(2 x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。 类5. 已之3 221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求 )()(x xg x h +除以1+x 的余式。 Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。 例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。 (2)多项式)(x f 除以2-x ，322 ++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以 )32)(2(2++-x x x 之余式。 类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。 类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。 类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12 ++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以 )1)(2(2++-x x x 之余式。 Ans: 1. 12-x ，2. 12++x x ，3.222 ++x x 。 例3. 多项式)(x f 以2)32(+x 及2 )2(-x 除之余式分别为9978-x ，6+x （deg 4)(≥x f ）： (1)今以)2()32(-?+x x 除)(x f 之余式为 。 (2)今以)2()32(2 -+x x 除) (x f

(完整版)因式分解知识点归纳总结

因式分解知识点归纳总结概述 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。 分解因式与整式乘法互为逆变形。 因式分解的方法：提公因式法、公式法、分组分解法和十字相乘法 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式； ②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 例如：-am+bm+cm= a(x-y)+b(y-x)= ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b) 2； 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。 例如：a2 +4ab+4b2 = ⑶分组分解法 能分组分解的方程有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法，三一分法。 比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 同样，这道题也可以这样做。 ax+ay+bx+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)