因式分解-余式定理
因式分解1—余式定理
整系数多项式
()f x 除以()x a -商为()q x ，余式为r ，则()()()f x x a q x r =-?+。 因式定理
如果多项式()0f a =，那么多项式()f x 必定含有因式()x a -。反过来，如果()f x 含有因式()x a -，那么，()0f a =。
余式定理
当一个多项式()f x 除以()x a -时, 所得的余数等于()f a 。
〖例题〗当
2()2f x x x =++除以(1)x -时, 余数2(1)1124f =++=
推论2 当一个多项式()f x 除以()mx n -时,所得的余数等于()n f m
。 〖例题〗求当
2()967f x x x =+-除以(31)x +时所得的余数。 解：2111()9()6()78333
f -=?-+?--=- 〖例题〗设()f x 以(1)x -除之，余式为8，以2(1)x x ++除之的余式为(716)x +，求3(1)x -除之的余式为多少? （全国港澳台华侨联合招生考试题）
解：根据题意，得(1)8f = (1)
2()(1)()716f x x x g x x =++++……（2） 又
321(1)(1)x x x x -=-++ 设32()(1)()(1)716f x x f x a x x x =-+++++
∴2(1)(1)7168f a x x x =++++= (3)
解得5a =-
所以余式为25211x x -++。
综合除法与余数定理
求多项式2357x x +-除以2x +，所得的商和余式。 一般的竖式除法22357x x x ++-
综合除法是用简便的方式表达：
3x -1
商式为31x -，余式为－5。
〖余数定理〗：多项式()x f 除以x a -所得的余数等于()a f
〖因式定理〗：如果多项式
()x f 能被x a -，亦即()x f 有一个因式x a -，那么()0a f =。反之，如果()0a f =，那么x a -必为
()x f 的一个因式。 例2．多项式()x f 除以1x -，2x -，所得的余数分别为3和5。求()x f 除以(1)(2)x x --所得的余式。
解：依题意，由余数定理可知：(1)3f =，(2)5f =
设()x f 除以(1)(2)x x --后所得的商式为()x q ，余式为ax b +，则()()(1)(2)()x x f x x q ax b =-
-?++ 所以有：(1)(2)
325f a b f a b =+=??=+=? 解得21a b =??=? 所以余式为21x + 〖训练与提高〗
一、 填空
1．4()371x f x x =-+除以(2)x -所得的余数为 。
2．43(5324)x x x ++-除以2(1)x +所得的商式是 ；余式是 。
3．已知432x
x ax x b ++++能被2(1)x x ++整除，则a 、b 的值为 。 4．多项式()x f 除以2x +所得的余式数1，除以3x +所得的余式数是-1，则()x f 除以(2)(3)x x ++所得的余式数是 。
5．有综合除法计算32(211)(1)x
x x x -+-÷+ 。 6．有综合除法计算32(211)(21)x
x x x -+-÷+ 。 7．因式分解333()
()()a b b c c a -+-+-= 。 8．若554x qx r -+能被2()x c -整除，则q 、r 满足关系 。
二、解答题 9．已知多项式32x
ax bx c +++中，a 、b 、c 为常数，当1x =时，多项式的值为1；当2x =时，多
项式的值为2。设当x 得值为8和5-时，多项式的值分别为M 与N 。求M N -的值。
10．是否存在整数a ，使得2x
x a ++能整除10250x x ++？简要说明理由。
11．已知关于x 的整式能被3x +整除，它除以2x +、3x -所得的余数分别为4-、6，求满足上述条件的次数最低的整式。
12．已知()x f 32232x x x =+++除以整系数多项式()x g 所得的商式及余式均为()x h ，试求()x g 和()x h ，其中()x g ，()x h 均为非常数的多项式。
因式分解定理
§5 因式分解定理 一、不可约多项式 C on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2() 2)(2)(2() 2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 1．定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的 乘积. 2．注：1）、根据定义，一次多项式总是不可约多项式； 2）、一个多项式是否可约是依赖于系数域的； 3）、零多项式与零次多项式不说可约或不可约； 4）、不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数（0c ≠） 与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了。 反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的 证：若1)(=?x f ，结论显然成立。 1)(>?x f ，假设)(x f 可约， 则)()(),()( ),()()(x f x h x f x g x h x g x f ?
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
余式定理 因式定理
余式定理 1公式 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 2概念 当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。 例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。 3推论 当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。 例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。 设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。 4例题 （全国港澳台华侨联合招生考试题型） 设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。 因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8 所以f(1)=3a+7+16=8 所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11 因式定理 1定义 为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 2例题 如图， 此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。 仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的， 可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式 为对称多项式直接得到） 然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系 数即可 3意义
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21变成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2b a ± 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
因式分解定理
§5 因式分解定理 §6 重因式 教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积 教学重点：不可约多项式 重因式 课时：4 教学方式：讲授式 教学内容： 一、不可约多项式 1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。 问：为什么一定要强调数域P 呢 例： 上不可分了 在复数域上不可分了在实数域上不可分了 在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=- 注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。 2、重要性质（定理5）： （1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈? （2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约 二、因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式 )()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==
余式定理
余式定理与因式定理 例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。 (2)设1537935699357)(2 345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。 类1. 15)(2 4-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。 类2. 求=-?-?+?-?-2001246012161258127123 3 4 5 。 类3. 以1+x 除5102610019992000 ++-+x x x x 的余式为 。 类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322 -+x x 之 余式为25+x ，则)()15()()3(2 x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。 类5. 已之3 221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求 )()(x xg x h +除以1+x 的余式。 Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。 例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。 (2)多项式)(x f 除以2-x ，322 ++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以 )32)(2(2++-x x x 之余式。 类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。 类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。 类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12 ++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以 )1)(2(2++-x x x 之余式。 Ans: 1. 12-x ，2. 12++x x ，3.222 ++x x 。 例3. 多项式)(x f 以2)32(+x 及2 )2(-x 除之余式分别为9978-x ，6+x （deg 4)(≥x f ）： (1)今以)2()32(-?+x x 除)(x f 之余式为 。 (2)今以)2()32(2 -+x x 除) (x f
因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． ⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～. ②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m
1 5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式 第5节.因式分解定理 教学大纲 .素因子的个数 小学算术就学了正整数的因子分解，学了质数合数.初中学了多项式的因式 分解.因子分解是你们熟悉的.很多人就认为因式分解很容易，就凭那三招(提取 公因子，用乘法公式，分组分解法)就可以纵横天下。 其实，正整数的因子分解都是世界难题。多项式就更不可能容易。 先别去碰难题。还有些入门的小儿科都没有搞清楚。 比如,1不能分解,为什么不是质数？ 学了负整数,2=(-2)(-1)可以分解,2还是质数吗？ -6的分解式是 3冬-2)还是(-3)X2还是(-1) X 3X 2 2X+4在有理系数范围内能不能分解？ 2x+4=2(x+2)不就分解了吗？ 还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。你分到不知道怎么分就结 束了。为什么不想一下，你不知道怎么分，不能断定它就不能分。有可能是它还能 分，你水平不够没有发现它的分解式。 因此，不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。 最简单的情况：全部因式都是一次，肯定到底了。大部分时候不能分到一次，怎 么知道它到底没有。比如 x 10+x 5+1, x 12+x 9+x 6+x 3 +1在有理数范围内能不能分？ 1. 正整数的分解： 不能分解的正整数叫做 质数(也叫素数)，能分解的叫合数. 1是质数还是合数？ 1不能分解，是质数. 1既不是合数，也不是质数. 既不是合数，也不是质数，是什么呢？ 它就是1. 为什么不说“ 2既不是合数，也不是质数，它就是2”？ 例1. 学生 老师 学生 老师 点评
1和2都不能分解，它们有什么区别？ 例2.如下正整数是多少个素因子的乘积？ (1)24; (2) 24 X 2X 1X 3X(3)1;24 2 1 3 1; (4) 23X32; (5) 210 210。 解.⑴24=2 X 2X,X个素因子。 (2)24X 2X 1X 2X214, 含4 个素因子, 乘2 乘3 各增加一个素因子变成6 个. 乘1 不变, 素因子不增加, 仍是6 个. (3)24 2 3, 24 含4 个素因子,除以2,3 能够整除,各减少一个素因子变成2 个. 除以1 不变, 素因子不减少, 仍是6 个. (4)23X32，3 个素因子乘2 个素因子，共5 个素因子。 (5)210 210, 10 个素因子除以10 个素因子，减少10 个,变成0 个素因子. 因此规定 210 210 =210-10=20=1 点评：两个整数相乘, 素因子个数相加. 相除，素因子个数相减. 乘1 不增加, 除以1 不减少, 说明1 是0 个素因子。 素数幕p n自己除以自己等于1,素因子个数n-n=0,说明P°=1, 也说明1 是0 个 素因子。 结论. 1 个素因子叫做素数, 2 个或更多个素因子的乘积叫做合数. 0 个素因子的乘积是1 ．这种分类言之成理了. 如果将1也规定为素因子,2=2 X 1X1XX 1X的分解就永远分不完了。 2.整数的分解：整数包括正整数、0、负整数. 0 不能作因子，只考虑正负整数. 例3. 如下整数是几个素因子的乘积. (1)-1; (2) 1; (3) -2; (4) 6; (5) - 6. 解. (1) -1=(-1)(-1)(-1)=(-1)5=(-1)2019. -1 是不是素因子？ 如果是, 它也是3 个,5个,2019个, 任意奇数个素因子的乘积. 显然不合理。 (2)1=(-1)(-1)=(-1)2020。 1 是2 个-1 的乘积,也是2020个-1 的乘积. 既然1 是0 个素因子个数为0, - 1 的素因子个数就是0 2 = 0 2020 = 0。 (3)-2=(-1)X2 的素因子个数= 0+1=1 。素因子个数为1 的, 自己就应该是素数。但是-2=(-1)X2 可以分解,能够称为素数吗？ 2=2X1=(-2)(-1) 也可以分解, 是素数吗？ 如果说前一种分解2X1 的因子是2 自己和1,不算是分解。 后一种分解的因子-2,-1 既不是2 自己也不是1,算不算分解？ 如果也算分解，每个素数p=(- p)(- 1) 都可以分解为既非p 也非1的因子的乘积，就都不是素数，就没有素数了。p=(- p)(-1)2k+1的因子个数2k+2可以任意大。 就永远分不完了。 由此可见，整数P因子分解p=bc的因子b,c不但不应该是1,也不应该是1 的因子-1.
余式定理及因式定理的应用
初二数学竞赛培训专题： 余式定理及因式定理的应用 初二（ ）班 姓名： 学号： _ 一、知识要点： 1、()x f 的意义：已知多项式()x f ，若把x 用c 带入所得到的值，即称为()x f 在x =c 的多项式值，用()c f 表示。 2、被除式、除式、商式、余式之间的关系：设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ，余式为()x r ，则：()x f =()x g ×()x q +()x r 3、余式定理：多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ；多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a b f 。 4、因式定理：设R b a ∈,，0≠a ，)(x f 为关于x 的多项式，则b x -为)(x f 的因式?0)(=b f ； b ax -为)(x f 的因式?0)(=a b f 。 二、余式定理应用： 1、（1）已知132)(3 -+=x x x f ， 求f (x )除以)1(-x 、()12+x 所得的余式； （2）设f (x )=2x 2+kx +10除以2x –1余5，求k 的值； （3）以x 2–3x –4除多项式f (x )与g (x )，分别得余式3x +2与–4x +7， 求以x –4除f (x )+g (x ) 所得的余式。 2、设6302546)(2 345-+---=x x x x x x f ，求f (7)。
3、计算：（1）2001246012161258127122345-?-?+?-?-； （2）7111511561172114112345+?+?-?-?-。 4、（1）)(x f 、()x g 都是多项式，已知221-=??? ??- f ，2521=??? ??- g ，则以12+x 除()()x g x f ?之余式是什么？ （2）)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，且)(x g 除以322 -+x x 之余式为 25+x ，则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ?++?+的余式是什么 三、因式定理应用： 1、设x –2为f (x )=3x 3+x 2–kx +5的因式，试求k 的值。 2、已知x +1与x –2都是4324++-bx ax x 的因式，试求a 与b 的值。 3、设k 为负整数，若f (x ) x 4 2x 3 x 2 kx 3有整系数一次因式，求k 之值。
八年级数学因式分解拓展提高练习汇总
八年级数学因式分解拓展提高练习汇总 板块一：换元法 例1．分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 例2．分解因式：22(52)(53)12x x x x ++++- 【巩固】 分解因式：(1)(3)(5)(7)15x x x x +++++ 【巩固】 分解因式：22(1)(2)12x x x x ++++- 例3.证明：四个连续整数的乘积加1是整数的平方．
【巩固】若x，y是整数，求证：()()()()4 +++++是一个完全平方数. 234 x y x y x y x y y 例4分解因式2 (25)(9)(27)91 +--- a a a 【巩固】分解因式22 ++++- (32)(384)90 x x x x 例5分解因式：2222 x x x x x x --+--+- 4(31)(23)(44) 【巩固】分解因式：2 +-+-+- (2)(2)(1) a b ab a b ab
例6分解因式：272)3()1(4 4 -+++x x 【巩固】 分解因式：4444(4)a a ++- 板块二：因式定理 因式定理：如果x a =时，多项式1110...n n n n a x a x a x a --++++的值为0，那么x a -是该多项式的一个因式. 有理根：有理根p c q = 的分子p 是常数项0a 的因数，分母q 是首项系数n a 的因数. 例7分解因式：32252x x x ---
【巩固】分解因式：65432 ++++++ x x x x x x 234321 【巩固】分解因式：3223 x x y xy y -+- 92624 例8分解因式：32 x a b c x ab bc ca x abc -+++++- ()() 【巩固】分解因式：32 +++-+---+ ()(32)(23)2() l m x l m n x l m n x m n
因式分解的16种方法
因式分解の16種方法 因式分解沒有普遍の方法，初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘數定理法，求根公式法，換元法，長除法，除法等。 注意三原則 1 分解要徹底 2 最後結果只有小括弧 3 最後結果中多項式首項係數為正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左邊必須是多項式；②分解因式の結果必須是以乘積の形式表示； ③每個因式必須是整式，且每個因式の次數都必須低於原來多項式の次數； ④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。 注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。 基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有の公共の因式叫做這個多項式各項の公因式。 如果一個多項式の各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積の形式，這種分解因式の方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式の係數應取各項係數の最大公約數；字母取各項の相同の字母，而且各字母の指數取次數最低の；取相同の多項式，多項式の次數取最低の。 如果多項式の第一項是負の，一般要提出“-”號，使括弧內の第一項の係數成為正數。提出“-”號時，多項式の各項都要變號。 提公因式法基本步驟： （1）找出公因式； （2）提公因式並確定另一個因式： ①第一步找公因式可按照確定公因式の方法先確定係數在確定字母； ②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得の商即是提公因式後剩下の 一個因式，也可用公因式分別除去原多項式の每一項，求の剩下の另一個因式； ③提完公因式後，另一因式の項數與原多項式の項數相同。 口訣：找准公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21變成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2 b a ±
因式分解定理的应用
因式分解定理的两个应用 刘学勇 (浙江省象山县荔港学校 315731) 因式分解定理：用一次多项式x a -去除多项式()f x （()f x 表示关于x 的多项式）所得的余式是一个常数，这个常数等于()f a （当x a =时关于x 的多项式的值）。 推论：多项式()f x 能被x a -整除，则()0f a =；反之若()0f a =，则x a -整除多项式()f x 。通俗的说成：如果x a =时，关于x 的多项式的值为零，那么x a -是该多项式的一个因式。反之亦然。 利用此定理可以进行因式分解和解特殊的高次方程。 例1.若()()x a x b k ---中含有因式x b +，则k = 分析：根据因式分解定理把x b =-代入()()x a x b k ---=0得2()0b a b k +-=，则k=2()b a b + 例2.已知多项式32ax bx cx d +++ 除以1x -时，所得的余数是1，除以2x -时，所得的 余数是3，那么多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是（ ） A 。21x - B 。21x + C 。1x + D 。1x - （第12届初二第二试） 解：设32 ()f x ax bx cx d =+++=(1)(2)a x x px q --++，由因式分解定理(1)1(2)3f f =??=? 解得21 p q =??=-?，所以多项式32ax bx cx d +++除以(1)(2)x x --时，所得的余式是21x -。 例3.已知a ，b ，c 均为实数，且多项式32x ax bx c +++能够被234x x +-整除。（1）求 4a c +的值。（2）求 22a b c --的值；（3）若 a ，b ，c 为整数，且1c a ≥> 试确定 a ， b ， c 的大小。 （第8届初二第二试） 解：（1）因为234(1)(4)x x x x +-=-+，所以1x -，4x +都能整除32 x ax bx c +++，所以 (1)0(4)0f f =??-=?，即10641640a b c a b c +++=??-+-+=?，整理得116464 a b c a b c ++=-??-+=?解得313b a =-，124c a =-，所以412a c +=， （2）22a b c --=22(313)(124)a a a ----=14。
2012专题：因式定理与因式分解201208用
专题：因式定理与因式分解 1、余数定理与因式定理 通常： )(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++--Λ， )(a f 表示这个多项式在a x =时的值。 如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有： r x g c x x f +-=)()()( 即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)( 因此：我们有： )(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。 这个结论我们称余数定理 如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。因此，我们有： 如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。 这个结论通常称为因式定理及其逆
定理。 需要掌握的基本技能：长除法 计算： 3(27)(2)x x x +-÷- 解：232322226 2027 2222467 612 5x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+ 所以，32 27(2)(26)5x x x x x +-=-+++ 注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。 例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。 知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。 当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。 即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x =)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x 例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f 因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。避免分数运算，把23-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。
余式定理,因式定理
1公式 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 2概念 当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。 例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。 3推论 当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。 例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。 设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。 4例题 （全国港澳台华侨联合招生考试题型） 设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。 因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式） 又f(1)=8 所以f(1)=3a+7+16=8 所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11
1定义 为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 2例题 如图， 此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。 仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得 到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式 直接得到） 然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可 3意义 熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±?），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式， 这样就可以较便利的分解因式了。 同时，将因式定理与待定系数法配合使用往往可以更简便的进行因式分解，也可以用来判断能否进行因式分解。 4多项式的因式分解 因式定理普遍应用于找到一个多项式的因式或多项式方程的根的两类问题。从定理的推论结果，这些问题基本上是等价的。 若多项式已知一个或数个零点，因式定理也可以移除多项式中已知零点的部份，变成一个阶数较低的多项式，其零点即为原多项式中剩下的零点，以简化多项式求根的过程。方法如下：先设法找出多项式的一个零点。 利用因式定理确认是多项式的因式。 利用长除法计算多项式。 中，所有满足条件的根都是方程式的根。因为的多项式阶数较要小。因此要找出多项式的零点可能会比较简单。 另外欲使A=BQ+R成立,就令除式BQ=0,则被除式A=R,能使此方程式成立,被除式=(商式)(除式)+余式or被除式/除式=商式+余式/除式[1] 推论：（一）若多项式各项系数为0，则一定有（x-1）因式 （二）若多项式奇，偶次项系数和相等，则一定有（X+1）项 更多内容参考《竞赛自招（一）》8页
-多项式的因式分解定理
§1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分？ 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的. 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =， 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数. 反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有
非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约. 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的. 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约. 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除. Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立;
(完整word版)余式定理专题
（1） 设多项式p （x ）=x 3+3x 2+ax +b 与q （x ）=x 4+x 3+ax 2+2x +b 有公因式x +3，则p （x ）与 q （x ）的最大公因式为 。 （2）若多项式()p x 满足(1)1,(2)3p p = = ，则()p x 被232x x -+除所得的余式为 _______________． （3设多项式p (x )＝ x 5＋x 4＋ax 2＋x ＋b 除以x 2＋x ＋1所得的余式为x ＋2 则 a ＝____________ b ＝_________________ （4）若多项式p (x )被x －2除后的余式为6，而被x ＋2除后的余式是2，则p (x )被x 2－4除后的余式是 。 （5） 若2x ＋1是多项式f (x ) ＝ 8x 5－4x 3＋x 2＋3x ＋a 的因式，则f (x )除以x －2的余式是 。 （6） 整数124被25整除后的余数是 。 （7） 用x 2＋x ＋1除多项式5x ＋1234++-x x x ，余式为 。 （8） 若以2x 2－3x －2除多项式)(x f 与)(x g ，分别得余式2x ＋3与4x －1，则以2x ＋1除 )(x f －)(x g 所得的余式为 。 （9） 若以2x －5x ＋6除多项式f (x )得余式2x －5，则)3(f ＝ 。 （10）用(x ＋2)（x －1）除多项式p (x )＝ 6x ＋5x ＋23x －2x ＋3，所得的余式为 。 （11）多项式3224234+--+x x x x 与6243-++x x x 的最大公因式为______________ （12） ()f x 之次数为4，以3(1)x -除之余数为3，以(2)x -除之余数为6， 以(2)x +除之余式为138，则 ()_____f x = （13）试问以96803014375451x x x x x -++-+为被除式 ○ 1除式31x -之余式为______ ○ 2除式51x +之余式为______ ○ 3除式21x x ++之余式为______ ○4除式4321x x x x -+-+之余式为______ （14） 设()f x 为一多项式，(1)()x f x -除以2(1)x +的余式为(3)x --， 则()f x 除以2(1)x +的余式为___________ （15）设三次多项式()f x 满足(0)(1)(2)0f f f === 且(3)1f =，则(1) f -
2012专题：因式定理与因式分解
专题：因式定理与因式分解 1、余数定理与因式定理 通常： )(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ， )(a f 表示这个多项式在a x =时的值。 如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有： r x g c x x f +-=)()()( 即：被除式等于除式乘以商式再加余式 在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)( 因此：我们有： )(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。 这个结论我们称余数定理 如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。因此，我们有： 如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。 这个结论通常称为因式定理及其逆
定理。 需要掌握的基本技能：长除法 计算：3 (27)(2)x x x +-÷- 解：232322226 2027 2222467 612 5x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+ 所以，32 27(2)(26)5x x x x x +-=-+++ 注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。 例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。 知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。 当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。 即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x =)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x 例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f 因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。避免分数运算，把2 3-x 乘以2得32-x ，32-x 仍然是)(x f 的一次因式。
因式分解公式大全
公式及方法大全待定系数法（因式分解） 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用. 在因式分解时,一些多项式经过分析,可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项 式等于这几个因式的乘积,根据多项式恒等的性质,两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组）,解出待定字母系数的值,这种因式分解的方法叫作待定系数法. 常用的因式分解公式: (x+s)(x+3) = +S+B)x+必 (alb)2 =a a±2ab+b2 (a±b)3 = a3±3a2b + 3ab2±b3 a2 = (a-b)(a+b) J 土沪=@ ±3)(/甲必+沪)
亍-胪二@「如严+产E+产於十…+必“ +严)仇为正整数) a K-b n = @ +轨严-严B+广即-■■十严-扩")(初偶数) a B+i a = ? + 广结+尸沪——曲已+尸)3为奇数) 3+b + c)'二a1 +b2 +/ +2处+ 2加+ 2皿 J + 沪+C'1-3abc = \a +b +Q(卅+沪+/ -ab-bc-ca) 例1 分解因式：x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 . 分析由于 (x2+3xy+2y 2)=(x+2y)(x+y), 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出n，使问题得到解决. 解设 x2+3xy+2y 2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x 2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ,
余式定理及因式定理的应用
初二数学竞赛培训专题: 余式定理及因式定理的应用 初二( )班 姓名: 学号: _ 一、知识要点: 1、()x f 的意义:已知多项式()x f ,若把x 用c 带入所得到的值,即称为()x f 在x =c 的多项式值,用()c f 表示。 2、被除式、除式、商式、余式之间的关系:设多项式()x f 除以()x g 所得的商式为()x q ,余式为()x r ,则:()x f =()x g ×()x q +()x r 3、余式定理:多项式)(x f 除以b x -之余式为)(b f ;多项式)(x f 除以b ax -之余式)(a b f 。 4、因式定理:设R b a ∈,,0≠a ,)(x f 为关于x 的多项式,则b x -为)(x f 的因式?0)(=b f ; b ax -为)(x f 的因式?0)(=a b f 。 二、余式定理应用: 1、(1)已知132)(3 -+=x x x f , 求f (x )除以)1(-x 、()12+x 所得的余式; (2)设f (x )=2x 2 +kx +10除以2x –1余5,求k 的值; (3)以x 2–3x –4除多项式f (x )与g (x ),分别得余式3x +2与–4x +7, 求以x –4除f (x )+g (x ) 所得的余式。 2、设6302546)(2345-+---=x x x x x x f ,求f (7)。 3、计算:(1)2001246012161258127122345-?-?+?-?-; (2)7111511561172114112345+?+?-?-?-。 4、(1))(x f 、 ()x g 都就是多项式,已知221-=??? ??-f ,2 521=??? ??-g ,则以12+x 除()()x g x f ?之余式就是什么？ (2))(x f 除以12 -x 之余式为23+x ,且)(x g 除以322-+x x 之余式为 25+x ,则1-x 除)()15()()3(2x g x x f x ?++?+的余式就是什么？ 三、因式定理应用: 1、设x –2为f (x )=3x 3+x 2–kx +5的因式,试求k 的值。 2、已知x +1与x –2都就是4324++-bx ax x 的因式,试求a 与b 的值。 3、设k 为负整数,若f (x ) = x 4 - 2x 3 + x 2 + kx - 3有整系数一次因式,求k 之值。 4、设αx 3 +βx 2 – 47x –15 有因式 3x +1 与 2x –3,则第三个因式就是什么？ 5、试证明: (1)1-x 就是的19-x 因式。 (2)a x -就是的n n a x -因式。(n 就是正整数) (3)f (x )=(x +6)n –1可被x +5整除。(n 就是正整数) 四、整系数一次因式检验法: