[教育]因式定理与余式定理
初中数学 什么是因式定理
初中数学什么是因式定理因式定理是初中数学中的重要概念之一，它是解决多项式相关问题的关键方法之一。
因式定理也称为因式分解定理或综合除法定理，它是将多项式进行因式分解的基础。
首先，我们先来了解一下多项式的定义。
多项式是由常数、变量和它们的乘积以及它们的和或差构成的代数式。
例如，4x^2 - 3x + 2就是一个多项式，其中4、-3和2是常数，x是变量，x^2、x和1分别是变量的幂。
因式定理的表述如下：若多项式P(x)除以(x-a)的余数为0，则(x-a)是P(x)的一个因式。
这个定理的实质就是利用了多项式的因式分解特性。
如果一个多项式除以(x-a)的余数为0，那么(x-a)就是这个多项式的一个因子，也就是说，它可以整除这个多项式。
具体来说，如果我们有一个多项式P(x)，除以(x-a)的余数为0，即P(a)=0，那么(x-a)就是P(x)的一个因子，可以写成P(x)=(x-a)Q(x)，其中Q(x)是另一个多项式。
这个过程就是因式定理的核心思想。
因式定理的应用有很多，例如：1. 求多项式的根：如果我们已知一个多项式的根，可以利用因式定理将多项式因式分解，并找到其他的根。
2. 求多项式的因式：通过因式定理，我们可以将多项式进行因式分解，得到更简洁的形式，方便进行计算和研究。
3. 求多项式的最大公因式：利用因式定理，我们可以确定两个多项式的公因式，从而求得它们的最大公因式。
当然，因式定理并不仅限于一元多项式，它同样适用于多元多项式的因式分解。
在多元多项式的情况下，因式定理的应用更加广泛，可以帮助我们解决更复杂的问题。
总之，因式定理是初中数学中一个重要的概念，它为多项式的因式分解提供了一个重要的思路和方法。
通过掌握因式定理，我们可以更好地理解和运用多项式的相关知识。
因式定理和余式定理
因式定理和余式定理数学作为一门学科，有着悠久的历史，历经时代的变迁，发展至今。
其中，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，被誉为“二定理”。
本文就因式定理和余式定理进行具体介绍，以加深我们对它们的了解。
因式定理，又称费马小定理，它的发现者是德国数学家孔因斯费马，他于1824年发明了该定理。
它的正式名称叫做“一个整数的N 次方等于一个循环的形式的定理”。
该定理定义为：对于给定的质数p和正整数a满足ap a mod p（其中，a≠0 mod p），若x是正整数，设X x mod p，则满足下列关系：ax X mod p说明，如果知道了一个质数p和一个满足ap a mod p（其中，a ≠0 mod p）的整数a，那么我们就可以通过X（即x mod p）来计算ax mod p的值，当X为非常大的时候，计算成本也会非常高，因式定理能够解决这一问题。
余式定理也是一种数学定理，它发现者是著名的法国拉格朗日，他在1750年发明了该定理。
它的正式名称叫做“关于自由变量的多项式的系数的定理”。
它的意思是，在多项式中系数的值可以由以下公式来计算：a_n=p^n%c_1*p^(n-1)%c_2*...*p^1%c_n*1%c_(n+1) 其中，P表示多项式的本原，c_1，c_2，…，c_n+1表示多项系数的值，a_n表示系数的值，n表示多项式的次数。
由费马小定理和拉格朗日余式定理可知，如果满足它们相应的条件，那么就能够计算出多项式中系数的值。
这对我们学习数学和计算机科学有着重要的意义。
它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。
从上文中可以看出，因式定理和余式定理都是数学史上非常重要的定理，它们能够为我们解决很多复杂的数学问题，给我们带来极大的帮助。
这就是因式定理和余式定理的重要性。
综上所述，因式定理和余式定理在数学史上占有重要地位，它们能够解决很多复杂的数学问题，为我们的学习和研究提供了强大的支持。
余式定理
余式定理与因式定理例1. (1)求242)(+--=x x x x f 除以1+x 之余式。
(2)设1537935699357)(2345+++--=x x x x x x f ，求)2(f 。
类1. 15)(24-++=bx ax x x f 以3-x ，1-x 除之，余式分别为45，-15求以1+x 除之，余式为 。
类2. 求=-⨯-⨯+⨯-⨯-2001246012161258127123345。
类3. 以1+x 除5102610019992000++-+x x x x的余式为 。
类4. 设)(),(x g x f 均为多项式，)(x f 除以12-x 之余式为23+x ，)(x g 除以322-+x x 之余式为25+x ，则)()15()()3(2x g x x f x +++除以1-x 的余式为 。
类5. 已之3221)(x x x x f -+-=，且)2()1(+=+x f x g ，)2()(+=x g x h ，求)()(x xg x h +除以1+x 的余式。
Ans: 1. –19，2. 40，3. –12，4. 62，5. -8。
例2. (1)多项式)(x f 除以1-x ，2-x 之余式分别为5,7，求)(x f 除以)2)(1(--x x 之余式。
(2)多项式)(x f 除以2-x ，322++x x 之余式分别为5，65+x ，求)(x f 除以)32)(2(2++-x x x 之余式。
类1. 设多项式)(x f 以2-x 除之余3，以4+x 除之余-9，则以)4)(2(+-x x 除之余式为 。
类2. 设)(x f 为一多项式，0)deg(≥x ，若1-x ，2-x ，3-x 分别除之，余式为3，7，13，则)(x f 以)3)(2)(1(---x x x 除之余式为 。
类3. 多项式)(x f 除以2-x ，12++x x 之余式分别为10，1+x ，求)(x f 除以)1)(2(2++-x x x 之余式。
a的四次方+4因式分解余数定理
主题：a的四次方+4因式分解余数定理内容：1. 介绍a的四次方a的四次方表示为a^4，即a与自身相乘四次的结果。
在数学中，四次方是一个常见的指数运算，具有重要的数学性质和应用。
对于任意实数a，a的四次方都可以用公式计算得出。
2. 讨论4因式分解因式分解是代数中的一个重要概念，指将一个代数式或多项式分解成乘积的形式。
4因式分解则是指求一个数的所有因子（包括负因子）的方法。
4因式分解在代数、数论以及其他领域中都有着广泛的应用。
3. 余数定理余数定理是数论中的一个重要定理，用来描述一个整数被另一个整数除后所得的余数。
余数定理在代数、离散数学等领域有着重要的应用，是解决很多问题的关键工具之一。
4. a的四次方+4因式分解余数定理当我们将a的四次方进行因式分解时，可以利用余数定理来简化问题。
通过余数定理，我们可以得出a的四次方对4求余的结果，进而得到a^4+4的因式分解形式。
5. 总结a的四次方+4因式分解余数定理是数学中的一个重要问题，涉及了指数运算、因式分解和余数定理等多个数学概念。
通过深入理解和灵活运用这些数学工具，我们可以更好地解决和理解相关问题，拓展数学知识的应用领域。
结论：通过对a的四次方+4因式分解余数定理进行深入探讨，我们不仅可以增进对数学知识的理解和应用，还可以培养逻辑思维和数学推理能力，为进一步学习和研究数学奠定坚实的基础。
a的四次方在数学中具有重要的地位和应用价值。
我们来推导a的四次方的计算方式。
对于任意实数a，a的四次方可以表示为a^4。
具体计算时，可以通过连续乘以自身四次来得到结果，即a^4 = a * a * a * a。
a的四次方实际上是a 连续相乘四次的结果。
在代数中，因式分解是一个重要的概念，可以帮助我们简化复杂的代数式或多项式。
4因式分解是指求一个数的所有因子（包括负因子）的方法，它在数论、代数、几何和其他数学领域中都有着广泛的应用。
通过进行因子分解，我们可以将一个代数式或多项式分解成乘积的形式，从而更好地理解和处理数学问题。
补充教材：余式定理与因式定理
余式定理与因式定理【1】f(x)＝3x 4－2x 3－10x 2＋3x ＋2，下列何者为f(x)的因式(A) x －2 (B) x ＋3 (C) 2x －1(D) 3x ＋1 (E) 3x ＋2。
[解答]：(A)(D)【详解】：利用综合除法(A) f(2)＝0 ∴x －2f(x) (B) 32 ∴x ＋3f(x) (C) 23 ∴2x －1f(x)(D) f(－31)＝0 ∴3x ＋1|f(x)(E) f(－32)≠0，∴3x ＋2f(x)【2】设x －5与x －7都是b ax x ++-50)6(的因式，其中a ，b 为常数，则a ＋b 之值为 。
[解答]：－1【详解】：令f(x)＝b ax x ++-50)6(，由因式定理x －5|f(x)⇒f(5)＝0⇒b a ++-5)65(50 ⇒5a ＋b ＝－1…(1) x －7|f(x)⇒f(7)＝0⇒b a ++-7)67(50⇒7a ＋b ＝－1…(2) (1)－(2) 2a ＝0 ∴a ＝0代入(1)，b ＝－1，故a ＋b ＝－1【3】设f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，满足f(1)＝f(2)＝3且f(－1)＝－3，则 (A) a ＋b ＋c ＝3(B) a －b ＋c ＝－2 (C) a ＝3 (D) b ＝2 (E) c ＝3。
[解答]：(B)(D)(E)【详解】：由f(1)＝f(2)＝f(3)知，x －1与x －2为f(x)－3之因式，又x 3之系数为1 ∴f(x)－3＝(x ＋k)(x －1)(x －2)x ＝－1代入，得f(－1)－3＝(－1＋k)(－2)(－3)且f(－1)＝－3 ∴－3－3＝6(k －1) ∴k ＝0故f(x)＝x(x －1)(x －2)＋3＝x 3－3x 2＋2x ＋3⇒a ＝－3，b ＝2，c ＝3【4】设x 3＋2x 2－1＝a(x ＋1)(x －1)(x －2)＋b(x －1)(x －2)＋c(x －1)＋d ，则(A) a ，b ，c ，d 皆为整数 (B) a ＋b ＝5 (C) c ＝4 (D) b ＋d ＝6 (E) c ＋d ＝15[解答]：(A)(B)(D)(E)【详解】：x 3＋2x 2－1＝a(x ＋1)(x －1)(x －2)＋b(x －1)(x －2)＋c(x －1)＋d 令x ＝1，得1＋2－1＝d ⇒d ＝2令x ＝2，得8＋8－1＝c ＋d ＝c ＋2⇒c ＝13令x ＝－1，得－1＋2－1＝b(－2)(－3)＋(－2)c ＋d ⇒0＝6b －26＋2⇒b ＝4 令x ＝0，得－1＝1·(－1)(－2)a ＋(－1)(－2)b ＋(－1)c ＋d ⇒－1＝2a ＋8－13＋2 ⇒a ＝1【5】设f(x)＝x 5＋6x 4－4x 3＋25x 2＋30x ＋20，则f(－7)＝ 。
初中数学二次根式公式定理,因式分解等公式定理汇总
初中数学二次根式公式定理，因式分解等公式定理汇总因式分解公式定理1 因式分解11 因式如果一个次数不低于一次的多项式因式,除这个多项式本身和非零常数外,再也没有其他的因式,那么这个因式(即该多项式)就叫做质因式12 因式分解把一个多项式写成几个质因式乘积形式的变形过程叫做多项式的因式分解1 提取公因式法2 运用公式法3 分组分解法4 十字相乘法5 配方法6 求根公式法13 用待定系数法分解因式2 余式定理及其应用21 余式定理f(x)除以(x-a)的余式是常数f(a)如果f(a)=0,那么f(x)必定含有因式x-a;反过来,如果f(x)含有因式x-a,那么f(a)=0这个结论叫做因式定理22 余式定理的应用23 因式分解法解一元方程24 根与系数的关系如果x1,x2时二次三项式ax²+bx+c(a不等于)0的两个根,那么x1+x2=-b/a,x1x2=c/a二元二次方程组公式定理第七章二元二次方程组1 二元二次方程与二元二次方程组11 二元二次方程含有两个未知数,并且未知数最高次数是2的整式方程,称为二元二次方程关于x,y的二元二次方程的一般形式是ax²+bxy+cy²+dy+ey+f=0其中ax²,bxy,cy²叫做方程的二次项,d,e叫做一次项,f叫做常数项12 二元二次方程组2 二元二次方程组的解法21 第一种类型的二元二次方程组的解法当二元二次方程组的二元二次方程可分解成两个一次方程的时候,我们就可以把分解得到的各方程与原方程组的另一个方程组组成两个新的方程组来解这种解方程组的方法,称为分解降次法22 第二种类型的二元二次方程组的解法分式与二次根式公式定理第六章分式与二次根式1 分式与分式方程11 指数的扩充12 分式和分式的基本性质设f,g是一元或多元多项式,g的次数高于零次,则称f,g之比f/g为分式分式的基本性质分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数,分数的值不变13 分式的约分和通分分式的约分是将分子与分母的公因式约去,使分式化简如果一个分式的分子与分母没有一次或一次以上的公因式,且各系数没有大于1的公约数,则此分式成为既约分式既约分式也就是最简分式对于分母不相同的几个分式,将每个分式的分子与分母乘以适当的非零多项式,使各分式的分母相同,而各分式的值保持不变,这种运算叫做通分14 分式的运算15 分式方程方程的两遍都是有理式,这样的方程成为有理方程如果有理方程中含有分式,则称为分式方程2 二次根式21 根式在实数范围内,如果n个x相乘等于a,n是大于1的整数,则称x为a的n次方根含有数字与变元的加,减,乘,除,乘方,开方运算,并一定含有变元开方运算的算式成为无理式22 最简二次根式与同类根式具备下列条件的二次根式称为最简二次根式:(1)被开方式的每一个因式的指数都小于开方次数(2)根号内不含有分母如果几个二次根式化成最简根式以后,被开方式相同,那么这几个二次根式叫做同类根式23 二次根式的运算24 无理方程根号里含有未知数的方程叫做无理方程资料来源：初中数学。
§42余式定理,因式定理
§4−2 餘式定理、因式定理(甲)餘式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x−a的餘式等於f(a)。
證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x−a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a−a)⋅q(a)+r = r。
推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(−b a)。
f(a)的雙重意義：!多項函數f(x)在x=a的函數值。
"多項式f(x)除以x−a的餘式。
[例題1] 求下列二小題：(1)求(x3+2x2−x−4)3除以x+3的餘式。
(2)設f(x)=1250x6-2790x5−3125x4+707x3+100x2+45x−62，則f(3)=？Ans：(1)−1000 (2)217[例題2] 二次式ax2+bx−4以x+1除之，得餘式3，以x−1除之，得餘式1，若以x−2除之，所得的餘式為。
Ans：18(練習1) 試求115−4⋅114−72⋅113−56⋅112+15⋅11+7之值為。
Ans：51(練習2) 設二多項式f(x),g(x)以2x2−3x−2除之，餘式分別為3x+2,−4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？ Ans：19 2(練習3) f(x)=2x4+3x3+5x2−6，求2x−1除f(x−3)的餘式。
Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x−3)，再利用餘式定理。
[例題3] 試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7−50x5+8x4−5x3−19x2+41x+6除以(x−1)(x−7)之餘式。
(2)設多項式f(x)不低於2次，以x−1除之餘2，以x+2除之餘−1，則以(x−1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x−1除之餘3，以x+1除之餘1，以x−2除之餘−2，則求以(x−1)(x+1)(x−2)除f(x)的餘式。
第六节：整式的除法及余数定理
整式的除法及余数定理【教学目标】1.综合除法：多项式除法时，我们有带余除法：)()()()(x r x q x g x f +⋅= 其中)(x f 表示被除式，)(x g 表示除式，)(x q 表示商式，)(x r 表示余式，且余式)(x r 的次数小于除式)(x g 的次数．2．余数定理和因式定理：余数定理：多项式)(x f 除以)(a x -所得的余数等于)(a f 因数定理：若多项式)(x f 能被a x -整除，亦即)(x f 有一个因式a x -，则0)(=a f ；反之，如果,0)(=a f 那么a x -必为多项式)(x f 的一个因式．【经典例题】例1．求6532234++--x x x x 除以)1(+x 所得的商式和余数．例2．求多项式)(x f 除以,1-x 2-x 所得的余数分别为3和5，求)(x f 除以)2)(1(--x x 所得的余式．例3．证明：当b a ,是不相等的常数进，若关于x 的整式)(x f 被a x -和b x -整除，则)(x f 也被))((b x a x --整除．例4．试确定a 和b 的值，使b x ax x x x f +++-=532)(234被)2)(1(-+x x 整除．例5. 已知关于x 的整式)(x f 除以3+x 时余数为-5；所得的商再除以12-x 时余数为4，求)(x f 除以12-x 时的余数、除以3522-+x x 时的余式．整式的除法及余数定理练习一、选择题1．化简3422222++⋅⋅-n nn ，得（ ） A 、8121-+n B 、87 C 、12+-n D 、47 2．如果822+++bx ax x 有两个因式1+x 和2+x ，则b a +=（ ）A 、7B 、8C 、15D 、213．如果b a ,是整式，且12--x x 是123++bx ax 的因式，那么b 的值是（ ）A 、-2B 、-1C 、0D 、2 二、填空题：1．已知k 是整数，并且k x x x +-+3323有一个因式是1+x ，则=k ；另一个二次因式，它是 ．2．已知62-+x x 是12234-+++-+b a bx ax x x 的因式，则=a ，=b ．3．多项式6522++-++y x by axy x 的一个因式是2-+y x ，则b a +的值是 ．三、解答题1．计算6533+-x x 除以)2(-x 所得的商式及余数．2．用综合除法计算)23()2527(23-=-+-x x px x3．设1183)(234+-++=kx x x x x f 被3+x 整除，求k 的值．4．设2)(24+--=bx ax x x f 被())2(1++x x 整除，求b a ,的值．5．若b ax x x x f ++-=2332)(除以1+x 所得的余数为7，除以1-x 所得的余数为5，试求b a ,的值．6．多项式)(x f 除以)2(),1(--x x 和)3(-x 所得的余数分别为1，2，3求)(x f 除以)3)(2)(1(---x x x 所得的余式．7．已知多项式128)(23--+=x bx ax x f 被2-x 和3-x 整除，试求b a ,的值，并求)(x f 除以)3)(2(--x x 后所得的商式．8．若r px x 455+-被2)2(-x 整除，求q 与r 的值．9．若164-x 除以14-x 得256，求x 的值．10．若0132=--x x ，求200257623+-++x x x 的值．11．当m p ,为何值时，多项式23-+px x 能被12-+mx x 整除？整式的除法及余数定理作业1．设n mx x x f ++=2)(（n m ,都是整数）既是多项式25624++x x 的因式，又是多项式5284324+++x x x 的因式，求)(x f2．求一个关于x 的二次三项式)(x f ，它被1-x 除余2，被)2(-x 除余8，并且它被1+x 整除．3．用综合除法求商式和余式)4()181496(345+÷+-++x x x x x4．当2=x 或3=x 时，多项式6632)(234++++=bx x ax x x f 的值都为0，试求多项式)(x f 除以652+-x x 的商式和余式．。
中国余式定理
jm+a=qjn+r 二式相减，有(j-i)m=(qj-qi)n。即n是(j-i)m的因子，而由于 m,n互素，则n只能是(j-i)的因子。可是，j ≤n是已知的。 这表明，假设存在ri=rj=r (0≤i<j ≤n-1)是不成立的。 从而可知，上述序列中，模r的每个余数0~n-1都将出现一 次。因此，数b(0≤b≤n-1)也出现过,即存在某个pm+a模n 的余数为b ：pm+a=qn+b=x。
中国余式定理：令m和n是二互素的正整数，并令a,b是 两个整数，0≤a ≤m-1,0 ≤b ≤n-1。则存在一个正整数x， 使得x除以m的余数为a,x除以n的余数为b.即x可以表示为 x=mp+a=nq+b其中，p,q是两个整数。
证明：考虑n个整数：a,m+a,2m+a,…,(n-1)m+a.注意，这 些数中的每一个除以m都余a. 假定它们除以n的余数分别为r0,r1,…,rn-1,显然，其取值均 在0,n-1之间。 假设存在ri=rj=r (0≤i<j≤n-1),即有 im&#
余式定理推导过程
余式定理推导过程余式定理是整式除法的一个重要定理，它可以用来计算一个多项式除以另一个多项式后的余数。
余式定理的推导过程如下：设有两个多项式：被除式为f(x)，除式为g(x)，其中f(x)和g(x)都是实系数多项式，且g(x)≠0。
余式定理的主要内容是：对于任意实数a，将a代入f(x)中得到一个实数f(a)，再将a代入g(x)中得到一个实数g(a)，则存在唯一的一个实数r，使得f(x)=(x-a)×q(x)+r其中q(x)是一个实系数多项式，r是一个实数。
也就是说，多项式f(x)被g(x)除所得的余数是r。
这个等式也可以表示成f(a)=g(a)×q(a)+r的形式。
首先，考虑最简单的情况，即 g(x) 是一个一次多项式 (ax + b)。
由于 g(x) = (ax + b)，将 a 代入 f(x) 可得：f(a) = a × a + b。
所以，对于一次多项式 g(x)，f(a) 除以 g(a) 所得的余数就是 f(a)。
接下来，考虑g(x)是一个二次多项式。
设 g(x) = x^2 + px + q，假设 f(x) 是一个任意的多项式。
由余式定理可得：f(x)=(x-a)×q(x)+r将 g(x) 代入等式中可得：f(x) = (x-a) × (x^2 + px + q) + r对等式进行展开得：f(x) = x^3 + px^2 + qx - ax^2 - apx - aq + r整理得：f(x) = x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r根据多项式的相等，可得：x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r = f(x)由此可推出：x^3 + (p-a)x^2 + (q-ap)x - aq + r 的系数分别为f(x) 的系数。
根据这个等式，可知：r = -aq + r。
由于 -aq 为常数，所以对任意的 a，r 的值不变，可以记作 r(a)。
数学公式大全
因子个数：设，其中为正质因子,，则(1)之正因子个数（2)之因子个数(3）之正因子总和=(4）之正因子乘积找因子:（1） 2之倍数末位为偶数(2） 4之倍数末两位为4之倍数（3) 8之倍数末三位为8之倍数(4) 5之倍数末位为0或5(5） 3之倍数数字之和为3之倍数（6） 9之倍数数字之和为9之倍数（7） 11之倍数(奇位数字和)－（偶位数字和)恰为11的倍数(8） 7（13）之倍数末位起向左每三位为一区间(第奇数个区间之和）—（第偶数个区间之和）为7(13)之倍数质数检验：设，，若没有小于等于的正质因子,则为质数.尤拉公式:设，表质因子，(1)不大于而与互质者:个（2)不大于,为的倍数但不为倍数者有个（3)不大于，为的倍数但不为的倍数者有个因倍数及公因子,公倍数性质：(1），若，则为之公因子(2）且,则(3)，，则必有二整数，使（4)，若辗转相除法原理：若，，若，，,则整数解：(1）型化为（2）为整数）有整数解(3)若已知有一解，则有理数、实数：(1)有理数：凡是能写成形如（都是整数，且)的数叫有理数。
(2)，，若(3）整数之离散性：设，若，则（不等整数之距离至少为1)(4)实数之稠密性:设，若,则存在，使(5)证无理数之另一方法：证为一方程式之根，但没有有根，或有理根不可能为。
复数：(1)若，，则Z之实部之虚部,又，（2）为实数：且为纯虚数(3）若，，，则且（4）设，则(5)为实系数，为实数,则等差与等比公式：(1）级数成等差，若首项,公差,则；(2）级数成等比，若首项,等比，则;若，（3)调和级数：倒数成等差，故可用等差公式。
杂级数公式：（1)连积之和(依此类推）(2)无穷等比数列及级数之敛散若,则（a)无穷等比级数（b)无穷杂级数无穷循环小数，无穷几何级数：（1）循环小数化为无穷等比级数求之（2）化为数字9之级数(3)（其他类似)（4)无穷几何级数求法要领：先求首项及公比距离公式:（1) A（）,A（)，则(2)中到三顶点等距支点为外心(3）则在时，产生最小值。
因式定理讲解
因式定理在数学中的应用
因式定理是数学中一个重要的定理，它在实际问题中有广泛的应用。
因式定理指出，如果一个多项式 f(x) 能够因式分解为
f(x)=a(x-b)(x-c),那么 a、b、c 都是 f(x) 的因式。
因式定理的性质如下:
1. 如果 f(x) 能够因式分解为 f(x)=a(x-b)(x-c),那么 f(x)
的导数 f"(x) 能够因式分解为
f"(x)=ad(x-b)(x-c)+bd(x-b)(x-c)+cd(x-c)(x-c)。
2. 如果 f(x) 能够因式分解为 f(x)=a(x-b)(x-c),那么 f(x)
在点 x=a 处的切线斜率能够因式分解为
k(x-a)=ad(x-b)(x-c)+bd(x-b)(x-c)+cd(x-c)(x-c)。
3. 如果 f(x) 能够因式分解为 f(x)=a(x-b)(x-c),那么 f(x)
在点 x=a 处的导数能够因式分解为
f"(x)=ad(x-b)(x-c)+bd(x-b)(x-c)+cd(x-c)(x-c)。
因式定理在实际问题中有广泛的应用。
例如，在求解方程时，如果方程 f(x)=0 能够因式分解为 f(x)=a(x-b)(x-c),那么我们可以
通过因式定理来求解方程。
另外，因式定理还可以用于求解函数的极值点。
如果我们想要求解函数 f(x) 的极值点，我们可以通过因式定理来将 f(x) 因式分解，然后求解分解后的方程，从而得到极值点。
因式定理是数学中一个重要的定理，它在实际问题中有广泛的应用。
我们应该熟练掌握因式定理的概念、性质和应用，以便更好地解
决实际问题。
余式定理
高中统考练习（余式定理，因式定理）高中高级数学1•除法原理：f(x)=g(x)×q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0•余式定理：多项式f(x)除以x-a的余式等于f(a)。
•因式定理：設f(x)為一多項式，則x-a 為f(x) 的因式⇔f(a)=0（选择题）1. 若x-4 为 2x3 + k x2– 41x + 20 之一因式，则k = ? [1988 No.1]A 3B 2C 1D -1E -22. 若 4x3– 3x2 + x -1 除以 (x-2) (x-1) , 求其余式。
[1990 No.8]A 20x– 19B 20x + 19C 23 – 4xD -2E 23. 当多项式x3 + (k-4)x2 + (k-9)x– 4 除以 (x-2) 时，其余数为12，试求k的值。
[1991 No.11]A -7B -3C 0D 3E 74. 若x20 + p x11 + 3x2– 10 除以x + 1得余数 -18 , 求p 之值。
[1993 No.6]A -23B 2C 4D 12E 135. 若x-2 是f (x) = x3– 7x + k 的一个因式，问下列何式也是f (x) 的因式 ? [1998 No.1]A x + 1B x+2C x+3D x-3E x-66. 若f (x) = 3x3– 4x2 + k x + 5 能被x -1 所整除，求 k 的值。
[1999 No.1]A 4B 3C 1D 0E -47. 若x+1 是 2x3 + 3x2– 2k – 1 的因式，求k的值。
[2000 No.1]A -2B -1/2C 0D 1/2E 28. 若多项式x3– (m-1)x2 + 2x -1 除以 (x-1) 得余数 -1 ，则m的值是______。
[2001 No.1]A 4B 2C -2D -3E -49. 若f (x) = a x3– 5x2 + 4x– 4 能被x-2 所整除，求 a 的值。
因式定理与余式定理
余式定理的证明
03
因式定理与余式定理的关系
01
02
因式定理与余式定理的联系
余式定理是因式定理的一种特殊情况，即当多项式在某点取值为零时，其导数在该点的值等于余式。
两者都是多项式理论中的重要定理，用于研究多项式的因式分解和余数性质。
因式定理主要关注多项式的因式分解，即通过多项式的根来寻找多项式的因式；而余式定理则关注多项式在某点的余数性质，即通过多项式在该点的值和导数来计算余数。
针对特定问题，开发基于因式定理与余式定理的算法和工具，以简化数学计算和证明过程。
因式定理与余式定理的推广和改进
因式定理与余式定理在其他学科中的应用
探讨因式定理与余式定理在其他学科领域中的应用，例如物理学、工程学、经济学等。
研究因式定理与余式定理在其他学科中应用的案例，分析其解决问题的有效性和实用性。
详细描述
总结词：因式定理的证明通常基于代数的基本性质和定理，如零因子定理和整除定理等。
因式定理的证明
02
余式定理
总结词
余式定理描述了多项式在某点的泰勒展开中的余项。
详细描述
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ余式定理指出，对于一个在点$x_0$处具有$n+1$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒展开中的余项可以表示为$R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(x_0) cdot frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}$，其中$f^{(n+1)}(x_0)$是$f(x)$在$x_0$处的$(n+1)$阶导数。
余式定理的定义
总结词
余式定理在解决多项式方程、求函数的极值和判断函数的单调性等方面有应用。
详细描述
因式定理 百科
因式定理百科百科全书是人们获取知识的重要途径之一，其中有许多重要的数学定理也得到了详尽的解释和阐述。
其中之一就是因式定理。
因式定理是数学中的一个重要概念，它在代数运算中起着至关重要的作用。
因式定理是指，对于一个多项式函数，如果存在一个因式a，使得该多项式能够被a整除，那么这个多项式可以被写成两个因式的乘积。
换句话说，因式定理就是将多项式表达为多个因子相乘的形式。
具体来说，对于一个多项式P(x)，如果存在一个因式a，使得P(x)能够被a整除，那么P(x)可以表示为P(x) = a(x-b)的形式，其中b 是多项式P(x)的根。
因式定理的应用非常广泛。
在代数运算中，因式定理可以帮助我们将一个复杂的多项式化简为更简单的形式，从而更方便地进行计算。
同时，在解析几何中，因式定理也经常被用来求解多项式函数的根。
举个例子来说，假设我们有一个多项式P(x) = x^2 - 5x + 6，我们希望将其分解为两个因式相乘的形式。
根据因式定理，我们可以通过寻找P(x)的根来实现这一目标。
我们试图找到P(x)的根。
我们可以通过将P(x) = 0来解方程，得到x^2 - 5x + 6 = 0。
通过求解这个二次方程，我们可以得到x = 2和x = 3两个根。
然后，我们可以将P(x)表示为P(x) = (x-2)(x-3)的形式。
这样，我们就成功地将多项式P(x)分解为两个因式相乘的形式。
因式定理的重要性不言而喻。
它为我们解决代数运算中的复杂问题提供了一个重要的工具。
掌握因式定理的应用，不仅可以帮助我们更好地理解数学中的概念，还可以提高我们的数学能力和解决问题的能力。
因式定理是数学中一个重要的概念，它在代数运算和解析几何中起着重要的作用。
通过将多项式表示为因子相乘的形式，因式定理帮助我们化简复杂的表达式，并解决方程和求解根的问题。
掌握因式定理的应用，对于我们的数学学习和问题解决能力都具有重要意义。
余式定理,因式定理
余式定理1公式整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。
如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。
反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。
2概念当一个多项式f(x) 除以(x – a) 时，所得的余数等于 f(a)。
例如：当 f(x)=x^2+x+2 除以 (x – 1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。
3推论当一个多项式 f(x) 除以 (mx – n) 时，所得的余数等于 f(n/m)。
例如：求当 9x^2+6x–7 除以 (3x + 1) 时所得的余数。
设 f(x) = 9x^2 + 6x – 7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。
4例题（全国港澳台华侨联合招生考试题型）设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x²+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少?解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。
因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8所以f(1)=3a+7+16=8所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11因式定理1定义为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。
反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。
2例题如图，此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。
仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。
根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的，可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式为对称多项式直接得到）然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数即可3意义熟练掌握因式定理后，可以运用试根法（结合因式定理）找到因式（大多试±1，±2，±3，±½），再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系数，或综合除法直接求出剩下的因式，这样就可以较便利的分解因式了。
2012专题：因式定理与因式分解
专题：因式定理与因式分解1、余数定理与因式定理通常：)(x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- ，)(a f 表示这个多项式在a x =时的值。
如果我们用一次多项式c x -作除式去除多项式)(x f ，那么余式是一个数。
设这时商式为多项式)(x g ，余式（余数）为r ，则有：r x g c x x f +-=)()()(即：被除式等于除式乘以商式再加余式在上式中令c x =，便得到：r r c f =+=0)(因此：我们有：)(x f 除以c x -，所得余数为)(c f 。
这个结论我们称余数定理如果余数为0，那么)(x f 就被c x -整除，也就是c x -是)(x f 的因式。
反过来，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(x f 就被c x -整除，余数为0。
因此，我们有：如果)(c f =0，那么c x -是)(x f 的因式。
反之，如果c x -是)(x f 的因式，那么)(c f =0。
这个结论通常称为因式定理及其逆定理。
需要掌握的基本技能：长除法计算：3(27)(2)x x x +-÷- 解：332232322226202722224676125x x x x x x x x x x x x x x ++-++-----+所以，3227(2)(26)5x x x x x +-=-+++注：若被除式多项式缺少了某些项，可以用0补足。
例1 分解因式：6116)(23+++=x x x x f 因为0)1(=-f ，根据上面的结论 1)1(+=--x x 就是)(x f 的一次因式。
知道这个因式，运用多项式除法就可以将商式求出来，再进一步分解。
当然，我们也可以不用除法，直接去分组分解。
这里的分组是“有目标的”，因为每组都有因式1+x 。
即：6116)(23+++=x x x x f =)66()55()(223+++++x x x x x=)65)(1(2+++x x x =)3)(2)(1(+++x x x例2 分解因式：3552)(23-+-=x x x x f因为)23(f =0，可知23-x 是)(x f 的一次因式。
余式定理
§4-2 餘式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)⋅q(x)+r(x)，deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0餘式定理：多項式f(x)除以x-a的餘式等於f(a)。
證明：由多項式的除法原理得知，恰有兩多項式q(x)及r(r為常數多項式)滿足f(x)=(x-a)⋅q(x)+r，而此等式為恆等式，因此將x=a代入上式，得f(a)=(a-a)⋅q(a)+r = r。
推廣：多項式f(x)除以ax+b的餘式等於f(-b a)。
f(a)的雙重意義：①多項函數f(x)在x=a的函數值。
②多項式f(x)除以x-a的餘式。
[例題1]求下列二小題：(1)求(x3+2x2-x-4)3除以x+3的餘式。
(2)設f(x)=1250x6-2790x5-3125x4+707x3+100x2+45x-62，則f(3)=？Ans：(1)-1000 (2)217[例題2]二次式ax2+bx-4以x+1除之，得餘式3，以x-1除之，得餘式1，若以x-2除之，所得的餘式為。
Ans：18(練習1)試求115-4⋅114-72⋅113-56⋅112+15⋅11+7之值為。
Ans：51(練習2)設二多項式f(x),g(x)以2x2-3x-2除之，餘式分別為3x+2,-4x+7，則f(x)+g(x)以2x+1除之，其餘式為何？Ans：19 2(練習3)f(x)=2x4+3x3+5x2-6，求2x-1除f(x-3)的餘式。
Ans：113 2Hint：可令g(x)=f(x-3)，再利用餘式定理。
[例題3]試求下列各小題：(1)求多項式f(x)=x7-50x5+8x4-5x3-19x2+41x+6除以(x-1)(x-7)之餘式。
(2)設多項式f(x)不低於2次，以x-1除之餘2，以x+2除之餘-1，則以(x-1)(x+2)除f(x)的餘式為何？(3)設多項式f(x)不低於3次，以x-1除之餘3，以x+1除之餘1，以x-2除之餘-2，則求以(x-1)(x+1)(x-2)除f(x)的餘式。