平口单峰之我见

平口单峰之我见

--北京张立祥

武汉四调一出，平口单峰再现江湖，到底什么是平口单峰呢，好多老师觉得不太理解，遇到有人问题也只是甩下“平口单峰”，好像就已经解决了一样，听得问题人一脸蒙蔽，觉得自己见识太浅，不敢再问。由于这种情况的增多，小编决定把自己理解的平口单峰分享给大家（特别感谢杨岸杰老师给出的不断指导）

首先，这个名词是由重庆南开野猪（吴剑）老师提出，后被群内推广。

首先看一个题

例1、已知函数b ax x x f --=2)(,当]2,2[-∈x 时设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为_______

这里的(,)M a b 我们可以理解为函数]2,2[,2-∈=x x y 和直线b ax y +=的铅锤距离的最

大值，由于b a ,没有限制，所以我们可以规定任意直线.

比如我们先假设直线有斜率，此时M 应该为图中所标长度1d 还是2d 呢？应该是2d ，因为这两个函数是同一个x ，所以要求横坐标相等的时候纵坐标的差最大，此时M=5;

那么我们再来看下图，此时M 等于多少呢？应该是图中的1d 长度，具体等于多少需要计算.有人可能有疑问，在2d 的右侧有没有可能有一条直线比1d 还长呢？其实是有可能的，这时候的计算方法应该是用直线的解析式减去抛物线的解析式再求解，但是M 会大于2.

我们再来几个图来感受一下

也就是说，在斜率存在情况下，M 的值总会比2大，读者可自行再多画几个体会一下.

此时我们再来体会一下当斜率为0的情况下，M 的变化过程。

此时我们发现M 有最小值可以为2，由于b a ,没有限定，所以我们可以令2,0==b a ，此时(,)M a b 的最小值为2.

也就是对于两端点相等的单峰曲线，铅锤距离最大值的最小值应该在两端点连线和最低点平行的直线的中间产生.（我并没有给出证明，读者可自行百度野猪平口单峰进行参考）

到此，我们就可以试着理解平口单峰了，若)(x f 为],[n m 上的连续单峰函数，且0),()(x n f m f =为极值点，则当b k ,变化时，b kx x f x g --=)()(的最大值的最小值为2)

()(0x f n f -（也就是2

1（最大-最小））。当且仅当2)()(,00x f n f b k +==时取得.

现在我们可以来几个题练习一下

例 2.已知函数b ax x x x f --+=1)(,当1[,2]2

x ∈时设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为_______

解析：(,)M a b 可看作]2,2

1[,1∈+=x x x y ，和b ax y +=的铅锤距离的最大值，而这个最大值是不断变化的，在变化中，我们需要求出它的最小值.

此时我们发现最小值应该是两条直线铅锤距离的一半，即,41=

M 在图中两直线的中间直线产生，此时4

925.22,0=+=

=b a .

例3.设函数()||,,f x x ax b a b R =--∈，若,a b R ∀∈，总0[0,4]x ∃∈,使得m x f ≥)(0成立，则实数m 的取值范围为________,

解析：存在,x 使得m x f ≥)(0，即)(x f m ≤的最大值，而)(x f 的最大值又是不短变化的，在变化过程中有最小值，我们要求的就是这个最小值.

此时我们发现]4,0[,∈=

x x y 不是平口单峰函数，那怎么办，没关系，我们可以构造一个平口单峰函数.

令21)4()0(,)(-=⇒=+=

λλg g x x x g 且，此时)21(21)(b ax x x x x f --+-=，可看作]4,0[,21∈-x x x 和直线b x a +-)2

1(的铅锤距离最大值的最小值问题了。

此时我们发现最小值应该是两条直线铅锤距离的一半，即,41=

M 在图中两直线的中间直线产生，此时4

1,21==

b a .

例 4.设函数2

()||f x x ax b =++,若对任意的实数a 和实数b ,总存在0[0,4]x ∈使得m x f ≥)(0成立，则实数m 的取值范围是_______

解析：还是求最大值的最小值问题，分成一条曲线和一条直线，发现2x 在0[0,4]x ∈不是平口单峰，故构造平口单峰。

令4)4()0(,)(2-=⇒=+=λλg g x x x g 且，此时)4(4)(2

b ax x x x x f +++-=，可看成x x y 42-=和b ax x y ---=4铅锤距离最大值的最小值问题.

也就是只需求x x y 42-=在]4,0[上的最大值和最小值，所以22

)4(0=--=M ，并且此时4,224-==⇒-=---a b b ax ，所以2≤m 。

例5、已知函数2()||f x x ax b =++在区间[0,]x c ∈内的最大值为,(,,0M a b R c ∈>为常数)，且存在实数,a b 使得M 的最小值为2，则________a b c ++=

解析：2x 在[0,]x c ∈不是平口单峰，故构造函数c c g g x x x g -⇒=+=)()0(,)(2λ，故此

时)()(2

b ax cx cx x x f +++-=，可看作cx x y -=2与直线b ax cx y ---=的铅锤距离最大值的最小值问题，此时cx x y -=2

的最大值为0，因为M 的最小值为2，所以最小值为4-，b ax cx y ---=为中间直线,2-=y 此时,2,0-==+b c a 所以2-=++c b a .