线性代数课件第5章相似矩阵

的充分必要条件是
与有对A 角个矩线n阵性相无似关（的即特A征能向对量角．化）
推论 （ A 能对角化的充分条件）如果 n 阶方阵的 n 个特征值互不相等，则 A 与对角矩阵相似．
注意 （1）推论的逆命题未必成立．
（2）当 A 有重特征值时，就不一定有线性无关的 特征向量，从而 A 不一定能对角化．
（3）可以证明，对应于A 的每一个k 若正好有 k i 个线性无关的特征向量,即
是对应于 i (i1,2,L,m) 的特征向量 ,则向量组 ． x1,x2,L ,xm 线性无关．
即对应于互不相同特征值的特征向量线性无关．
2020/4/25
12
5.2 相似矩阵
5.2.1 相似矩阵的概念
定义2 设 A , B 都是 n 阶方阵，若有可逆矩阵 P ,使
P1APB,则称 B 是 A 的相似矩阵，或称方阵
2020/4/25
1
5.1 方阵的特征值与特征向量
5.1.1 方阵的特征值与特征向量
定义1 设 A (ai j ) 是一个 n 阶方阵,如果存在数 及
x1
n
维非零列向量 x
x
2
M
使得 Axx,那么,这样的数
x
n
x 称为方阵 A 的特征值，非零列向量 称为方阵 A
的对应于(或属于) 特征值的特征向量．
2020/4/25
24
5.3.4正交化方法
找到与线性无关向量组等价的单位正交向量组
的方法如下：
设 1,2,L,m为一线性无关向量组
（1）正交化： 取 1 1,
2
2
2 , 1 1, 1
1,
3
3
3, 1 1, 1
1
3 , 2 2,2
2
依次类推，一般的，有
jj 1 j, ,1 1 1 2 j, ,2 2 2 L j j1 ,,j j1 1 j 1 (j 1 ,2 ,L ,m )
5
对于特征值 2 3 , 解方程 (A3E)x0,由
A3E 1 1
1 11 0
1 0
得同解方程组 一基础解系为
x1 x2
x2 x2
通解为
2
1
1
x1 x2
c2
1
1
(c2 R)
所以对应于 1 1 的全部特征向量为
c22(c2 0)
2020/4/25
6
1 1 0
例3
12
所以 A 的特征值为 1 1,2 3
对于特征值 1 1, 解方程 (AE)x0,由
AE11
111 0
1 0
得同解方程组
x1 x2
x2 x2
通．解． 为
x1
x2
c1
1 1
(c1 R)
一基础解系为 1
1
1
所以对应于 1
1 的全部特征向量为
c11(c1 0)
2020/4/25
1,2,L,m为单位正交向量组．记作 e1,e2,L ,em
2020/4/25
23
正交向量组有下列性质：
性质1 若 1,2,L,m 是正交向量组,则 1,2,L,m
线性无关.
性质2 设 e1,e2,L ,em为标准正交向量组， 为同维数
的任一向量，若存在数 k1,k2,L ,km,使
k1 e 1k2 e2 Lkm em ,则 k i ,e i,(i 1 ,2 ,L ,m )
9
性质3 设 是方阵 A 的一个特征值，x 为对应的特征
向量, n 是一个正整数, 则 n 是 A n 的一个特征值，
x 为对应特征向量;
性质4 设 是方阵 A 的一个特征值，x 为对应的特征
向量, 若 (A ) a 0 E a 1 A L a nA n
则()a 0a 1 La nn是 ( A ) 的一个特征值，
当 , 0 时，称向量 与 正交．
显然，零向量与任何向量都正交．
2020/4/25
22
5.3.3正交向量组 定义5 一组两两正交的非零向量组，称为正交向量组．
设 1,2,L,是m正交向量组，则
i,j 0 i 2
ij ij
(i,j1,2,L,m )
若1,2,L,m两两正交且都为单位向量，则称
（ k 重特征值算作 k 个特征值）则：
( 1 )1 2 L n a 1 1 a 2 2 L a n n ,
1,2,L ,n
(2)12Ln A;
性质2 设 是可逆方阵A 的一个特征值，x 为对应的特征
向量,
且
0
则
1
是 A 1 的一个特征值，x 为对应
特征向量;
2020/4/25
x 为对应特征向量;
2020/4/25
10
例5 设3阶矩阵 A 的特征值为 1, 1, 2 ,求 A* 3A2E ．
解 因为 A 的特征值都不为零，知 A 可逆，故 A* A A1.而 A1 231( 1 )2 2
所以 A * 3 A 2 E 2 A 1 3 A 2 E
把上式记作 ( A ) ，则 ()232
A 与 B 相似，记作 A ; B.
如 A 5 34 2 ,B 0 27 0 ,P 5 41 1 ，有
P1APB，从而 A ; B
．
．
即
3 4 2 0
5
2 ;
0．
7
2020/4/25
13
5.2.2相似矩阵的性质
性质1 A ; A（; 因为 AE1AE)
性质2 若 A ; B , 则 B ; A;
k 为实数）：
性质1 ,, 性质2 k , k, ,k
性质3 , , ,
性质4 , 2020/4/25 00,当 0,,0
20
5.3.2向量的长度
a1
n 定义4 设有
维向量
a2
M
an
令 ,a 1 2 a 2 2 L a n 2
称为 n 维向量 的长当 度（或范数）．
0 0 0 1 ．2 1
x1 2 x2 x3
BE2 4 20 2 4 2 0
0 0
0 0
同解方程组为
x
2
x 3
x2 x3
x1 2 1
2 1
通解为
x2
c1
1
c2
0
x3 0 1
,一基础解系为
p1
1
,
p2
0
0
1
2020/4/25
18
对 3 ，解方程 (B3E)x0 ,由于
2 B3E2
2
0 2 4
0 1 20 4 0
0 1 0
0
1 同解方程组为
0
x1 x2 x3
0 x3 x3
通解为
x1 x2
c3
0 1
x 3 1
一基础解系为
0
p3
1
1
B 有三个线性无关的特征向量，所以 B 可以对角化．
2 1 0
1 0 0
令 P p1, p2, p3 1
故 ( A ) 的特征值为：
( 1 ) 1 ,( 1 ) 3 ,( 2 ) 3
于是
A *3A 2E 1( 3 )39
2020/4/25
11
5.1.3特征向量的性质
性质1 设 是方阵 A 的一个特征值，x 为对应的特征 向量,若又有数 , Ax x，则 ;
性质2 设 1,2,L ,m是方阵 A 的互不相同的特征值，x i
性质3 若A; B,B; C,则 A ; C ;
性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；
性质5 设 P1AP B, 是 A 与 B 的某个特征值，若 x 是
A 的对应于 的特征向量，则 P 1 x 是 B 的对应于
的特征向量．
2020/4/25
14
定理1 n 阶方阵 A
=1时，称 为单位向量．
向量的长度具有下列性质： 性质1 非负性：当 0 时, 0 ; 00
性质2 齐次性： k k ,(k为实数)
性2质020/43/25三角不等式：
21
当
0,
1 ,记 e
,称非零向量单位化.
n 当 0,0时， arccos ,称为 维向量
与 的夹角．
k(1km) 1,2,L,k与1,2,L,k等价
2020/4/25
26
1
例13 已知
2020/4/25
2
x 是方阵 A 的特征值, 是对应的特征向量
Axx (AE)x0
(此为 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组)
是方阵 A 的特征值 AE 0
a11 a12 L
a1n
a21 a22 L a2n 0 (右式称为A 的特征多项式,记
MM
M
为 f ( ), f () 0称为特征方程)
an1
an2 L ann
x 是对应于 的特征向量 x 是齐次线性方程组
(AE)x0的非零解
2020/4/25
3
求方阵的特征值与特征向量的步骤
• 计算 A 的特征多项式 f() AE
• 求出特征方程的所有根（重根按重数计 算）：1,2,L ,n
• 对每个特征值 i ,求出相应的齐次线性方
程组 (AiE)x0 的一个基础解系
x1 x2
0 x2
通解为
x1 x2
c2
0 1
一基础解系为
0
p2
1
令
Pp1, p211
0 1
则
P1AP
1 0
0 3
2020/4/25
17
（2）B 的特征多项式为
1 0 0 g()BE2 5 2 (1)2(3)
2 4 1
因此, B 的特征值为1，1，3．
对 1，解方程 (BE)x0,由于
0 1， 0
1
2 得同解方程组
0
x1 x2
x 3
x3 2 x3 x3
故得通解
x2
c1
2
(c1 R) 所以对应于特征值 1 2 1
x3 1
的2全020/4部/25 特征向量为 c11c112 2T(c10)
7
对于特征值
，解方程 (A2E)x由0 .
3 1 0 1 0 0 A2E4 1 00 1 0
求矩阵A
4
3
0
的特征值与特征向量．
1 0 2
解 A E 1 1 4 3 1 02 0 0(2 ) 1 4 3 1(2 )(1 )2
所以 A 有2重特征值 1 2 1 ，有单特征值 3 2
对于特征值 1 2 1，解方程 (AE)x0由
2 1 0 1
AE4 2 00
1
0
x1
1
10
A 的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以 A 可以对角化．
2020/4/25
16
对 1，解方程 (AE)x0,由于
AE02
0210
1 0
同解方程组为
x1 x2
x2 x2
通解为
x1 x2
c1
1
1
一基础解系为
1
p1
1
对 3 ，解方程 (A3E)x0 ,由于
A3E22 0010 00．同解方程组为
重特征值
i
i
R(AiE)nki
则 A 必有 n 个线性无关的特征向量，从而一定可以
对角化．
2020/4/25
15
例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以 对角化,求可逆矩阵使之对角化．
1 0 0
1 (1)A2
03,(2)B22
5 4
21.
解 （1）A 的特征多项式为
f()A E1 23 0(1)(3)
可以证明, 1,2,L,m两两正交,且 1,2,L,m与1,2,L,m等价
2020/4/25
25
（2）规范化：
令
ej
j j
(j 1,2,L ,m)
则 e1,e2,L ,e为m 单位正交向量组，且 e1,e2,L ,em
与1,2,L,m等价 上述从线性无关向量组导出等价正交向量组的方 法称为施密特（Schimidt）正交化过程．它不仅满足 1,2,L,m与1,2,L,m等价 ，还满足对任何实数
1,2,L,nr (设 R(AiE)r )
则 c 1 1 c 22 L c n rn r ( c 1 ,c 2 ,L ,c n r不全为零)
为对应于 i 的全部特征向量.
2020/4/25
4
例1 求矩阵
A
2 1
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的特征值与特征向量
解
2 A E
1 ( 2 ) 2 1 2 4 3 ( 1 ) ( 3 )
第5章 相似矩阵
本章主要介绍方阵的特征值与特征向量、相
似矩阵、向量的内积和正交化方法、对称矩阵的
相似矩阵。通过本章的学习，读者应该掌握以下
内容：
方阵的特征值与特征向量的定义及计算
相似矩阵的定义与性质
方阵的相似对角化
向量的内积、长度
正交和正交向量组与正交矩阵的概念
施密特正交化方法
用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的方法
1 0 0 0 0 0
得同解方程组
x1 x2
0 0
x 3 x 3
故得通解
x1 0
x2
c2
0
x3 1
对应于特征值 3 2 的全部特征向量为
0
c2 2
0
(
c
2
0)
1
2020/4/25
(c2 R)
8
5.1.2 特征值的性质
n 性质1 若 阶方阵 A (ai j ) 的全部特征值为
0
0 1
1 1
则
P1BP
0
0
1 0
0
3
2020/4/25
19
5.3 向量的内积、正交化方法
n 5.3.1向量的内积
定义3 设有 维向量
a1
a
2
,
M
b1
b
2
M
,令
an
bn
, a 1 b 1 a 2 b 2 L a n b n,称其为 与
的内积．
向量的内积具有下列性质（其中 都是列向量，