用拉普拉斯变换方法解微分方程

拉普拉斯变换就是解常系数线性微分方程中经常采用的一种较简便的方法、其基本思想就是,先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程,求出代数方程的解,再通过逆拉普拉斯变换,得到所求数值问题的解、

一拉普拉斯变换的概念

定义设函数f(t)的定义域为[0,+∞),若广义积分∫0+∞f(t)e-pt dt对于p在某一范围内的值收敛,则此积分就确定了一个参数为p的函数,记作F(p),即F(p)=∫0+∞f(t)e-pt dt函数F(p)称为f(t)的拉普拉斯变换(或称为f(t)的象函数),表示为F(p)=L[f(t)]、

若F(p)就是f(t)的拉氏变换,则称f(t)为F(p)的拉氏逆变换(或F(p)的象原函数),记作L-1[F(p)]、

例1 求指数函数f(t)=e at(t≥0,a就是常数)的拉氏变换、

解根据定义,有L[e at]=∫0+∞e at e-pt dt=∫0+∞e-(p-a)t dt

这个积分在p＞a时收敛,所以有

L[e at]=∫0+∞e-(p-a)t dt=1/(p-a) (p＞a) (1)

例2 求一次函数f(t)=at(t≥0,a就是常数)的拉氏变换、

解L[at]=∫0+∞ate-pt dt=-a/p∫0+∞td(e-pt)

=-[at/p e-pt]0+∞+a/p∫0+∞e-pt dt

根据罗必达法则,有

lim t0+∞(-at/p e-pt)=-lim t0+∞at/pe pt=-lim t0+∞a/p2 e pt

上述极限当p＞0时收敛于0,所以有lim t0+∞(-at/pe-pt)=0

因此L[at]=a/p∫0+∞e-pt dt

=-[a/p 2e -pt ]0+∞=a/p 2(p ＞0) (2)

例3 求正弦函数f(t)=sinωt(t≥0)的拉氏变换、

解 L[sinωt]=∫0+∞sinωte -pt dt

=[-1/(p 2+ω2) e -pt (psinωt+ωcosωt]0+∞

=ω/(p 2+ω2) (p ＞0) (3)

用同样的方法可求得

L[cosωt]=p/(p 2+ω2) (p ＞0) (4)

二 拉普拉斯变换的基本性质

三 拉普拉斯变换的逆变换

四 拉普拉斯变换的应用

2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程

拉普拉斯变换方法就是解线性微分方程的一种简便方法,利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程,在利用现成的拉普拉斯变换表(参见附录一的附表1),即可方便地查得相应的微分方程解。这样就使方程求解问题大为简化。

拉普拉斯变换法的另一个优点就是在求解微分方程时,可同时获得的瞬态分量与稳态分量两部分。

有关拉普拉斯变换(简称拉氏变换)的公式见附录一。

应用拉氏变换法得到的解就是线性微分方程的全解。用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值,这一过程比较麻烦。而应用拉氏变换就可省去这一步。因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。而且,如果所有初始条件都为零,那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便,只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的dt

d ,2s 代替

22

dt

d ,…就可得到。 应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下:

(1)对线性微分方程中每一项进行拉氏变换,使微分方程变为复变量s 的代数方程(称为变换方程)

(2)求解变换方程,得出系统输出变量的象函数表达式。

(3)将输出的象函数表达式展开成部分分式(部分分式展开法参见附录二)。

(4)对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表),即得微分方程的全解。

举例说明

【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示,在开关K 闭合之前,电容C 上有初始电压)0(c u 。试求将开关瞬时闭合后,电容的端电压c u (网络输出)。

解 开关K 瞬时闭合,相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。故网络微分方程为 ⎪⎩

⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ,得网络微分方程为

)(t u u dt du RC

r c c =+ (2-44)

对上式进行拉氏变换,得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式s

u s U r 0)(=代入上式,并整理得电容端电压的拉氏变换式 )0()

1()1()(0c c u RCs RC RCs s u s U +++= 可见等式右边由两部分组成,一部分由输入所决定,另一部分由初始值决定。

将输出的象函数)(s U c 展成部分分式:

)0(1

11)(00c c u RCs RC u RCs RC u s s U +++-= 或 )0(11111)(00c c u RC s u RC s u s s U +++-= (2-45)

等式两边进行拉氏反变换,得

t RC c t RC c e u e u u t u 1100)0()(--+-= (2-46)

此式表示了RC 网络在开关闭合后输出电压)(t u c 的变化过程。

比较方程(2-45)与(2-46)可见,方程右端第一项取决于外加的输入作用0u ·1)(t ,表示了网络输出响应)(t u c 的稳态分量,也称强迫解;第二项表示)(t u c 的瞬态分量,该分量随时间变化的规律取决于系统结构参量R 、C 所决定的特征方程式(即01=+RCs )的根RC

1-。显然,由于其特征根为负实数,则瞬态分量将随着时间的增长而衰减至零。第三项为与初始值有关的瞬态分量,其随时间变化的规律同样取决于特征根,当初始值0)0(=c u 时,则第三项为零,于就是就有

t RC c e u u t u 100)(--= (2-47)

RC 网络的阶跃响应)(t u c 及其各组成部分的曲线如图2-25所示。