8点的合成运动
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O′
r r r rM = rO′ + r '
r r r r r r drM r & & '+ y′r '+ z′k '+ x′i '+ y′r '+ z′k ' & & & &j & va = = rO′ + x′i j dt r r
ve
vr
得
r r r va = ve + vr
点的速度合成定理：
r 2.绝对运动：直线运动（ v1 ） r 牵连运动：平移（ v2 ）
相对运动：未知
例8-6 已知： v1 = 4m s , v2 = 3m s。 求：vr。 解：1. 动点：矿砂M 动系：传送带B r 2. 绝对运动：直线运动（ v1 ） r 牵连运动：平移（ v2 ）
r vr ? ?
相对运动：未知 r r va = ve + 3.
r r r drO′ dk ' r r + = ωe ×(rO′ + k ') dt dt
r drO′ r r r vO′ = = ωe × rO′ r dt
大小 ? 方向 ?
2 e
Rω 2 Rω1 √ √
2 r 2 1 2 2
va = v + v = R ω + ω
ve ω2 β = arctan = arctan vr ω1
r r 动系绕z轴转动 动系绕 轴转动， 为 顶点) 先分析 k ' 对时间的导数: (动系绕 轴转动，A为 k '顶点 r r drA r r (7-20) vA = = ωe × rA dt r r r rA = r ′ + k ' O
O
x
vt 代入 ψ = r vt 得 x' = r1− cos r vt y' = r sin r
例8-1
已知：r，相对速度v，φ=ωt，φ|t=0=0 求：点M的绝对运动方程 解: 相对运动方程
y M ω
ψ O1 φ
vt x' = r1− cos r vt y' = r sin r 绝对运动方程
重点： 重点：
点的复合运动的基本概念。 1 点的复合运动的基本概念。 2 明确一个动点、两个坐标系和三种运动。 明确一个动点、两个坐标系和三种运动。 点的速度合成定理、加速度合成定理及其应用。 3 点的速度合成定理、加速度合成定理及其应用。
难点： 难点：
1 正确判定动点的相对运动，能正确地在动系上观察动点 正确判定动点的相对运动， 的运动。 的运动。 2 牵连点的概念，以及牵连速度、牵连加速度和 牵连点的概念，以及牵连速度、 哥氏加速度的判断与计算。 哥氏加速度的判断与计算。 动点、动系的选择。 3 动点、动系的选择。
r r va = ve 方向 √
√
+
√
r vr ?
大小 ? ω ⋅ OA
e va = ve cot θ = ω ⋅ OA ⋅ = ωe OA
例8-6 矿砂从传送带A落到传送带B上，如图所示。 站在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4m/s ，方向与 铅直线成300角。已知传送带B水平传动速度v2=3m/s 求：矿砂相对于传送带B的速度。 解：1. 动点：矿砂M 动系：传送带B
= xO' + 2t cosϕ − 6t 2 sin ϕ 5t + 2t cos 4t − 6t sin 4t
2 2
3t + 2t sin 4t + 6t 2 cos 4t = yO' + 2t sin ϕ + 6t 2 cosϕ
比较左右，得
xO' = 5t 2 , yO' = 3t , ϕ = 4t
基本要求： 基本要求：
掌握运动合成与分解的基本方法。 1 掌握运动合成与分解的基本方法。 2 准确理解概念，如三种运动、三种速度、三种加速度和科氏 准确理解概念，如三种运动、三种速度、 加速度等。尤其要注意牵连速度、 加速度等。尤其要注意牵连速度、牵连加速度与科氏加速度的概 念与计算。 念与计算。 明确动点、动系的选取原则，能在具体问题中恰当地选择动点、 3 明确动点、动系的选取原则，能在具体问题中恰当地选择动点、 动系与定系，并能正确地进行运动、速度和加速度分析。 动系与定系，并能正确地进行运动、速度和加速度分析。 熟练掌握点的速度合成定理、 4 熟练掌握点的速度合成定理、牵连运动为平移时的加速度合 成定理及其应用。 成定理及其应用。 5 掌握牵连运动为转动时的加速度合成定理以及科氏加速度的 概念与计算方法，并能解决简单实际问题。 概念与计算方法，并能解决简单实际问题。
M ' 为牵连点
r r r r r ' = x′i '+ y′j '+z′k ' r r rM = rM′ M ' 为牵连点
r %r ' r r r r d & & & vr = = x′i '+ y′j '+ z′k ' dt 导数上加“～”表示相对导数。
r drM′ r ve = dt r r r r & & '+ y′& '+ z′k ' & + x′i =r j
动系：工件 ( Ox′y′)
b x ' = OM cos ωt = b sin ωt cos ωt = sin 2ωt 2 b 2 y′ = −OM sin ωt = −bsin ωt = − (1− cos 2ωt)
相对运动轨迹
2
y' '
2
y x' ' O
M
b b2 2 x′ + y′ + = 2 4
车刀在工件圆端面上切出的痕迹是圆形 圆心C在y' 轴上 '
ωt x
C
§8-2 点的速度合成定理
相对速度、牵连速度和绝对速度之间的关系 速度合成定理的推导
定系：Ｏxyz，动系： Ox'y'z' ， 动点：Ｍ ：
r r r rM = rO′ + r '
r r r r r ' = x′i '+ y′j '+z′k ' r r rM = rM′
实例二：回转仪的运动分析
动点： 动点 Ｍ点 动系： 动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 ： 绝对运动：空间曲线运动
相对轨迹 (relative)
绝对轨迹 (absolute)
r 相对速度 vr
r 相对加速度 a r
r 绝对速度 v a
r 绝对加速度 a a
r 和牵连加速度 r (embroil) 牵连速度 v ae e
例8-2 已知： 绝对运动方程 x = 5t 2 + 2t cos 4t − 6t 2 sin 4t
y = 3t + 2t sin 4t + 6t cos 4t 相对运动方程 x' = 2t , y' = 6t 2
2
求：动系原点O' 运动方程、动轴转动方程 ' 解: 动系运动方程是牵连运动方程
x = xO′ + x′ cosϕ − y′ sinϕ 坐标变换关系为 y = yO′ + x′ sinϕ + y′ cosϕ
例8-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M沿 水平轴 x 作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系， 刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
y' y ' y' ' y x' ' x' ' x O
M
ω
O
M
ωt x
例8-3 已知： 绝对运动方程 x = bsin ωt 求: 相对运动轨迹 f ( x′, y′) = 0 解: 动点：M， 相对运动方程
x = x( t ) y = y ( t ) 相对运动运动方程
x′ = x′( t ) y′ = y′( t ) 由坐标变换关系有
x = xO′ + x′ cosϕ − y′sinϕ y = yO′ + x′sinϕ + y′ cosϕ
例8-1 点M相对于动系 Ox'y' 沿半径为r的圆周以速度v 作匀速圆周运动（圆心为O1 ） ，动系 Ox'y' 相对于定系 Oxy以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如图所示。初始时 Ox'y'与Oxy 重合，点M与O重合。 求：点M的绝对运动方程。
在动参考系上与动点相重合的那一点 （牵连点 牵连点）的速度和加速度称为动点的 牵连速度和牵连加速度。
练习
已知 ω，α，小球的相对速度u，OM=l 求：牵连速度和牵连加速度
y y' M O φ x
x'
绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系
动点：M点 动系： Ox'y' 绝对运动运动方程
两个坐标系
定参考系（定系） 动参考系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动 ： 相对运动：动点相对于动系的运动 点的运动
牵连运动：动系相对于定系的运动——刚体运动 ——刚体运动 要明确： 站在什么地方看物体的运动。(坐标系） 看什么物体的运动。（对象）
实例一：车刀的运动分析
动点： 动点：车刀刀尖 动系： 动系：工件 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动）
ve = va sin ϕ = ωr sin ϕ
ve r2ω = 2 2 ω1 = O A l +r 1
例8-5 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度 ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始 终与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
百度文库
例8-5 已知： ω , e , AC = R。 ： AB 。 求 v 解：1. 动点：AB杆上A 动系：凸轮 2. 绝对运动：直线运动（AB） 相对运动：圆周运动（半径R） 牵连运动：定轴运动（轴O） 3.
大小 v1 v2 方向 √ √
2 2 vr = va + ve − 2vave cos 60o = 3.6m s
ve β = arcsin( sin 60o ) = 46o12′ vr
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上； （2）分析三种运动，要有四个已知要素； （3）速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
第八章 点的合成运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的 几个运动的组合而成——合成运动 合成运动
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
车轮滚动
y y' '
轮边一点的运动
y' '
O' ' O
x'
O' '
x' x
对与地面固定的参考系而言，其轨迹为旋轮线。 如把参考系固定在轮子上，则点的轨迹是一个圆。 该点的运动可以看成为在动参考系上的圆周运动 和动参考系对oxy的平移合成结果。 xy的平移合成结果。
y' y' y
r v
M ω M O r O1 x' x' O
ψ O1 φ
x
例8-1
已知：r，相对速度v，φ=ωt，φ|t=0=0 求：点M的绝对运动方程
y M ω
ψ O1 φ
解: 动点：M点 动系： Ox'y' 相对运动方程
r v
x′ = OO1 −O M cosψ 1 y′ = O M sin ψ 1
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的 牵连速度与相对速度的矢量和。
速度平行四边形
r vr
r va r ve
例8-4 刨床的急回机构如图所示。 曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角 速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并 带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间 距离OO1=l。
例8-7 圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如 图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
例8-7 已知： R , ω1 , ω2 , OM 水平。求：vM。 解：1. 动点：M点 动系：框架 BACD 2. 绝对运动：未知 相对运动：圆周运动（圆心O点） 牵连运动：定轴转动（AB轴) r r r va = ve + vr 3.
求：曲柄在水平位置时 摇杆的角速度 ω
1
例8-4 已知: ω, OA = r, OO = l, OA水平。求: ω1 = ?。 1 解：1.动点：滑块 A 动系：摇杆O1B 2.运动分析： 绝对运动——绕O点的圆周运动； 相对运动——沿O1B的直线运动； 牵连运动——绕O1轴定轴转动。 3. √ √ √
r v
O
x
vt vt x = x′ cosϕ − y′ sin ϕ = r1− cos r cosωt − r sin r sin ωt y = x′sin ϕ + y′ cosϕ = r1− cos vt sin ωt + r sin vt cosωt r r
r r r rM = rO′ + r '
r r r r r r drM r & & '+ y′r '+ z′k '+ x′i '+ y′r '+ z′k ' & & & &j & va = = rO′ + x′i j dt r r
ve
vr
得
r r r va = ve + vr
点的速度合成定理：
r 2.绝对运动：直线运动（ v1 ） r 牵连运动：平移（ v2 ）
相对运动：未知
例8-6 已知： v1 = 4m s , v2 = 3m s。 求：vr。 解：1. 动点：矿砂M 动系：传送带B r 2. 绝对运动：直线运动（ v1 ） r 牵连运动：平移（ v2 ）
r vr ? ?
相对运动：未知 r r va = ve + 3.
r r r drO′ dk ' r r + = ωe ×(rO′ + k ') dt dt
r drO′ r r r vO′ = = ωe × rO′ r dt
大小 ? 方向 ?
2 e
Rω 2 Rω1 √ √
2 r 2 1 2 2
va = v + v = R ω + ω
ve ω2 β = arctan = arctan vr ω1
r r 动系绕z轴转动 动系绕 轴转动， 为 顶点) 先分析 k ' 对时间的导数: (动系绕 轴转动，A为 k '顶点 r r drA r r (7-20) vA = = ωe × rA dt r r r rA = r ′ + k ' O
O
x
vt 代入 ψ = r vt 得 x' = r1− cos r vt y' = r sin r
例8-1
已知：r，相对速度v，φ=ωt，φ|t=0=0 求：点M的绝对运动方程 解: 相对运动方程
y M ω
ψ O1 φ
vt x' = r1− cos r vt y' = r sin r 绝对运动方程
重点： 重点：
点的复合运动的基本概念。 1 点的复合运动的基本概念。 2 明确一个动点、两个坐标系和三种运动。 明确一个动点、两个坐标系和三种运动。 点的速度合成定理、加速度合成定理及其应用。 3 点的速度合成定理、加速度合成定理及其应用。
难点： 难点：
1 正确判定动点的相对运动，能正确地在动系上观察动点 正确判定动点的相对运动， 的运动。 的运动。 2 牵连点的概念，以及牵连速度、牵连加速度和 牵连点的概念，以及牵连速度、 哥氏加速度的判断与计算。 哥氏加速度的判断与计算。 动点、动系的选择。 3 动点、动系的选择。
r r va = ve 方向 √
√
+
√
r vr ?
大小 ? ω ⋅ OA
e va = ve cot θ = ω ⋅ OA ⋅ = ωe OA
例8-6 矿砂从传送带A落到传送带B上，如图所示。 站在地面上观察矿砂下落的速度为v1=4m/s ，方向与 铅直线成300角。已知传送带B水平传动速度v2=3m/s 求：矿砂相对于传送带B的速度。 解：1. 动点：矿砂M 动系：传送带B
= xO' + 2t cosϕ − 6t 2 sin ϕ 5t + 2t cos 4t − 6t sin 4t
2 2
3t + 2t sin 4t + 6t 2 cos 4t = yO' + 2t sin ϕ + 6t 2 cosϕ
比较左右，得
xO' = 5t 2 , yO' = 3t , ϕ = 4t
基本要求： 基本要求：
掌握运动合成与分解的基本方法。 1 掌握运动合成与分解的基本方法。 2 准确理解概念，如三种运动、三种速度、三种加速度和科氏 准确理解概念，如三种运动、三种速度、 加速度等。尤其要注意牵连速度、 加速度等。尤其要注意牵连速度、牵连加速度与科氏加速度的概 念与计算。 念与计算。 明确动点、动系的选取原则，能在具体问题中恰当地选择动点、 3 明确动点、动系的选取原则，能在具体问题中恰当地选择动点、 动系与定系，并能正确地进行运动、速度和加速度分析。 动系与定系，并能正确地进行运动、速度和加速度分析。 熟练掌握点的速度合成定理、 4 熟练掌握点的速度合成定理、牵连运动为平移时的加速度合 成定理及其应用。 成定理及其应用。 5 掌握牵连运动为转动时的加速度合成定理以及科氏加速度的 概念与计算方法，并能解决简单实际问题。 概念与计算方法，并能解决简单实际问题。
M ' 为牵连点
r r r r r ' = x′i '+ y′j '+z′k ' r r rM = rM′ M ' 为牵连点
r %r ' r r r r d & & & vr = = x′i '+ y′j '+ z′k ' dt 导数上加“～”表示相对导数。
r drM′ r ve = dt r r r r & & '+ y′& '+ z′k ' & + x′i =r j
动系：工件 ( Ox′y′)
b x ' = OM cos ωt = b sin ωt cos ωt = sin 2ωt 2 b 2 y′ = −OM sin ωt = −bsin ωt = − (1− cos 2ωt)
相对运动轨迹
2
y' '
2
y x' ' O
M
b b2 2 x′ + y′ + = 2 4
车刀在工件圆端面上切出的痕迹是圆形 圆心C在y' 轴上 '
ωt x
C
§8-2 点的速度合成定理
相对速度、牵连速度和绝对速度之间的关系 速度合成定理的推导
定系：Ｏxyz，动系： Ox'y'z' ， 动点：Ｍ ：
r r r rM = rO′ + r '
r r r r r ' = x′i '+ y′j '+z′k ' r r rM = rM′
实例二：回转仪的运动分析
动点： 动点 Ｍ点 动系： 动系：框架
相对运动：圆周运动 牵连运动：定轴转动 ： 绝对运动：空间曲线运动
相对轨迹 (relative)
绝对轨迹 (absolute)
r 相对速度 vr
r 相对加速度 a r
r 绝对速度 v a
r 绝对加速度 a a
r 和牵连加速度 r (embroil) 牵连速度 v ae e
例8-2 已知： 绝对运动方程 x = 5t 2 + 2t cos 4t − 6t 2 sin 4t
y = 3t + 2t sin 4t + 6t cos 4t 相对运动方程 x' = 2t , y' = 6t 2
2
求：动系原点O' 运动方程、动轴转动方程 ' 解: 动系运动方程是牵连运动方程
x = xO′ + x′ cosϕ − y′ sinϕ 坐标变换关系为 y = yO′ + x′ sinϕ + y′ cosϕ
例8-3 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M沿 水平轴 x 作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系， 刀尖的运动方程为 x = bsin (ωt ) 。工件以等角速度 ω逆时针转向转动。 求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
y' y ' y' ' y x' ' x' ' x O
M
ω
O
M
ωt x
例8-3 已知： 绝对运动方程 x = bsin ωt 求: 相对运动轨迹 f ( x′, y′) = 0 解: 动点：M， 相对运动方程
x = x( t ) y = y ( t ) 相对运动运动方程
x′ = x′( t ) y′ = y′( t ) 由坐标变换关系有
x = xO′ + x′ cosϕ − y′sinϕ y = yO′ + x′sinϕ + y′ cosϕ
例8-1 点M相对于动系 Ox'y' 沿半径为r的圆周以速度v 作匀速圆周运动（圆心为O1 ） ，动系 Ox'y' 相对于定系 Oxy以匀角速度ω绕点O作定轴转动，如图所示。初始时 Ox'y'与Oxy 重合，点M与O重合。 求：点M的绝对运动方程。
在动参考系上与动点相重合的那一点 （牵连点 牵连点）的速度和加速度称为动点的 牵连速度和牵连加速度。
练习
已知 ω，α，小球的相对速度u，OM=l 求：牵连速度和牵连加速度
y y' M O φ x
x'
绝对运动、相对运动和牵连运动之间的关系
动点：M点 动系： Ox'y' 绝对运动运动方程
两个坐标系
定参考系（定系） 动参考系（动系）
三种运动
绝对运动：动点相对于定系的运动 ： 相对运动：动点相对于动系的运动 点的运动
牵连运动：动系相对于定系的运动——刚体运动 ——刚体运动 要明确： 站在什么地方看物体的运动。(坐标系） 看什么物体的运动。（对象）
实例一：车刀的运动分析
动点： 动点：车刀刀尖 动系： 动系：工件 绝对运动：直线运动 牵连运动：定轴转动 相对运动：曲线运动（螺旋运动）
ve = va sin ϕ = ωr sin ϕ
ve r2ω = 2 2 ω1 = O A l +r 1
例8-5 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度 ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始 终与凸轮接触，且OAB成一直线。 求：在图示位置时，杆AB的速度。
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例8-5 已知： ω , e , AC = R。 ： AB 。 求 v 解：1. 动点：AB杆上A 动系：凸轮 2. 绝对运动：直线运动（AB） 相对运动：圆周运动（半径R） 牵连运动：定轴运动（轴O） 3.
大小 v1 v2 方向 √ √
2 2 vr = va + ve − 2vave cos 60o = 3.6m s
ve β = arcsin( sin 60o ) = 46o12′ vr
解题步骤：
（1）选动点、动系， 注意动点和动系不能选在同一物体上； （2）分析三种运动，要有四个已知要素； （3）速度平行四边形，注意va是对角线； （4）求解。
第八章 点的合成运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的 几个运动的组合而成——合成运动 合成运动
§8-1 相对运动·牵连运动·绝对运动
车轮滚动
y y' '
轮边一点的运动
y' '
O' ' O
x'
O' '
x' x
对与地面固定的参考系而言，其轨迹为旋轮线。 如把参考系固定在轮子上，则点的轨迹是一个圆。 该点的运动可以看成为在动参考系上的圆周运动 和动参考系对oxy的平移合成结果。 xy的平移合成结果。
y' y' y
r v
M ω M O r O1 x' x' O
ψ O1 φ
x
例8-1
已知：r，相对速度v，φ=ωt，φ|t=0=0 求：点M的绝对运动方程
y M ω
ψ O1 φ
解: 动点：M点 动系： Ox'y' 相对运动方程
r v
x′ = OO1 −O M cosψ 1 y′ = O M sin ψ 1
动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的 牵连速度与相对速度的矢量和。
速度平行四边形
r vr
r va r ve
例8-4 刨床的急回机构如图所示。 曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角 速度ω绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并 带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间 距离OO1=l。
例8-7 圆盘半径为R，以角速度ω1绕水平轴CD转动， 支承CD的框架又以角速度ω2绕铅直的AB轴转动，如 图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。
求：当连线OM在水平位置时， 圆盘边缘上的点M的绝对速度。
例8-7 已知： R , ω1 , ω2 , OM 水平。求：vM。 解：1. 动点：M点 动系：框架 BACD 2. 绝对运动：未知 相对运动：圆周运动（圆心O点） 牵连运动：定轴转动（AB轴) r r r va = ve + vr 3.
求：曲柄在水平位置时 摇杆的角速度 ω
1
例8-4 已知: ω, OA = r, OO = l, OA水平。求: ω1 = ?。 1 解：1.动点：滑块 A 动系：摇杆O1B 2.运动分析： 绝对运动——绕O点的圆周运动； 相对运动——沿O1B的直线运动； 牵连运动——绕O1轴定轴转动。 3. √ √ √
r v
O
x
vt vt x = x′ cosϕ − y′ sin ϕ = r1− cos r cosωt − r sin r sin ωt y = x′sin ϕ + y′ cosϕ = r1− cos vt sin ωt + r sin vt cosωt r r