点的合成运动

a a l ( 方向 OA ),

( 方向 OA )
a a l
动系相对于定系的运动，称为牵 连运动（convected motion）。图中， 牵连运动为绕Oy ' 轴的定轴转动。
动系上每一瞬时与动点相重合 的那一点，称为瞬时重合点,又称 为牵连点。由于动点相对于动系是 运动的，因此，在不同的瞬时，牵 连点是动系上的不同点。
动系上牵连点相对定系的运动速 度和加速度，分别称为动点的牵连速 度（convected velocity）和牵连加速 度（convected acceleration），分别
z′ x′
y′
z
y
O x
t 瞬时
t+t 瞬时
三种运动轨迹
金属线在定系中运动，动系固结在金属线上。 动点（极小的金属环）P沿着金属线运动。 P1点－动系上与动点重合的点 。
z′ z x′ y O
绝对运动轨迹
P′
相对运动轨迹
y′ r
r ′ P1′
x
P，P1
r1
牵连运动轨迹
z′ x′ P， P1
用符号ve和ae表示。
分析3种运动时需要注意的几个问题
1. 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可能作直线 运动或曲线运动；而牵连运动则是指动系的运动，实际上也就是 与之相连的参考体－刚体的运动，牵连运动可能是平移、转动或 其它较复杂的运动；
2. 牵连速度（加速度）是指牵连点的（绝对）速度（加速度）， 而牵连运动是指动参考体－刚体的运动。这在概念上是不同的， 二者的联系是牵连点是动参考体上与动点的瞬时重合点；
n n



n
已知：凸轮半径 R , v o , a o 求： =60o时, 顶杆AB 的加速度。
例1
解：取杆上的A点为 动点，动系与凸轮固 连。
绝对速度va = ? , 方向AB ； 相对速度vr = ? , 方向CA; 牵连速度ve=v0 , 方向 → ；

由速度合成定理
va ve vr ,
牵连速度
va ve vr
说明：va—动点的绝对速度；
vr—动点的相对速度； ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向 六个
元素，已知任意四个元素，就能求出其他两个。
[例1] 圆盘凸轮机构 已知：OC＝e , R 3 e , （匀角速度） 图示瞬时, OCCA 且 O,A,B三点共线。 求：从动杆AB的速度。 解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘， 静系固结于基座。 绝对速度 va = ? 待求，方向//AB 相对速度 vr = ? 未知，方向CA 牵连速度 ve =OA=2e, 方向 OA
运动的合成与分解
张爱锋 编
第五章 运动的合成与分解
§5–1 点的合成运动的基本概念
§5–2 点的速度合成定理 §5–3 点的加速度合成定理 §5–4 刚体平面运动的基本概念 平面运动的分解 §5–5 平面图形上各点的速度
前面我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参考 体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着 的参考系上观察和研究物体的运动。例如，从行驶的汽车 上观看飞机的运动等，坐在行驶的火车内看下雨的雨点是 向后斜落的等。
a a l ( 方向 OA ),
vr ? ar ?

( 方向 OA )
a a l
n
2
( 沿 AO 指向 O )
相对运动：直线运动，
铅直方向
牵连运动：平动；
ve ? ae ? 水平方向 , 待求量 .
[例3] 曲柄滑杆机构 o 已知: OA＝l , = 45 时，, ; 求：小车的速度与加速度． 解： 动点：OA杆上 A点; 动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动， v a l
动点相对于动系(与工 件固结）的运动，称为动 点的相对运动（relative motion）。动点刀尖上P点 的相对运动是在工件圆柱 面上的螺旋线（相对轨迹） 运动。 动点相对于动系的运动 速度和加速度，分别称为 动点的相对速度（relative velocity）和相对加速度 （relative acceleration）， 分别用符号vr和ar表示。
B
ω0
O
30

C
解：
y' ε ω
60

1. 选择动点，动系与定系。 E x' 动点－ 滑块A 。
D
A
B
ω0
O
30

C
动系－Cx´y´，固连于杆BC。 定系－固连于机座。
2. 运动分析。 绝对运动－以O为圆心的圆周运动。 相对运动－沿杆BC直线运动。 牵连运动－平动。
3. 速度分析。 绝对速度va：va = ω0 r，垂直于OA向下。 ε ω
P′ y′ r r ′ P1′
r t
r =r ′ +r1
r1
t 0
lim
r t
lim
t 0
lim
r1 t
t 0
va ve vr
va vr ve
绝对速度 相对速度
此即为速度合成定理（theorem for composition of velocities）， 即动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。 由于没有对绝对运动和相对运动轨迹形状作任何限制，也没 有对牵连运动为何种刚体运动作限制，因此本定理对各种运动 都是适用的。
60

ε
D n ae
30

E
相对加速度ar：大小未知，沿BC杆，指
向未知，假设向右。 牵连加速度切向分量aet：与aBt相同，大
B
A ω0 O C
ar
ae

aa
小未知，垂直于DB，假设向下。
牵连加速度法向分量aen：aen = aBn = ω 2l =ωo 2r2 / l，方向沿直线DB，指向D。
根据加速度合成定理
) / sin 60
[注]加速度矢量方程的
投影是等式两端的投影， 与静平衡方程的投影关 系不同
整理得
a AB a a
3 8 v0 (a0 ) 3 3 R
例2
ε ω
60

图所示平面机构中，
D
A
E
曲 柄 OA=r ， 以 匀 角 速 度
ω0 转动，套筒A可沿BC
杆 滑 动 ， 已 知 BC=DE ， 且 BD=CE=l ， 求 ： 图 示 位置时，杆BD的角速度 和角加速度。
3. 分析这三种运动时，必须明确：以哪一物体作为参考系。
四．动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两 个坐标系都有运动的点。
五．动系的选择原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是 已知的，或者能直接看出的。
下面举例再说明以上各概念：
动点：AB杆上A点 动系：固结于凸轮Ｏ'上 静系：固结在地面上
解: 1、动点：滑块 A 动系：摇杆 O 1 B 2、运动分析： 绝对运动－绕O点的圆周运动；相对运动－沿 O1B的直线运动；牵连运动－绕O1轴定轴转动。 3、 √ √ √
ve va sin r sin
1
ve O1 A r
2
l r
2
2
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：
由速度合成定理 ，v v v a e r
作出速度平行四边形 如图示。
v a v e tg 30
0

2 3
3
e
v AB
2 3
3
e ( )
例2 刨床的急回机构如图所示。 曲柄OA的一端A与滑块用铰 链连接。当曲柄OA以匀角速 度ω 绕固定轴O转动时，滑块 在摇杆O1B上滑动，并带动杆 O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长 为OA=r，两轴间距离OO1=l。 求：曲柄在水平位置时摇杆的 角速度ω 1
二．动点：所研究的点（运动着的点）。 三．三种运动及三种速度与三种加速度。
动点相对于定系的运动，称 为 动 点 的 绝 对 运 动 （ absolute motion）。动点刀尖P点的绝对 运动为水平直线（绝对轨迹）运 动。 动点相对于定系的运动速度和 加速度，分别称为动点的绝对速 度（absolute velocity）和绝对加 速度（absolute acceleration）， 分别用符号va和aa表示。
绝对运动： 直线
相对运动： 曲线（圆弧）
牵连运动： 直线平动
绝对速度 ：v a
相对速度 ： v r
牵连速度 ：v e
三种加速度
a 绝对加速度： a
牵连加速度： e a
a 相对加wk.baidu.com度： r
[注] 要指明动点在哪个 物体上，动点和动 系不能在一个物体上。
§ 5-2 点的速度合成定理
刚体：金属线（用刚体上在定系中运动的曲线表示）
60

D A
E
牵连速度ve： ve= vB，垂直于BD向右下。
B
vr
vB v a
ω0
O
30

C
相对速度vr：大小未知，方向沿杆BC向左 应用速度合成定理
可得
ve
va ve vr
ve vr va o r
因而杆BD的角速度大小为

vB l ve l
O r
l
4. 加速度分析。 绝对加速度aa： aa = ωo r ，沿OA，指向O。 ω

n
n
4v0 3R
2
其中 ar
n

vr / R (
2
2 3
v0 ) / R
2
作加速度矢量图如图示，
将上式投影到法线上，得
n
a a sin a e cos a r
4v0 3R
2
n
2
a a ( a e cos a r ) / sin ( a 0 cos 60
选取动点，动系和静系。
三种运动的分析。 三种速度的分析。
根据速度合成定理 v a v e v r ， 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形，求出未知量。
恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。
一般情况，在选择动系时，要选择动点相对动系的相对运动轨迹易于直 观判断的。
§5-1
一．坐标系：
点的合成运动的基本概念
1.静坐标系（fixed reference system） ：把固结于地面上 的坐标系称为静坐标系,简称静系，以坐标系Oxyz表示。 2.动坐标系（moving reference system） ：把固结于相对 于地面运动物体上的坐标系，称为动坐标系，简称动系， 以坐标系 O'x'y'z'表示。 例如行驶的汽车。
§5-3 点的加速度合成定理
点的合成运动中，加速度之间的关系比较 复杂，这里研究牵连运动为平动时的加速度 合成定理。
aa ae ar
这就是牵连运动为平动时点的加速度合成定理：当牵连 运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的 牵连加速度与相对加速度的矢量和。
一般式可写为： a a a a a e a e a r a r
vr ve sin v0 sin 60
o
做出速度平行四边形,如图示。

2 3
v0
绝对加速度aa=?, 方向AB，待求； 相对加速度ar =? 方向CA，
a n v r2 / R r
方向沿CA指向C

牵连加速度 ae=a0 , 方向→
因牵连运动为平动，故有
aa ae a r ar
2
cos 30

3l
所以杆BD的角加速度


ae l

3o r (l r )
2
3l
2
[例3] 曲柄滑杆机构 = 45o 时，, ; 已知: OA＝l , 求：小车的速度与加速度． 解： 动点：OA杆上 A点; 动系：固结在滑杆上; 静系：固结在机架上。 绝对运动：圆周运动， v a l
由于运动的相对性，在不同的参考系中，对于同一 动点，其运动方程、速度和加速度是不相同的。许多 力学问题中，常常需要研究一点在不同参考系中的运 动量(速度和加速度)的相互关系。 这里我们将用定、动两种参考系，描述同一动点的 运动；分析两种结果之间的相互关系，建立点的速度 合成定理和加速度合成定理。
下面我们就将研究参考体与观察物体运动之间的联系。为了便于研究， 下面先来介绍有关的概念。
aa aa ae ae ar ar
n n



n
ε
ω
60

D

B
A
60
ae C
30
n
E
上式两端向 y 轴投影得
aa sin 30 ae cos 30 ae sin 30
n
O
30

ar
解得




y
ae

aa
ae

a
a
ae
n
sin 30



3o l r