第二章随机变量与随机过程

x2
x1

y2
y1
p( x, y)dxdy
两变量联合分布概率密度函数的性质
(1) (2)
p( x, y) 0




p( x, y)dxdy P(, ) 1

2.6 随机过程
事物的变化过程没有确定的变化形式，没有必 然的变化规律，不能用确定的函数加以描述， 但具有一定的统计规律性，该变化过程称为随 机过程。 随机过程的每一次实验结果称为这一过程的一 个现实，称为一个样本函数或子样函数。如果 进行n次实验，这n个可能的wenku.baidu.com果构成随机过程 的样本空间。
设x服从下列正态分布：
1 x 2 ( ) 1 2 p( x) e 2
其数学期望和方差分别为μ和σ2
正态分布随机变量的三个重要数据
P{ X } 0.6828 P{ 2 X 2 } 0.9544 P{ 3 X 3 } 0.9974
不同实验驾驶员座椅处的 加速度变化曲线
如任意确定时间t1, 每一条曲线在t1 处的函数值为 x (t1)，则 x(t1)是一个随机变量，它的样本点：
x(1) (t1 ), x(2) (t1 ), x( n) (t1 )
该随机变量为对应于给定时间 t1 的随机过程的截 口或状态。 一个随机过程是由无穷多个随机变量构成的随机变 量系。 故可以用描述随机变量系的办法描述随机过程。 象随机变量一样，引入描述随机过程的数字特征。
的函数值的平均，称这种平均为集平均（以区 别于时间平均）。 与随机变量的均值E[X]不同， E[X(t)]是时间的 函数。
x E[ X ] xp( x)dx


P{x1 X x2} p( x)dx
x1
x2
数学期望的性质：
1)
如果c 和d是两个常数, X 是一个随机变量，则
E[c] c, E[cX ] cE[ X ], E[cX d ] cE[ X ] d
2)
如果 X 和Y 是两个独立的随机变量，则
P( x) P{ X x}
分布函数的性质
分布函数的性质
1) 2) 3)
0 P( x) 1
P() 0, P() 1
If a b
then
P(a) P(b)
非降函数

2.2 连续随机变量的概率密度函数
设P(x)为随机变量X的分布函数，则X落在（x，
x＋⊿x）区间的概率为：
p( x) max
1 2
3) 拐点：曲线p(x)-x有两个拐点，位于
x
改变μ值，曲线p(x)-x沿ox轴平移，但形状不变。
σ 固定 μ改变时的正态分布
σ值越小，图形越尖，如下图所示。
μ固定 σ 改变时的正态分布
若μ=0,σ=1则称为标准正态分布，其概率密度
函数和分布函数分别为：
3σ规则的含义

2.5 两个随机变量的联合分布
2.5.1二维随机变量的联合分布函数
二个随机变量 X 与Y 的联合分布函数的定义为
P( x, y) P( X x, Y y)
即第一个随机变量 X 不大于 x 并且第二个随 机变量Y不大于y的概率。
图 联合分布函数取值示意图
联合分布函数的性质:

数学期望
举例：车间检验员每天随机抽取n个零件，
查出的废品数X为随机变量，若检查N天，出 现废品为0、1、2……n个的天数为u1， u2……. un;则N天出现废品的算术平均值为：
0 u 0 1 u1 2 u 2 ...n u n N
Ku
k 0
n
k
N
uk K N k 0
概率密度函数的性质
1) 2) 3)
p( x) 0
P{x1 X x2} p( x)dx
x1
x2



p( x)dx 1
4)
P( x) p( x)dx

x

2.3 正态分布（自行复习） 正态分布（高斯分布）
当生产条件固定时，一批产品的某一指标（螺栓直 径、灯泡寿命、电阻值等）服从正态分布。 在相同条件下，对某量进行测量，测量误差为随机 变量服从正态分布。 同一生物体的某一尺寸，例如成年人的身高为随机 变量，服从正态分布。（车身设计人机工程学） 路面不平度也基本服从正态分布。
（5） P{x1 X x2 , y1 Y y2} P( x2 , y2 ) P( x1, y2 ) P( x2 , y1 ) P( x1, y1 )
随机变量X，Y落在区域R内的概率
2.5.2
二维随机变量的概率密度
二个随机变量 X 和 Y 的联合分布概率密度函数 的定义为
D[c] 0, D[cX ] c2 D[ X ], D(c X ) D( X )
根据方差的定义
x D( x) E[( x x ) ] ( x x )2 p( x)dx E ( x 2 ) ( E[ x]) 2
2 2
2.4.3
正态分布随机变量的数字特征
1 x 2 ( ) 1 2 p( x) e 2
p ( x)
1 2
x2 2
e
x2 2
P( x )
e 2

1
x
dx
上面这两个函数均有表可查 对于一般随机变量不一定满足μ=0,σ=1，则可以先进行 变量置换，然后查表。

2.4 随机变量的数字特征(数学期望与方差)
(1)
P( x2 , y) P( x1, y) for x2 x1 P( x, y2 ) P( x, y1 ) for y2 y1
图 联合分布函数取值示意图
（ 2）
P( x,) P(, y) P(,) 0
P(, ) 1
（ 3）
（ 4）
0 P( x, y) 1

一般来说，如果影响随机变量分布的因素很 多，这些因素又彼此独立，且它们中的每一 个对随机变量的分布又没有突出的影响，则 可认为该随机变量服从正态分布规律。
正态分布的概率密度的数学表达式为:
1 x 2 ( ) 1 2 p( x) e 2
其中μ和σ均为大于零的常数。 随机变量X服从正态分布时可记为
2
2


理解数学期望与平均值
期望：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值 平均值：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除 以数据的个数 。 通俗说：平均值和数学期望都是反映概率中可能性 最大的值。
在统计学中，当估算一个变量的期望值时，一个经 常用到的方法是重复测量此变量的值，然后用所得 数据的平均值来作为此变量的期望值的估计。
E[ X Y ] E[ X ] E[Y ], E[ XY ] E[ X ] E[Y ]
如果 f(x) =x，数学期望（均值）如下：
x E[ x] xp(x)dx

与此类似，如果f(x)=x2，定义x的均方值如下
x E[ x ] x 2 p(x)dx
p( x, y)dxdy P( x X x dx, y Y y dy )
即
2 P( x, y ) p( x, y ) xy
根据二变量联合分布概率密度函数的定义，第一个随机 变量X落在x1 与 x2 之间且Y落在y1 与 y2 之间的概率为
P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
2
即：当数学期望E[X]=0时，方差就等于均方值。
标准差：方差的正的平方根σx ，称为x的标准差
方差的性质：
1) 如果 X 和Y 是两个随机变量，则
D( X Y ) D( X ) D(Y ), D[ X ] E[ X 2 ] ( E[ X ])2
2) 如果c 和d是两个常数, X 是一个随机变量，则：
2 2

E[c] c, E[cX ] cE[ X ], E[cX d ] cE[ X ] d
如果E[X]=0 对于离散随机变量：其方差：
D[ X ] E[ X 2 ] xi2 pi
i 1
对于连续随机变量：其方差：
D[ X ] E[ X ] x 2 p( x)dx
度不会是一样的，而是在某一个平均值附近 波动。像钢的拉伸强度这样的量，它们的值 并不能准确预测，称为随机变量。 如：在一批废品率为p的产品中，任取两件， 所取两件中，废品数可能是0、1、2。在取 出之前无法预测。取出的废品数称为随机变 量
随机变量的分类
离散随机变量：
仅可能在某一数值序列中取得有限个或无
P( x X x x) P( x x) P( x)
为分布函数在区间上的增量。 当⊿x 趋于零时 将这一概率与区间长度之比定义为： 连续随机变量Ｘ的概率密度函数
p ( x) lim
即
P( x X x x) x
p( x) P( x)
幅值出现在x与x＋△x之间的概率为：
分布函数可以完整地描述随机变量的统计特征，
但在实际问题中，求出分布函数比较困难，且 有些问题并不需要求出分布函数去全面考察随 机变量，而只需要知道随机变量的某些特征。
如评定某地区的粮食产量：平均亩产量 检查棉花质量： 纤维的平均长度 纤维长度与平均长度之间的偏差

2.4.1
数学期望
2.6.1
随机过程的数字特征
数学期望：
设X(t)是一随机过程，固定t1，则 X (t1)是一随机变量。其数学期望：
[ X (t1 )] E[ X (t1 )]
x E[ X ] xp( x)dx



x1 p1 ( x1 , t1 )dx1
E[X(t)]是随机过程X(t)的所有样本函数在时刻t
n
设 pK
为出现k个废品的概率，当N很大时：
n uK K K pK N K 0 K 0 n
uK pK N
设离散型随机变量X的分布率为：
P( X xK ) pK K 1,2,.....
则称其数学期望为：
E( X ) xK pK
K 1
对于连续型随机变量，用p(x)表示随机变量x 的概率密度函数，则其数学期望的定义为:
X的取值 取值的概率 X1 P1 X2 P2 X3 P3 …… …… Xn Pn

例如：在一批废品率为p的产品中，任取两件，所取 两件中，废品数可能是0、1、2。
X的取值 0 1 2
取值的概率
P1
P2
P3
连续随机变量的分布函数
连续随机变量的取值可以是某一个区间内的
任何数，随机分布列无法描述连续随机变量 的分布。 连续随机变量Ｘ的分布函数P(x)：连续随机 变量Ｘ的值小于或等于x的概率
第二章 随机变量与随机过程
第二章 随机变量与随机过程
2.1 随机变量及其分布列，分布函数 2.2 连续随机变量的概率密度函数 2.3 正态分布 2.4 随机变量的数字特征 2.5 两个随机变量的联合分布 2.6 随机过程

2.1
随机变量及其分布列，分布函数
随机变量
随机：情况多变或事先不能肯定 如：取许多钢试样进行试验，它们的拉伸强
限多个离散的数值。 例如：一批产品中的次品数； 随机振动在一定时间内取得的峰值 数等都只能是正整数。 连续随机变量: 可取某一区间内的任何数值的随机变量。 例如：机械零件加工后的尺寸， 钢试样的拉伸强度等。
离散随机变量的分布列
对于离散随机变量，由于其取值是离散的，
所以可以将其取某一个值的概率列成一个表， 称为随机分布列。
样本的平均值是期望的无偏估计。
2.4.2
方差与标准差 x 的方差，记为 x2 ，定义为x与其均值的差 的均方值：
2
x E[ x 2 ] x 2 p(x)dx


x D( x) E[( x x ) ] ( x x )2 p( x)dx E( x2 ) ( E[ x])2
X ~ N ( , )
2
正态分布概率密度函数随x的变化如下图所示
正态分布的概率密度函数

正态分布概率密度函数的性质
1) 对称性
曲线p(x)-x关于 x=μ对称。
2) 最大值 当x=μ时， p(x)有最大值
1 x 2 ( ) 1 2 p( x) e 2
正态分布的概率密度函数