浅谈二次型和应用1

目录

摘要 (1)

引言 (2)

1.二次型的相关定义及定理 (3)

2.二次型的应用 (6)

2.1在二次曲线中的应用 (6)

2.2在证明不等式中的应用 (7)

2.3在求极值中的应用 (8)

2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用 (10)

2.5在多项式因式分解中的应用 (10)

参考文献 (12)

致谢 (13)

浅谈二次型及其应用

摘要：二次型是高等代数的重要内容之一，通过研究二次型的结构及性质，解决一些不等式的证明、求极值、因式解等初等问题.并比较正交变换和配方法化二次型为标准型的区别，给出了二次型在计算某些积分中的应用.再借助非退化线性替换判断二次曲线的形状，展现线性代数中的二次型知识在微积分中的应用.

关键词：二次型；正定矩阵；非退化线性替换；标准型；正交变换

A Talk about Quadric Form and Its Application

Abstract: the quadric form is one of the important contents of higher algebra, through the study of the structure and the quadratic nature, solve some inequality proof, for extreme, factoring in elementary problems and solutions. And compared with orthogonal transformation method HuaEr times and the difference between the standard model, and gives the second type in the calculation of the application of some points. Again the degradation of linear replace judgment by the shape of the quadratic curves, show linear algebra in the second type of the application of the knowledge in the calculus.

Key Words: Quadratic; Positive definite matrix; The degradation of linear replacement; Standard; Orthogonal transformation

引言

高等代数与初等代数的联系是密不可分的，在中学数学中，不等式的证明、求极值及因式分解问题都是重点问题.用初等数学方法去处理这些问题往往会相当麻烦，而如果利用高等代数中二次型的性质去解决，则会是很多问题化繁为简.用二次型来解决微积分中的一些问题，有时也会起到意想不到的效果.

由于二次型具有较高的综合性和抽象性，对于相当一部分非数学专业的学生来说，虽然能够按照化二次型为标准型的步骤将一个普通二次型化为标准型，但是仍然无法建立起二次型的直观概念，很多学生很疑惑：二次型到底是什么？它有什么几何意义？在化二次型为标准型时使用的正交变换和配方法有什么区别？二次型的标准形有什么用？等等这些问题我们将一一解决.

1.二次型的相关定义及定理

二次型从本质上来说仍然是一个关于n 个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中出了平方项就是交叉项，没有一次项和常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为: /f X AX =

定义1.1 每个n 元二次型/12(,,)n f x x x X AX =L ， /12(,,)n X x x x =L 都可唯一地表成/12(,,)n f x x x X AX =L , 其中/12(,,)n X x x x =L ，A 为对称阵，称为二次型f 的矩阵，A 的秩称为f 的秩.

定义1.2 实二次型/f X AX = (A 为实对称阵，/12(,,,)n X x x x =L ），若对于任意的0x ≠，皆有0(0,)f f f o >≥≤，则称f 为正定（半正定，半负定）二次型，若既f 不是半正定也不是半负定的，则称f 为不定二次型. 定理1.1 实二次型/12(,,,)n f x x x X AX =L (A 为实对称阵）为正定二次型的充分必要条件为

1）12(,,,)n f x x x L 的正惯性指数为n ;

2) A 的各阶顺序主子是都大于零; 3) A 与单位矩阵合同； 4）A 的特征值全大于零； 5）A 的主子式全大于零； 6）存在可逆的B ，使得/A BB =.

定理1.2 实二次型 /12(,,,)n f x x x X AX =L /()A A =为半正定的充要条件为 1）12(,,,)n f x x x L 的正惯性指数与秩相等； 2）A 的各阶主子式大于或等于零； 3）A 的特征值全大于等于零；

4）A 的正惯性指数p r =，负惯性指数0q =;

5)与A 矩阵000r

E

??

???

合同，秩A r =. 定理1.3 实二次型/12(,,,)n f x x x X AX =L 可经过变量的正交变换Y QX = (Q 为正交阵）化为:

222

1122n n f y y y λλλ=+++L ((1,2,,)i i n λ=L 是矩阵A 的全部特征值）.

定理1.4 设n 元二次型/

f X AX =，则f 在条件21

1n

i i x ==∑下的最大（小）值恰为

矩阵A 的最大（小）特征值.

定理1.5一个实二次型可以分解为两个实系数的一次多项式乘积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0，或者秩等于1.

下面，我们来讨论论一般的n 元二次型极值的判定和求极值的一般方法. 一般的n 元二次型多项式形如

11

1

2n n

n

ij i

j

i i i j i a x x

b x

c ===++∑∑∑ （1）

显然（1）存在极值当且仅当

11

12n n

n

ij i

j

i i i j i a x x

b x ===+∑∑∑ （2）

存在极值（上述两式中ij ji a a =），易见11

n

n ij i j i j a x x ==∑∑是一个n 元二次型，设其矩阵

为A ，我们有:

定理1.6实元n 二次型（2），它的前一个和的矩阵为A ,秩为r ,则对二次型做非退化线性替换X PY =,使得/PAP 为对角阵，如:

1、〈1〉A 正定，r n =,且（2）中一次项系数不全为零，则（2）存在极值； 〈2〉半A 正定，若r n <,一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极小值；

〈3〉半A 正定，若r n <,一次项所含新变数至少有一个不在平方项中出现，则（2)不存在极值；

2、〈1〉A 负定，r n =,且一次项系数不全为零，则（2）有极大值； 〈2〉A 半负定, r n <,且一次项所含新变量均在平方项中出现，则（2）有极大值；

〈3〉A 半负定，r n <,且一次项所含新变量至少有一个不在平方项中出现，则（2）不存在极值.

3、A 不定，则（2)不存在极值.

注：可逆阵P 可经合同变换求得，即对A 施行一对列初等变换和行初等变换时，对E 施行同样列初等变换（E 与A 同阶），当把A 化为对角阵时，E 就化成P . 以上总结了二次型的一般理论，下面我们就用其来解决一些应用问题.

2．二次型的应用

2.1在二次曲线中的应用

事实上，化简二次曲线并判断曲线类型所用的坐标变换就是二次型中的非退化线性替换.

已知当P 为正交矩阵时，线性替换Y PX =称为正交变换，那么就有

y x ====

上式说明经过正交变换线段的长度保持不变，从而能够保持几何体的几何形状不变，因此可以利用二次型来判断二次曲线的形状. 例1判断二次型2242220x y xy x +--+=的形状.

解 设22(,)4222f x y x y xy x =+--+

令222(,,)4222g x y z x y z xy xz =+--+ 则(,)(,,1)f x y g x y =

对(,,)g x y z 施行非退化线性替换：

111

3x x y z z y y z z =-+???=+??=?? 即11111433x y z z y y z z ?

=-???

=-??

=???

则 222

11110(,,)33

g x y z x y z =+-

从而 221110

(,)(,,1)303

f x y

g x y x y ==+-= 即

22

113911010

x y += 故曲线2242220x y xy x +--+=表示椭圆.

例2化简二次曲线方程22240x xy y xz yz -++-=，若是封闭曲线，计算其面积.

解 记22(,)24F x y x xy y x y =-++- 令22(,,)24f x y z x xy y xz yz =-++-

于是(,)(,,1)F x y f x y =，对(,,)f x y z 实施非退化线性替换：

111122x x y z y y x z z ?=-+??=-??=?? 即11111122x x y y y x z z ?

=+??=+??=??

则 22

21113(,,)44

f x y z x y z =+

- 从而 22

113(,)(,,1)404

F x y f x y x y ==+

-= 即

22

1131416

x y += 故原曲线表示椭圆，它的两半轴分别为：2

从而其面积为

:23S ==

2.2在证明不等式中的应用 例3求证：221

1

()n

n

i i i i n x x ==≥∑∑.

证明 222212312

12(,,,)()()n n f x x x n x x x x x x =++-++L L L 222

12

12131(1)(1)(1)222n n n x n x n x x x x x x x =-+-+----L 该二次型的矩阵为11111

11

11n n A n ---??

?---

?

= ?

?---??

L L L L L L L

将第2,3，…,n 列加到第一列，则第1列元素全为零，故0A =；同样可求出A 的i 阶主子式为1()0i n i n -->（i=1,2L ,n-1）.因此A 是半正定的，从而，二次型12(,)n f x x x L 半正定，所以

12(,)n f x x x L ≥0，即

221

1

()n n

i i i i n x x ==≥∑∑

例4求证：22293242x y z yz xy xz ++>--（其中x,y,z 是不全为零的实数）.

证明 设二次型222(,,)93242f x y z x y z yz xy xz =++-++

则f 矩阵是 921211113A ?? ?

=- ? ?-??

因为A 的各阶顺序主子式为：990=>

925021

=>

921

2

1

11011

3

-=>- 所以A 正定，从而0f >（因为x,y,z 不全为零）.

即22293242x y z yz xy xz ++>--（其中x,y,z 是不全为零的实数）.

2.3在求极值中的应用

例5已知实数y x ,满足221x y +=，求22(,)22f x y x y xy =+-的最大值与最小值.

解 (,)f x y 的矩阵为：

1112A -??

= ?-??

21

1

311

2

E A λλλλλ--=

=-+-

因此，特征值1211

(3(322

λλ==

有上述定理可知(,)f x y 在221x y +=

下的最大值是1

(32+

，最小值是

1

(32

-. 例6讨论222212

3412131424341233232222424x x x x x x x x x x x x x x x x x -----------++

423x -是否有极值，若有，求其极值.

解 设多项式为f ，则

2222

123412131424341233232222424f x x x x x x x x x x x x x x x x x -=++++++++++-

423x -+

-f 的二次型部分矩阵为1

1111

30110221123A ??

?

?

= ? ?

??

对A 做合同变换，得一可逆阵31122101

12

00

120001P ?

?

-- ?

?

?-= ?

?- ? ???

使/1

00002001000200

0P AP ?? ?

?

=

? ? ? ??

?

,则易知A 半正定， 做线性替换1122334431122

101

1200120001x y x y x y x y

?

?

--

?

???? ? ? ?

? ? ?-= ? ? ? ? ? ?-

????? ??

?

f -化为22

2

123123122222

y y y y y y ++

++-， 其一次项所含字母均在平方项中出现，所以f -有极大值，

对上式配方得 : 222123111

(1)2()(2)222y y y ++++--，

故当 1231

1,,22y y y =-=-=时，

f -有极小值12-，即f 有极大值1

2

.

例7设222(,,)222f x y z x y z xy =+++，且满足2221x y z ++=，求f 的最值.

解 二次型f 的矩阵是 201021111A ?? ?

= ? ???

则特征多项式为

2

01

02

1(2)(3)01

1

1

E A E A λλλλλλλλ----=

--=--=---

特征值1230,2,3λλλ===.

由二次型的相关定义及定理知，f 在条件2221x y z ++=下的最大值为3，

最小值为0.

2.4在求某些曲线或曲面积分中的应用

利用二次型的正交变换可以方便的计算某些积分域为由二次曲线或二次曲面围成的特定积分. 例8求123dx dx dx Ω

???，其中

{}222

1231231231223(,,)|(,,)23221x x x f x x x x x x x x x x Ω==++--≤.

解 已知正交变换能够保持几何体形状不变，所以椭球

222

12312

31223(,,)2322f x x x x x x x x x x =++--≤1 与椭球

222

1232(2(21f y y y =++≤ 体积相同，

记：{}1)32()32(2),,(|),,(233221321321≤-+++==y y y y y y f y y y D

则

:

12312343D

dx dx dx dy dy dy Ω===?????? 2.5在多项式因式分解中的应用

二次型的性质为二次多项式因式分解提供了理论依据，同时给出了判断能否分解的方法，并且可以很快得到分解式.

例9试判断下列多项式在R 上能否分解，若能，分解之.

1）2

122

2112(,)22421;f x x x x x x x =-+++ 2）22

1212

212(,)324 1.f x x x x x x x =--+-+ 解 1）令22

12322313123(,,)2242g x x x x x x x x x x x =-+++，

则12(,)f x x = 12(,,1)g x x .

下面考虑123(,,)g x x x 的秩和符号差，对123(,,)g x x x 做非退化线性替换：

12311232333272x x x y x x x y y x -+?=??-++?=??=??? 即1231

1232333102

42y y y x y y y x x y -+?

=??

+-?

=??

=???

有222

123123(,,)13g x x x y y y =-+.可见123(,,)g x x x 的秩为3，有预备定理知

123(,,)g x x x 不能分解，从而1212(,)(,,1)f x x g x x =也不能分解.

2） 令222

1231223123(,,)324g x x x x x x x x x x =--+-+，

则1212(,)(,,1)f x x g x x =。下面考虑123(,,)g x x x 的秩和符号差，对

123(,,)g x x x 做非退化线性替换：

112223332y x x y x x y x =+??=+??=? 即1123

2233

322x y y y x y y x y

=-+??

=-??=?

有2

21232

1(,,)g x x x y y =-， 从而2

212122

1(,)(,,1)f x x g x x y y ==-， 从而12(,)f x x 的秩为2，符号差为0，

由二次型的相关定义及定理知12(,)f x x 可以分解,

2

212122*********(,)(,,1)()()(1)(31)

f x x

g x x y y y y y y x x x x ==-=-+=--++.

结束语

本文主要根据二次型的结构特点及相关性质，将其理论运用于多项式因式分解，求极值，因式分解，判断二次曲线的形状并计算椭圆面积，求解过程未必

简单，但提供了一种用二次型解决中学问题的方法及思路.

参考文献

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[3]张禾瑞，郝邴新编，高等代数[M],高等教育出版社.

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[9]陈建华.线性代数[M]第二版.北京：机械工业出版社，2002:160-176.

[10]同济大学应用数学系.高等数学（下册）[M]。第五版。北京：高等教育出版社，2002:99-107.

[11]蒋尔雄等.线性代数[M].人民教育出版社，1993.

致谢

在论文完成之际，我在周口师范学院四年的学习生活即将结束，我要特别感谢我的指导老师李红杰老师的热情关怀和悉心指导.在我撰写论文的过程中，李老师倾注了大量的心血和汗水，他广博的学识，深厚的学术素养，严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终身受益，在此表示深深的谢意.

感谢我的爸爸妈妈，养育之恩无以回报，愿你们永远健康快乐.

感谢和我度过四年美好大学生活的2008级数学与应用数学专业的全体同学，感谢数学与信息科学系的所有授课老师，你们使我终身受益.

特别还要感谢陪着我一起成长的402寝室所有的姐妹们，我在这里真诚的祝福你们.

最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者.