高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、要求：

1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；

2、洛必达法则；

3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；

4、简单不等式证明；

5、最值在实际问题中的应用。 二、练习

1.在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的函数是( ). A.2

1()f x x

=

B.()||f x x =

C.2()1f x x =-

D. 2()21f x x x =--.

2. 函数x x f arctan )(=在]1,0[上满足拉格郎日中值定理的ξ值是( ).

B.

4

1π

-

D. .

3.设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有 个零点，这些零点所在的范围是 ；.

3.设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程()0f x '=有 个零点，这些零点所在的范围是 .

4.函数()ln 2x f x x e

=-

+在(0,)+∞内的零点的个数为

.

5.曲线x y xe -=的拐点 ，凹区间 ，凸区间 .

6.

函数(ln y x =+的单调 区间 . 7.曲线()1

x

e

f x x =+的渐近线为 .

8.计算： （1

）1

lim

1

x x →- （2）0

11lim ()1

x

x x

e →-

-（3）2

2

(1cos )lim

tan x x x

→-

（4）2

arctan lim

ln(12)

x x x x x →-+； （5）21/3

(1)

1

lim

cos 1

x x x →+--； （6）0

1

lim (csc )x x x

→-；

（7）3

112lim (sin

sin

)2

x x x

x

→∞

-

；（8）22

lim (tan )

x x x π

π

--→

；（9）lim

ln x

x e

x

→+∞

；

9.证明()2

22arctan arcsin 11x x x x

π+=≥+.

10.证明方程510x x ++=在区间)0,1(-内有且只有一个实根. 11. 证明多项式()33f x x x a =-+在[]0,1上不可能有两个零点. 12.证明：当02

x π

<<

时，2

sin x x x π>>

13.证明：当0x >时，

2

arctan 1x

x x

x

<<+

14. 设()32f x x ax bx =++在1x =处有极值-2，试确定系数,a b ，并求

()y f x =的所有极值点与拐点.

15.求内接于椭圆12

22

2=+

b

y a

x 而面积最大的矩形的各边之长.

16. 由直线8,

0==x y 及抛物线2

x y =围成一个曲边三角形, 在曲边2

x

y =上求一点,使曲线在该点处的切线与直线0=y 及8=x 所围成的三角形面积最大. 17. 描绘(1)2

32(1)

x y x =

-+，(2)2

21(1)

(1)

y x x =

+

--的图形.

18.要做一个容积为2π的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？

19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500立方米，底面为正方形。设底面与四壁所使用材料的单位造价相同，问底边和高为多少米时，才能使所用材料费最省？

20. 选做题：若函数

)(x f 有,1)(lim

,0)(lim

==-∞

→+∞

→x

x f x f x x

,

)(lim ,0)(lim

,2])([lim 2

∞===-→+∞

→-∞

→x f x

x f x x f x x x 并且当

)

1,0(∈x 时,

)(<'x f , 否则

),2(0)(≠>'x x f 当)

2,2/1(∈x 时, 0)(>''x f , 否则),0(0)(≠<''x x f 则

(1) 函数)(x f 的单调区间(注明增减)是._______ (2) 函数曲线的凹向和拐点是._______

(3) 当_______=x 时, 函数取得极大值._______ (4) 函数的渐近线有._______

(5)设,0)4/7(,2/1)1(,4/3)2/1(,4/5)0(=-===f f f f 试作出)(x f y =的描述性图形.