板材玻璃下料问题

板材玻璃下料问题摘要排样下料问题在很多工业领域中都有广泛的应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率。

本文解决的是玻璃板材的最优化下料策略，不同的下料策略形成不同的线性规划模型。

在充分理解题意的基础上，以使用原材料张数最少为目标，采用逐级优化的方法，进行下料方案的筛选。

在第一题中，首先选用单一下料两个方向排料优选的下料策略，成品料的长在原材料的长和宽两个方向上分别排列，求出最优解；其次采用单一下料中成品料的长和宽在原材料的长、宽两个方向套裁排料优选，算出所需原材料的块数和利用率；最后按照零件需求量，进行几种零件配套优选，用新易优化板材切割软件求出最优的板材切割方法，列以原材料消耗总张数最少为目标函数的数学模型，用LINGO软件编程，求出最佳下料方案。

按照原材料的利用率，筛选出最佳的下料方案为按照零件需求量，进行几种零件的配套优选下料方案，所求需要原材料的块数为548，利用率为95.03%。

第二题的求解以第一题相似，当有两种规格的原材料时，在第一题的基础上，用玻璃板材切割软件排出两种原材料的最佳切割方法，建立数学模型，用LINGO软件编程，算出最佳的下料方案。

求得需要规格为2100cm×1650cm的原材料532块，需要规格为2000cm×1500cm的原材料16块，共计548块，利用率为95.40%。

此模型可以推广到更多板材排样下料领域的应用，通过逐级优化和组合原理，确定各种切割方式，然后再进行线性规格问题的求解。

关键词：优化排样板材下料最优化线性规划一·问题重述在大型建筑工程中，需要大量使用玻璃材料，如门窗等。

在作材料预算时，需要求出原材料的张数。

已知板材玻璃原材料和下料后的成品料均为矩形。

由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二。

切割次序和方法的不同、各种规格搭配（即下料策略）不同，材料的消耗将不同。

工程实际需要解决如下问题，在给定一组材料规格尺寸后：（1）在原材料只有一种规格的情况下（例如长为2100cm,宽1650cm），给出最优下料策略，时所需要材料张数最少。

（2）在原材料为两种规格的情况下（例如2100cm×1650cm和2000cm×1500cm），给出最优下料策略，使所需要材料张数最少，且利用率（实际使用总面积与原材料总面积之比）尽量高。

（3）下表是一些成品料及所需块数（长×宽×块数），分别以一种原材料2100cm ×1650cm及两种原材料规格2100cm×1650cm、2000cm×1500cm为例，分别给出(1)和（2）的算法及数字结果，并给出两种情况下的利用率。

二·模型假设1、假设不考虑在切割板材玻璃的过程中的损耗；2、假设不考虑人为的损耗；3、假设不考虑切割工艺的不同；4、假设不考虑玻璃厚度的影响；5、假设不考虑刀片的厚度；6、假设切割玻璃的刀片可旋转；7、假设不考虑两种原材料的优先级及成本，只考虑原材料的利用率；四·问题分析板材玻璃下料问题属于线性规划中的二维下料（板材下料），玻璃最优化切割中，原材料有两个方向（长和宽），在只有一种原材料的时候，令原材料的长为L ，宽为W ，零件的长为i x ,宽为i y ，i=1，2,……，26。

从操作方便的角度考虑，一张板材上不宜下过多的零件，但一般来说，参加套裁的零件种类越多，材料的利用率越高，在实际玻璃切割中要兼顾这两方面的情况，既要考虑操作的方便，又要考虑材料的利用率，一般我们讨论零件种数最多为3种或4种的情况。

而且由于玻璃材料特点，切割玻璃时，刀具只能走直线，且中间不能拐弯或停顿，即每切一刀均将玻璃板一分为二，是一种典型的Guillotine 切割，国内外对Guillotine 下料问题的研究非常活跃，已取得了不少的研究结论。

对剪切下料一般的处理方法有：使用背包算法以保证能实现一刀切的剪切工艺；在一张板材上只排一种规格的零件的单一下料法或只排少数几种的综合套裁法。

考虑到本题的实际情况，我们使用第二种方法。

当然，在保证利用率不减的情况下，所下的零件数越少越好。

既然原材料有长和宽两个方向，零件也有长和宽两个方向，则每个零件的长可在原材料的长和宽方向上排列，宽也可在原材料的长和宽的方向上排列，这就够成了二维下料方式的多样性，当所需下料的零件种类较多时，下料方式也就相应的比较多，这又为二维下料增加了困难，为了克服这个困难，并考虑到采取组成最优化方案的切割方式的材料利用率都不应太低，因此采取逐级优化的方法，进行优化切割方案的筛选。

对于第一题中有一种原材料的时候，有以下三种切割方案： （1） 单一下料两个方向排料优选；（2） 单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选；（3） 按照零件需求量，进行几种成品料配套优选，选出最佳下料方案。

对于第二题中有两种原材料的时候，在只考虑原材料利用率的情况下，我们选用与第一题中只有一种原材料时的第三种切割方案，即按照零件需求量，进行几种零件配套优选，选出最佳下料方案。

最后，根据所求的（1）题和（2）题中原材料的数量，算出每种切割方案的利用率，选出最佳切割方案。

五·模型的建立与求解下料问题模型主要有密切相关的两部分组成。

第一部分为初始切割方式下的优化选取模型，第二部分为下料方案的优化模型。

其中，后者是一种大型线性规划模型。

5.1 问题一模型的建立与求解 5.1.1单一下料两个方向排料优选对于一张原材料上仅裁一种零件（即单一下料）的切割方式，每一种零件可以排出两种单一切割方式。

第一种，成品料的长在原材料长的方向上排列的下料方式；第二种，成品料的长在原材料宽的方向上排列的下料方式。

（1）、单一下料两个方向排料优选数学模型如下:)/(x 11i i x L INT L =，i=1，2，......，26； )/(y 11i i y L INT L =，i=1，2，......，26； )/(x 11i i x W INT W =，i=1，2，......，26； )/(y 11i i y W INT W =，i=1，2， (26)1111W L S ⨯=；%100112611⨯⨯⨯=∑=nS n Si iiη；如第一种零件1x 在1L 方向上能排)/(x 1111x L INT L ==2，1y 在1W 方向上仅能排1次，另一方面，1x 在1W 方向上排1次，1y 在1L 方向上能排2次，所以整块玻璃能容纳下以一种零件的总数是1×2=2（个），如图5.2。

两个方向切割的零件数相等，可任选一种切割方式。

若切割第二个零件，情况就有所不同了，2x 在1L 方向能排2次，2y 在1W 方向上也能排2次，因此能切下第二种零件的总数是2×2=4（个）另一方面，2x 在1W 方向能排1次，2y 在1L 方向上也能排2次，因此能切下第二种零件的总数是1×2=2（个）综上可以看出，图5.3的切割方式比图5.4的切割方式的利用率要高，所以单一下料也存在比较优选的问题，称作单一下料的初级优化。

同理，用Excle 对26种材料做单一下料的初级优化后，得到如下的数据：通过上述计算求得利用率为：%70.72%100112611=⨯⨯⨯=∑=nS n Si iiη（2）、单一下料两个方向排料优选结果如下:通过计算解得，在原材料只有一种规格2100cm ×1650cm 的情况下，用单一下料两个方向排料优选的方法需要原材料729块，原材料的利用率为72.70%。

5.1.2单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选成品料在原材料1L 和1W 方向上套裁下料，i x 和i y 可以套裁。

但这时应注意，在切割玻璃时，每切一刀将玻璃板一分为二。

数学模型与单一下料两个方向排料选优一样，用Excle 对26种材料做单一下料的在长、宽两个方向套裁排料优化后，得到如下的数据：通过上述计算求得利用率为：%87.78%100112611=⨯⨯⨯=∑=nS nS i ii η单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选结果如下： 通过计算解得，在原材料只有一种规格2100cm ×1650cm 的情况下，用单一下料在长、宽两个方向套裁排料优选的方法需要原材料670块，原材料的利用率为78.87%。

5.1.3按照零件需求量，进行几种成品料配套优选按照零件需求量，进行玻璃套裁下料方式的数学模型表示为：⎪⎭⎫⎝⎛+-=∑∑=+=-121,,i mm k m k j k i j i j y d x b L δ；(1)0≥j δ；（2）i j x <δ且m k j y -<δ，i=1,2,……，m ；k=m+1,m+2,……,2m ；（3）k-m i ≠如果0,>j i b 则0,=+j i m b ；如果0,=j i b 则0,>+j i m b ；(4)m k j k m k i j i j i x W d a y W b a --⨯=⨯=1,1,,,；(5)i mi i j i j y x a W L S ⨯⨯-⨯=∆∑=1,11；(6)j nj J S N S ∆=∑=1min ；(7)i j nj ji D N a=∑=1,；(8)0≥j N 且为整数；(9)上述9个方程组成了玻璃下料问题的数学模型。

我们的目的是要求出满足上述9个方程的各种切割方式的张数j N 。

通过“新易优化板材切割”软件，排出玻璃板材的最优切割方法，共有72种切割方案，每一种切割方案如附录中表1.0所示。

建立线性规划方程组：∑==nj j j x N 1min()()⎪⎩⎪⎨⎧=≥=≥∑=整数,,,2,10,,2,1..1,n j x m i b x a t s j nj i i j i求得的利用率为：%03.95%100112611=⨯⨯⨯=∑=nS nS i ii η按照零件需求量，进行几种成品料配套优选结果如下：通过用LINGO 软件，对上述27个线性方程进行编程求解，求得在原材料只有一种规格2100cm ×1650cm 的情况下，用按照零件需求量，进行几种成品料配套优选的方法需要原材料548块，原材料的利用率为95.03%。

所以，通过逐级优化，筛选优化切割方案比较得出，按照零件需求量，进行几种成品料配套优选的下料策略原材料的利用率最高，为95.03%，故应采取这种下料策略，所需要原材料张数最少，为548张。

5.2 问题二模型的建立与求解（1）、有两种原材料的最优下料策略的数学模型：在有两种原材料的情况下，采用与5.1.3中按照零件需求量，进行几种成品料配套优选方法同样的数学模型，只是在玻璃板材的切割方案中，增加一种原材料，用“新易优化板材切割”软件，排出两种玻璃板材的最优切割方法，建立线性规划方程组，求出所需要原材料的最少张数，根据求得的张数，求出有两种规格原材料的利用率。