博弈论讲义

L(A)=2rc+1(1-r)(1-c) dL(A)/dr =3c-1=0 L(B)=rc+2(1-r)(1-c) dL(B)/dc =3r-2=0 r=2/3 c=1/3
A:(2/3,1/3),B:(1/3,2/3)是本博弈的 混合策略纳什均衡
完全信息动态博弈
参与人先后行动 每个参与人对每个参与人的得益具有完全信 息 博弈树 参与人的行动顺序（when to move，谁在 什么时候行动） 参与人的信息集（what known，每次行动 时参与人知道些什么）
Player B L,L
3 U, 5 Player A 2 D, 5
R,1-L
(1,2)
(0,5)
(0,4)
(3,2)
Player B L,L
3 U, 5 Player A 2 D, 5
R,1-L
(1,2)
(0,5)
(0,4)
(3,2)
如果A 选U,其期望收益为
1 L 0 (1 L ) L .
策略组合
策略组合：（s1，…，si，…，sn） ui＝ui（s1，…，si，…sn） 一个参与人的支付不仅取决于自己的策略选择， 而且取决于其他参与人的策略选择 Max ui＝ui（s1，…，si，…sn）
囚徒困境博弈的标准式表述
B
抵赖 坦白
抵赖
－1，－1 0，－10
－10，0 －8，－8
ui ( s ,...,s ) 0 si
* 1 * n
囚徒困境的纳什均衡
(坦白,坦白)构成本博弈的纳什均衡
抵赖
B
坦白
抵赖
－1，－1 0，－10
－10，0 －8 －8
A
坦白
囚徒困境反映了个人理性和集体理性的矛盾
古诺模型
寡头垄断企业1和2生产的同质产品：q1，q2 市场总产量：Q＝q1＋q2 市场价格决定:反需求函数p＝a－Q 企业1和2生产单位产品的边际Байду номын сангаас本同为c 企业1（或2）的总成本：cq1（或cq2），其 中假设c<a 两厂商同时决策产量
A
坦白
uA（抵赖，坦白）=-10
uA（抵赖，抵赖）=-1
占优策略均衡
理性的参与者不会选择劣战略，会剔除劣策 略，选择占优策略 如果某个策略组合由所有参与人的占优策略 组成，那么这策略组合是占优策略均衡 占优策略均衡只要求每个参与人是理性的。
占优策略均衡
B:做广告 A:做广告
10, 5
U r
A
(2,1)
D 1-r (0,0)
(1,2)
计算各种策略组合的概率
(U,L) 概率为:rc (D,L) 概率为:(1-r)c (U,R)概率为:r(1-c) (D,R)概率为(1-r)(1-c) 参与人A的期望收益LA=2rc+1(1-r)(1-c)
LB=rc+2(1-r)(1-c)
求解最优化
如何计算混合策略纳什均衡
Player B L,L U, U Player A (1,2) (0,5) R,1-L (0,4) (3,2)
D,1-U
期望支付相等
Player B
L,L U,U
Player A D,1-U (0,5) (1,2)
R,1-L
(0,4) (3,2)
B选择L时,其期望收益为 2 U 5(1 U )
博弈论
西南财经大学经济学院 袁正副教授
博弈是资源配置的一种方式
博弈：策略对抗 策略对抗决定资源的配置 石头、剪刀、布 抓阄 拍卖
经济人假设
人是自利的 人是理性计算的，即追求利益最大化 博弈论也建立在经济人假设之上
理性共识
每个博弈方是理性的 我是理性的，你是理性的，我知道你是理性的， 你知道我是理性的。我知道你知道我是理性的， 你知道我知道你是理性的„„ 所有参与者知道所有参与者知道所有参与者是 理性的 在理性共识的假设下，每个参与人的决策目标 是使自己的利益最大化 这是博弈分析的逻辑基础
1 MAX q1 a q1 a c cq1 q1 4 3 1 # * q1 a c q1 a c 8 4
最优产量高于卡特尔协议规定产量,因此,理性的厂 商会有违约的动机而多生产
一项制度或者协议要起作用，必须是纳什均衡
伯特兰寡头模型
斗鸡博弈
B鸡
前进 前进
A鸡
后退 1，-1 0，0
－2，－2 -1，1
后退
斗鸡博弈的纳什均衡： （A鸡前进，B鸡后退） （A鸡后退，B鸡前进）
纳什均衡
(s , s )
* i * i
* i
* i
当且仅当对任意参与人i
* i , i
ui (s , s ) ui (s s )
连续决策变量情形：
智猪博弈
小猪
按钮 等待 4,4 按钮 5, 1
大 猪
等待
9, -1
0, 0
智猪博弈
小猪
按钮 等待 4,4 按钮 5, 1
大 猪
等待
9, -1
0, 0
小猪
等待
按钮 大猪 等待
4,4 0, 0
(大猪按钮,小猪等待)是重复 剔除劣策略均衡
纳什均衡
相对优势策略：相对于其它局中人的策略,选择 一个优势策略 划线法寻找相对优势策略 所有局中人的相对优势策略组合，就是纳什均 衡 是一种均衡状态，没有任何一方有单独改变的 动机
q2 R1（q2） R2（q1） q1
古诺均衡时的行业产量与利润
企业1（或2）的利润（均衡结果）： Π1（q1*，q2*）＝1/9（a－c）2 寡头垄断的市场结构下均衡时总的产出：
* * q1 q 2
均衡时总利润为：
2 3
a
c

* 1
* 2
2 2 a c 9
* 2
古诺纳什均衡
当企业1和2的反应函数同时成立
q1 q2
* q1
1 a q 2 c 2 1 a q1 c 2 1 * a c q2 3
古诺纳什均衡
（1/3（a－c）， 1/3（a－c） ）构成 Cournot博弈的NE 企业1和2的反应曲线的交点
A 开发 不开发
B
开发 不开发 开发
B
不开发
（－3，－3）
（1,0）
（0,1）
（0,0）
写出B的策略集
房地产开发博弈的标准式表述
开发商B
（开，开） （开，不开） （不开，开） （不开，不开）
反应函数
q1=R(q2,q3)=48-0.5q2-0.5q3 q2=R(q1,q3)=48-0.5q1-0.5q3 q3=R(q1,q2)=48-0.5q2-0.5q1 q1=q2=q3=24 U1=U2=U3=576 U总=1728
总体利益最大化时的养羊数
U=Q（100-Q）-4Q Q=48 U=2304
聚点
解决纳什均衡的多重性 聚点（focal point）：在众多的NE中实 际更可能发生的NE 博弈双方的一致性预测 基于共同的信念，即共识 你认为应该这样，我也是这么想的
情侣博弈
两个纯战略NE :（拳击，拳击），（芭蕾，芭蕾）
女生
拳击 拳击
男生
芭蕾 0，0 1，2
2，1 0，0
不做广告
15, 0
不做广告
6, 8
10, 2
B:做广告 A:做广告
10, 5
不做广告
15, 0
不做广告
6, 8
10, 2
重复剔除劣策略均衡
人是理性的 找出并剔除劣策略 重新构造一个不包含已剔除策略的新博弈
理性共识
在新博弈中重复剔除劣策略 若余下唯一策略组合，则称重复剔除劣策略可 解。 “重复剔除劣策略均衡”
厂商1的反应函数
给定企业2的产量q2
Max q1 a q1 q 2 cq1
q1
1 q a q 2 c R1 q 2 2
* 1
企业2的反应函数
给定企业1的产量q1
Max q 2 a q1 q 2 cq2
q2
1 q a q1 c R2 q1 2
2 ( p1 , p2 ) q2 ( p2 c) (a p2 bp1 )( p2 c)
2 0 p 2
1 p 2 (a bp1 c) 2 ac p1 p 2 2b
公地的悲剧一个实例
假设3个农户，假设养羊q1,q2,q3 V=V（Q）=100-（q1+q2+q3） 边际成本c=4 求解纳什均衡
Player B
L,L
U,U Player A D,1-U
R,1-L (0,4) (3,2)
(1,2) (0,5)
当B选择R时,其期望收益为:4 U 2(1 U ).
2U 5(1 U ) 4 U 2(1 U )
U 3 / 5.
B选L还是R无差异
同时决策价格 两个厂商生产同类产品，定价p1,p2 边际成本同为c，若： q1=a-p1+bp2 q2=a-p2+bp1
1 ( p1 , p2 ) q1 ( p1 c) (a p1 bp2 )( p1 c)
1 0 p1
1 p1 (a bp 2 c) 2
完美信息动态博弈
A 开发 B 开发 （－3，－3） 不开发 （1,0） 开发 （0,1） 不开发 B 不开发 （0,0）
均为单结点信息集,这样的博弈是完美信息博弈
A
开发 N 大 B 开发 不开发 B 小 不开发 N
大
B 不开发 B
小
开发 不开发 开发
开发
不开发
(8，0) (-3，-3)（1,0） （0,8） （0,0） （0,1） （0,0）
合谋垄断时的情形
卡特尔联盟
Max Qa Q cQ
Q *
1 Q a c 2 1 2 a c 4
卡特尔协议（1/4（a－c）， 1/4（a－c） ）是否构成NE？
卡特尔协议容易瓦解
给定企业2遵守卡特尔协议规定的产出水平1/4 （a－c） 现在考虑企业1最优的产出水平
Player B L,L
3 U, 5 Player A 2 D, 5
R,1-L
(1,2)
(0,5)
(0,4)
(3,2)
如果 A 选D,其期望收益为:
0 L 3 (1 L ) 3(1 L ).
L 3(1 L )
L 3 / 4.
A选U还是D无差异
B有两个信息集,每个信息集包含两个决策结 是为不完美信息动态博弈
A 开发 N 大 B 小 大 不开发
N
小
B
B
不开发
B
开发 不开发
开发 不开发
开发 不开发 开发
(8，0) (-3，-3)（1,0） （0,8） （0,0） （0,1） （0,0）
子博弈精炼纳什均衡SPNE：
一个战略组合 它是整个博弈的NE 其行动规则在每一子博弈上也都是NE
战争与和平
风险上策均衡
帕累托上策均衡并不一定是最优选择，需要考虑风险。
博弈方2 L 博 弈 方 1 R 0， 8 7， 7
U
D
9， 9 8， 0
风险上策均衡（D，R）
猎人博弈
猎人2 鹿 兔子
猎 人 1
鹿 兔子
5， 5 3， 0
0， 3 3， 3
风险上策均衡（兔子，兔子）
不存在纯策略纳什均衡
Player B L R U Player A D (0,5) (3,2) (1,2) (0,4)
混合策略纳什均衡
Player B
3 L, 4
Player A
1 R, 4
(0,4)
3 U, 5 2 D, 5
(1,2)
(0,5)
(3,2)
A选择混合策略(3/5, 2/5),B选择混合策略 (3/4, 1/4). 这一混合策略组合就是本博弈的混合策略纳什均衡
最优化方法
L c B R 1-c (0,0)
芭蕾
如果今天是男生的生日
如果男生在追求女生
帕累托上策均衡
（鹰鸽博弈） 这个博弈中有两个纯策略 国 纳什均衡，（战争，战争） 家 战争 1 和平 和（和平，和平），显然 后者帕累托优于前者，所 以，（和平，和平）是本 博弈的一个帕累托上策均衡。
国家2 战争 -5， -5 -10， 8 和平 8， -10 10， 10
策略互动产生结果
行动组合（a1，…，ai，…，an） 共同行动的结果:Ui(a1，…，ai，…，an) 在完全信息静态博弈中，策略与行动不区分。 在动态博弈中，策略是关于行动的“相机行动 规划”
人不犯我，我不犯人
乙 不犯 甲
犯 甲 犯
不犯
犯
不犯
请写出甲的各种策略 {犯，犯}，{犯，不犯}，{不犯，犯}，{不犯，不犯}