可逆矩阵判定典型例题

典型例题（二）方阵可逆的判定例1设A是n阶方阵, 试证下列各式：

（1）若, 则；

（2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则；

（3）；

（4）若, 则；

（5）；

（6）若, 则（l为自然数）；

（7）.

证（1）因为, 故A是可逆矩阵, 且

两边同时取转置可得

故由可逆矩阵的定义可知是A T的逆矩阵.

即

（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有

（2-7）

另一方面

（2-8）

比较式（2-7）、（2-8）可知

又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n阶方阵A为

于是可得A的伴随矩阵为

注意到A的转置矩阵为

可推出的伴随矩阵为

比较与可知

（4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵为, 并且由可知

由于, 可逆且可得

另一方面, 由

由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且

（5）对于（3）给出的矩阵A, 有

即的代数余子式为

故

（6）因为, 故A可逆, 并且

? （7）对于（3）给出的矩阵A , 有

类似于（5）可知的代数余子式为, 故

例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵.

证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有

反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有

（2-6）

设矩阵A 为

由式（2-6）可知

比较上式两边矩阵对角线上的元素有

故

因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵.

例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：

的充要条件是

证 必要性：因为

因此

即

充分性：因为, 故

.

例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆.

证 因为, 故

?

因此有

所以

故是不可逆矩阵.

例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求.

证 由于

故对于方阵A 的多项式, 仍有

注意到, 故有

因此可逆, 并且

例6 设A 是阶方阵, 是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明：

（1）；

（2）.

证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有

即

从而有

l 个

l 个

对两边取行列式, 有

若A可逆, , 故, 于是有

若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有

（2）对两边取行列式, 有

若A可逆, 所以, 从而有, 于是可知

若A不可逆, 则

例7设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足, 证明A和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.

证因为, 由于

所以,

因而有可逆.

由可知

由可知.

例8 设A、B均是n阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且

证考察两个矩阵的乘积

因此可逆, 并且

例9设n阶矩阵A、B和均可逆, 证明：

（1）也可逆, 且

（2）

证（1）因为

两边取行列式有

因为A、B、可逆, 故所以有

故是可逆矩阵.

故

同理可证.

（2）因为

故

同理可证.

?

?