第13讲格林公式及其应用
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格林公式ppt课件
D D
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
13第十三讲曲线积分与路径无关问题
判别法：设开区域 是一个单连通域，函数 以及 在 内具有一阶连续偏导数,则在 内 存在原函数的充分必要条件是等式 在 内恒成立。
求法：
一般取 .
例８：验证在整个 在平面内 是存在原函数,并求出一个原函数。
【解】这里 , ,
且 在整个 在平面内恒成立,因此在整个 在平面内 存在原函数.
= = .
对于常微分方程 ,由上面可知这个微分方程的通解
泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
授课题目
第十三讲曲线积分与路径无关问题
课时数
4
教学
目的
通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件
重
点
难
点
1．重点两类曲线积分的计算方法；
2．难点格林公式及曲线积分与路径无关的条件。
.
（ ）设 ， 在单连通区域 内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 时，总有 .
①
②
比较①、②两式的右端，得
④
③
由③得 ，将 代入④得
所以 ，从而
【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
６.二元函数的全微分求法
定义：若函数 使 ,则称函数 是表达式 的一个原函数。
教
学
提
纲
第十三讲曲线积分与路径无关问题
1.第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：
(2)积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
2.第二型曲线积分
(1)第二型曲线积分的模型,第二型曲线积分方向无关
求法：
一般取 .
例８：验证在整个 在平面内 是存在原函数,并求出一个原函数。
【解】这里 , ,
且 在整个 在平面内恒成立,因此在整个 在平面内 存在原函数.
= = .
对于常微分方程 ,由上面可知这个微分方程的通解
泰山学院信息科学技术学院教案
数值分析教研室
课程名称
高等数学研究
授课对象
授课题目
第十三讲曲线积分与路径无关问题
课时数
4
教学
目的
通过教学使学生掌握两类曲线积分的来源、定义、性质和计算方法，重点掌握格林公式及曲线积分与路径无关的条件
重
点
难
点
1．重点两类曲线积分的计算方法；
2．难点格林公式及曲线积分与路径无关的条件。
.
（ ）设 ， 在单连通区域 内具有一阶连续偏导数，由（Ⅰ）知，曲线积分 在该区域内与路径无关，故当 时，总有 .
①
②
比较①、②两式的右端，得
④
③
由③得 ，将 代入④得
所以 ，从而
【评注】本题难度较大，关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形.
６.二元函数的全微分求法
定义：若函数 使 ,则称函数 是表达式 的一个原函数。
教
学
提
纲
第十三讲曲线积分与路径无关问题
1.第一型曲线积分
(1)对弧长的曲线积分的模型：
(2)积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算
2.第二型曲线积分
(1)第二型曲线积分的模型,第二型曲线积分方向无关
格林公式及其应用
§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
格林公式及其应用
高等数学
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
高等数学-格林公式及其应用
由格林公式知 xdy ydx 0 L x2 10 y 2
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
高等数学格林公式PPT课件
正向闭路.
解: 令 P x ,yy2 ,Q x ,yx2
y
L
则 P2y,Q2x
y
x
在L所围成的区域D上连续
D x
由格林公式得ID 2x2ydxdy 2d0 2Rcos2cossind 2 R3
2
5
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例3.求 I y x 3 e y d x x y 3 x e y 2 y d y , L
其中L是圆周 x2y2 a2的顺时针方向.
y
解:令 Px,yyx3ey
L
Q x,yxy3xey2y
D x
则 Px3ey,Qy3ey
y
x
在L所围成的区域D上连续, 由格林公式得
I L P x ,y d x Q x ,y d y Dy3x3dxdy 0
注:用格林公式时,一定要注意曲线积分的方向性.
y
0, a
Dl x
0, a
7
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则
P 2 y , Q a 2 y 1
y a 2x2 x
a 2x2
在 l L 所围成的闭区域D上连续,
L
y
0, a
所以由格林公式得:
I lL
l
Dadxdy aa2ylnady
1 2
a
3
Dl x
0, a
注: 用格林公式时, 若L非闭, 则可使用补边法使积分
注:使用格林公式时,若 P , Q 闭曲线所围区域上不 y x
连续, 可先挖去不连续的点后, 再使用格林公式.
11
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三、平面曲线积分与路径无关的等价条件
1.定义:设A,B为D内任意两点, 若从
格林公式及其应用【高等数学PPT课件】
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
它与L 所 围
原式
例5. 验证 数 , 并求出它.
证: 令
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
则 由定理 2 可知存在原函数
或
例6. 设质点在力场
由
移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
第十一章
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一. Green公式 闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所 围的区域 总在左边.
(Green公式)
格林公式 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
例如, 椭圆
所围面积
例1 解
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Qdy在域 D 内的原函数:
取定点
及动点
则原函数为
或
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与路径无关, 只与起止点有关.
格林公式及其应用
P dxdy
b
dx
2 ( x) P dy
D y
a
1( x) y
y
b
a{P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
L2 : y 2( x)
D
Pdx Pdx Pdx
L
L1
L2
L1 : y 1( x)
Oa
bx
b
a
a P[ x,1( x)]dx b P[ x,2( x)]dx
L l
xdy ydx 4x2 y2
0,
于是I
L
xdy ydx 4x2 y2
l
xdy ydx 4x2 y2
1 a2
xdy ydx
l
2 a2
(l所围的椭圆区域的面积)
2 a2
a2π 2
π.
感谢下 载
I1 I2
由格林公式
I1
D
Q x
P y
dxdy
D
(b
a)dxdy
(b
a)
πa 2 2
由于OA在x轴上, y 0, dy 0,
故I2
2a
(bx)dx
2a 2b,
0
于是
I
I1
I2
π 2
2 a 2b
πa3. 2
(2)简化二重积分
例4 计算 e y2dxdy, D :以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
线y 2ax x2到点O(0,0)的有向弧段.
解 Q e x cos y a, x P ex cos y b, y
y
D
O
Ax
Q x
P y
b
a,
添加辅助线OA,
格林公式及其应用.ppt
LPdx
Qdy
的
重
要
意义 :
1.揭示了平面区域上的二重积分与沿区域边界的 第二型曲线积分之间的关系.
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二型曲线积分的新方法.
格林公式便于记忆的形式:
x y dxdyLP( x, y)dxQ( x, y)dy.
DP Q
应用格林公式必须注意：
Green 公式的条件是：封闭、正向、偏导数连续， 三者缺一不可。（若积分曲线 C 不封闭，则添加辅助线
(
x
2
y
2
)dxdy
2
0 d
R3d
0
2
R4 4
R4 2
.
D
错解： ( x2 y2 )dxdyR2dR4 。
D
D
在这里，不能将曲线方程 x2 y2 R2代入被积函数。
例 3．计算曲线积分 C(e x sinymy )dx(e x cos ym)dy ，
其中 C 为由点 A(a,0) 至点O(0,0) 的上半圆周x2 y2 ax
CQ(
x,
y)dy
Qdxdy x
，②
D
合并①、②得
C
P
(
x
,
y
)dx
Q(
x
,
y
)dy
(
D
Q x
P y
)dxdy
。
（2）相 若区加域时D沿由辅分助段线 光滑上的的闭积曲分线围相成互，抵如消图。则
作辅助线把 D 分成两个既是 X 型 又 是Y 型 的区域
D1和D2 ，
y
F
D1
(
Q x
P y
)dxdy
格林公式及其应用(课堂PPT)
式得：
xdy
x2
ydx
y2
0
10
当 (0,0) D 时，选取适当的 r>0 ，作为于D内的
圆周 l : x2 y2 r2 记 L 和 l 所围得闭区域为 D1 (如图)。
y
D1
0
x
lL
对复连通区域 D1 应用格林公式，得
11
L
xdy
x2
ydx
y2
l
xdy
x2
ydx
y2
0
其中 l 的方向取逆时针方向，于是：
x2 y2 2ax
解：
y a 圆 ： (x a)2
2
2
的参数方程为：
x a a cos, y asin,0 2 ,
30
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2
[a(1 cos )a cos a sin (a sin )]d
20
2
a
2
(1 cos )d
2
a 2 0
3 . 证明下面曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积 分值：
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
左端沿折线 OAB ,右端沿折线 OCD直线进行曲线积分，得
y t 1
o
1t
x
18
t
1
1
t
0 0dx 0 Q(t, y)dy 0 0dx 0 Q(1, y)dy.
将前面得到的 Q (x,y) 代入上式，得
5
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
格林(Green)公式及其应用
格林(green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
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4.第一边值问题解的唯一性和稳定性 定理2.4 方程(1.1)的狄利克莱内问题(1.5)的解如果存在，必是唯一的， 而且连续地依赖于所给的边界条件 f 定理2.5 方程(1.1)的狄利克莱外问题(1.5)的解如果存在，必是唯一的。
同样可证明狄利克莱外问题(1.5)的稳定性。
v u v )dS n n
(2.3)
定义 设 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是区域 内的一固定点。称函数
v
1 rM0 M
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
(2.4)
为三维拉普拉斯方程的基本解。 性质 1.在 内，基本解满足方程
定理2.2 (平均值定理)设函数 u( M ) 在某区域 内调和， M 0 是 中 的任意一点。则对以M 0为中心、a为半径完全落在区域
的内部的球面
(2.11)
a ，成立
1 u(M 0 ) udS 4 a 2 a
证明 由 公式(2.6)得到
1 1 1 u u(M 0 ) (u ( ) )dS 4 a n rM0M rM0M n
以及
1 u 1 u 1 u u dS dS 4 dS 4 2 n 4 n n r n
由(2.5)式得到
(u
1 1 u ( ) )dS n r r n
1 1 u u (u ( ) )dS 4 u 4 0 n r r n n
注意：在 \ K 有 u 0, 0 在球面 K 上，有
1 r 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n r r r r
所以
(u
1 1 1 ( ))dS 2 udS 4 u d S 4 u n r 4 2
最终推得
u(M ) m,M
推论1 在有限区域 内调和函数、在 为连续的函数必在边界 上最大值和最小值。 推论2 设u及v都是区域 内调和函数、在 连续。如果在边界
成立不等式 u v 那么在 内也成立上述不等式。 并且仅当在 上u v 时，在 内才会相等。
上有连续一阶导数，则
证明：在公式(2.3)中取 u 为调和函数，和 v 1 即得证。
u dS 0 n
同样，如果 u 在 内有连续一阶导数，而在区域 内，u F 就有
u(M 0 )
1 4
(u
1 1 u ( ) )dS n rM 0 M rM 0 M n
定理2.3 (极值原理)对不恒等于常数的调和函数 u 上的值不可能达到它在 上的上界或下界。
M 0 是 证明 设调和函数u不恒等于常数，且在区域 上的上界为 m ，
内的点，有 u ( M 0 ) m 以
M 0为球心在
内作半径为R的球K，其球面为 S R ，在
SR
上有
u(M ) m
2u 2u 2u + 2 + 2 ( x x0 , y y0 , z z0 ) 2 x y z
假设 K 是半径为
的球体。在 \ K 利用格林第二公式，得到
(2.5)
1 1 1 1 u (u u)dxdydz (u ( ) )dS r r n r r n 般的有
1 1 1 u ( u ( ) )dS 4 n rM 0 M rM 0M n
(2.6)
M 0 0 1 1 u (2.7) (u ( ) )dS 2 u ( M 0 ) M 0 n rM 0 M rM 0 M n 4 u ( M 0 ) M 0 , 定理2.1 设函数 u 在以曲面 为境界的区域内的调和函数，在
上的连续，它们的所有二阶偏导数在 内连续。在上式中令
v v v P u ,Q u , R u ，得到格林第一公式 x y z
uvdxdydz u
v u v u v u v dS ( + + )dxdydz n x x y y z z
(2.8)
F (M ) d rM 0 M u | f 有解的必要条件是 对于诺伊曼内问题 n
f dS 0 n
由(2.6)和(2.8)，以及叠加原理知道
v(M 0 )
F (M ) d rM 0 M
是迫松方程
u F 的特解。
2. 平均值定理
导数的任意函数，则成立
{
P Q R )+ + }dxdydz x y z
( P cos(n, x) Q cos(n, y ) R cos(n, z ))dS
其中， n 是
的外法线方向。
设函数 u u ( x, y, z ) 和 v v( x, y, z ) 以及它们的所有一阶偏导数在闭区域
注意：
(2.6)
1 u 1 u d S dS 0 a a n a rM 0 M n
和
u
a
1 1 ( )dS 2 udS n rM0 M a a
所以有
u(M 0 )
1 udS 2 4 a a
其在区域 的内点
3.极值原理
(2.1)
在(2.1)中交换函数 u , v 得到
vudxdydz v
u v u v u v u dS ( + + )dxdydz n x x y y z z
(2.2)
两式相减得到格林第二公式
(uv vu)dxdydz (u
数学物理方程
Equations of mathematical physics 姚志远
南京航空航天大学航空宇航学院
Zyyao@
§ 2
格林公式及其应用
1、格林(Green)公式 设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域(可以是多联通区域)，
P( x, y, z ),Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 是在 上的连续，在 有连续偏
同样可证明狄利克莱外问题(1.5)的稳定性。
v u v )dS n n
(2.3)
定义 设 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 是区域 内的一固定点。称函数
v
1 rM0 M
1 ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2
(2.4)
为三维拉普拉斯方程的基本解。 性质 1.在 内，基本解满足方程
定理2.2 (平均值定理)设函数 u( M ) 在某区域 内调和， M 0 是 中 的任意一点。则对以M 0为中心、a为半径完全落在区域
的内部的球面
(2.11)
a ，成立
1 u(M 0 ) udS 4 a 2 a
证明 由 公式(2.6)得到
1 1 1 u u(M 0 ) (u ( ) )dS 4 a n rM0M rM0M n
以及
1 u 1 u 1 u u dS dS 4 dS 4 2 n 4 n n r n
由(2.5)式得到
(u
1 1 u ( ) )dS n r r n
1 1 u u (u ( ) )dS 4 u 4 0 n r r n n
注意：在 \ K 有 u 0, 0 在球面 K 上，有
1 r 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 n r r r r
所以
(u
1 1 1 ( ))dS 2 udS 4 u d S 4 u n r 4 2
最终推得
u(M ) m,M
推论1 在有限区域 内调和函数、在 为连续的函数必在边界 上最大值和最小值。 推论2 设u及v都是区域 内调和函数、在 连续。如果在边界
成立不等式 u v 那么在 内也成立上述不等式。 并且仅当在 上u v 时，在 内才会相等。
上有连续一阶导数，则
证明：在公式(2.3)中取 u 为调和函数，和 v 1 即得证。
u dS 0 n
同样，如果 u 在 内有连续一阶导数，而在区域 内，u F 就有
u(M 0 )
1 4
(u
1 1 u ( ) )dS n rM 0 M rM 0 M n
定理2.3 (极值原理)对不恒等于常数的调和函数 u 上的值不可能达到它在 上的上界或下界。
M 0 是 证明 设调和函数u不恒等于常数，且在区域 上的上界为 m ，
内的点，有 u ( M 0 ) m 以
M 0为球心在
内作半径为R的球K，其球面为 S R ，在
SR
上有
u(M ) m
2u 2u 2u + 2 + 2 ( x x0 , y y0 , z z0 ) 2 x y z
假设 K 是半径为
的球体。在 \ K 利用格林第二公式，得到
(2.5)
1 1 1 1 u (u u)dxdydz (u ( ) )dS r r n r r n 般的有
1 1 1 u ( u ( ) )dS 4 n rM 0 M rM 0M n
(2.6)
M 0 0 1 1 u (2.7) (u ( ) )dS 2 u ( M 0 ) M 0 n rM 0 M rM 0 M n 4 u ( M 0 ) M 0 , 定理2.1 设函数 u 在以曲面 为境界的区域内的调和函数，在
上的连续，它们的所有二阶偏导数在 内连续。在上式中令
v v v P u ,Q u , R u ，得到格林第一公式 x y z
uvdxdydz u
v u v u v u v dS ( + + )dxdydz n x x y y z z
(2.8)
F (M ) d rM 0 M u | f 有解的必要条件是 对于诺伊曼内问题 n
f dS 0 n
由(2.6)和(2.8)，以及叠加原理知道
v(M 0 )
F (M ) d rM 0 M
是迫松方程
u F 的特解。
2. 平均值定理
导数的任意函数，则成立
{
P Q R )+ + }dxdydz x y z
( P cos(n, x) Q cos(n, y ) R cos(n, z ))dS
其中， n 是
的外法线方向。
设函数 u u ( x, y, z ) 和 v v( x, y, z ) 以及它们的所有一阶偏导数在闭区域
注意：
(2.6)
1 u 1 u d S dS 0 a a n a rM 0 M n
和
u
a
1 1 ( )dS 2 udS n rM0 M a a
所以有
u(M 0 )
1 udS 2 4 a a
其在区域 的内点
3.极值原理
(2.1)
在(2.1)中交换函数 u , v 得到
vudxdydz v
u v u v u v u dS ( + + )dxdydz n x x y y z z
(2.2)
两式相减得到格林第二公式
(uv vu)dxdydz (u
数学物理方程
Equations of mathematical physics 姚志远
南京航空航天大学航空宇航学院
Zyyao@
§ 2
格林公式及其应用
1、格林(Green)公式 设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界区域(可以是多联通区域)，
P( x, y, z ),Q( x, y, z ), R( x, y, z ) 是在 上的连续，在 有连续偏