高等数学第八章多元函数积分学优秀课件

f ( x, y)d f ( x, y)d f ( x, y)d .
D
D1
D2
性质４ 若 为D的面积， 1 d d .
D
D
性质５ 若在D上 f ( x, y) g( x, y),
则有 f ( x, y)d g( x, y)d .
z
设有一立体. 其底面是
xy 面上的区域D, 其侧面为
母线平行于 z 轴的柱面, 其
0
顶是曲面 z= f (x, y)0, 连续.
称为曲顶柱体.
x
z = f (x,y)
y D
如图
若立体的顶是平行于 xy 面的平面. 则平顶柱体的体积 = 底面积×高.
(i)用曲线将D分成 n 个小区域 D1, D2,…, Dn , 每个小区域Di 都对应着一个小曲顶柱体.
3. 求和
n
V f (i ,i ) i .
i 1
n
4. 取极限
V
lim
0 i1
f
(i ,i ) i .
max{ 1, 1,, n }
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D ，在点 ( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在 D 上连 续，平面薄片的质量为多少？
则
b
a
f
( x)dx
lim
0
n
i1
f
(i
)xi
当f
(
x)
0时,
b
a
f
(
x)dx在几何上表示曲边梯形面积.
如图
y
y = f (x)
f ( i)
其中 i[xi, xi+1],
xi = xi+1 xi , 表小区
间[xi, xi+1]的长, f ( i)
xi表示小矩形的面积.
0 a xi i xi+1 b x
曲顶柱体体积
f ( i , i)
Di
( i , i)
n
(iii)因此, 大曲顶柱体的体积 V f (i ,i )i
i1
分割得越细, 则右端的近似值越接近于精
确值V, 若分割得"无限细", 则右端近似值
会无限接近于精确值V.
n
若 lim f (i ,i )i 存在 i 1 n 则 V lim f (i ,i ) i i 1
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.
(2) 二重积分值仅与 f ( x, y) 及 D 有关，与积分变量符 号无关，即
f ( x, y)d f (u,v)d
D
D
(3) 当 f ( x, y)在闭区域上连续时，定义中和式的极 限必存在，即二重积分必存在.
二重积分的几何意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．
如图
z
z = f (x,y)
z = f (x,y)
0
x Di
y
D
Di
(ii)由于Di很小, z = f (x,y)连续, 小曲顶柱体
可近似看作小平顶柱体.
( i , i) Di .
z = f (x,y)
小平顶柱体的高 = f ( i , i). 若记 i = Di的面积.
则小平顶柱体的体积
= f ( i , i) i 小
当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负 值．
z
z f (x, y)
z
o D• x
(i ,i ) y
i
o xD
y
•
(i ,i )
i
z f (x, y)
在直角坐标系下用平行于坐 y
标轴的直线网来划分区域D，
则面积元素为
d dxdy
o 故二重积分可写为
dy
D dx
x
f ( x, y)d f ( x, y)dxdy
将薄片分割成若干小块，
y
取典型小块，将其近似
看作均匀薄片，
•
所有小块质量之和
近似等于薄片总质量
o
n
M
lim
0
i 1
(i
,i
)
i
.
(i ,i )
i x
二、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域 D 上的有界函数，将闭区域
D 任意分成 n 个小闭区域 1， 2 , …， n ,其中
(iv) 记 m1iaxn{Di的直径},
其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.
如图
n
x
则
V
lim
0 i1
f
(i ,i
)i ,
y Di
其中 ( i , i) Di , i = Di 的面积.
求曲顶柱体体积的方法：
分割、取近似、
求和、取极限。
z
z f (x, y)
o xD
y
•
(i ,i )
D
D
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质）
性质１
当 k 为常数时，
kf ( x, y)d k f ( x, y)d .
D
D
性质２
[ f ( x, y) g( x, y)]d
D
f ( x, y)d g( x, y)d .
D
D
性质３ 对区域具有可加性 ( D D1 D2 )
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极 限”的方法．
一、例
1.求曲顶柱体的体积V.
i
步骤如下：
1. 分割
z
z f (x, y)
D 任意分成 n 个小闭区域1，
2 ,…， n , 其中 i 表示
第 i 个小闭区域，也表示它的面
o
积。对应的小曲顶柱体体积为Vi . x D
2. 取近似
y
•
(i ,i )
i
在每个 i 上任取一点 (i ,i )，Vi f (i ,i ) i .
i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的面积，在每
个 i 上任取一点 (i ,i ) ，作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，并作和
n
fHale Waihona Puke Baidu(i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零时，
这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭
高等数学第八章多元函数 积分学
一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积 = 底面积 × 高 特点：平顶.
柱体体积 = ？ 特点：曲顶. 曲顶柱体
回忆定积分. 设一元函数 y = f (x) 在[a, b]可积.
区域 D 上的二重积分，记为 f ( x, y)d ，即
D
n
D
f (x,
y)d
lim
0 i1
f (i ,i ) i .
面积元素
n
D
f ( x, y) d
lim
0
i 1
f (i ,i ) i
积 被积 分 积分 区 函变 域 数量
f ( x, y) d ------ 被积表达式
对二重积分定义的说明：