质点动力学的基本方程

第十章 质点动力学基本方程

10-3 半径为R 的偏心轮绕O 轴以匀角速度ω转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。导板顶部放有一质量为m 的物块A ，设偏心距e OC =，开始时OC 沿水平线。求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω最大值。

解：建立如图所示直角坐标系Oxy ，导板与物块均沿y 轴线作直

线运动，导板作平动，其运动规律为

t e R y ωsin +=

对时间求二阶导数得

t e a y ωωsin 2-=

物块A 受重力m g 和导板的约束反力N F 作用如图)a (。

物块对导板的压力与N F 等值、反向、共线。由图(a)得物块A

的运动微分方程在y 轴的投影式为

)

sin (2N N t e g m F ma mg F y

ωω-==- 1）物块对导板的最大压力 )(2N ωe g m F +=

2）要使物块不离开导板，则应有

0)(2min N ≥-=ωe g m F

即 2ωe g ≥

故 e

g =max ω 10-7 销钉M 的质量为0.2 kg ，水平槽杆带动，使其在半径为mm 200=r 的固定半圆槽内运动。设水平槽杆以匀速mm/s 400=v 向上运动，不计摩擦。求在图示位置时圆槽对销钉M 的作用力。

解：以水平槽为动系，速度分析如图)a (，v v =e

3

24.02

330cos e a ⨯==︒=v v v 受力与加速度分析如图(b)，

2222a n m/s 07.132.044.04

3=⨯⨯=⋅==r v r v a M r t n a a a =+M M 向铅直方向投影，得

2t n 2

n t t n m/s 23.13079.09238.030sin 30cos m/s 616.03

30cos 30sin =+=︒+︒====︒-︒M M Mx M M

M M a a a a a a a 设水平槽对M 的反力为F N ，圆槽对M 的反力为F ，则

N 284.0232.12.03

23230cos =⨯⨯===︒Mx Mx

ma F ma F 10-9 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当m 10000=r 、

︒=60θ、rad/s 02.0=θ且2rad/s 003.0=θ

&时，火箭的质量为5000 kg 。求此时的喷射反推力F 。

解：此题为已知运动求力。

用极坐标与直角坐标系描述运动的变换关系

θsin r y =

θθθ&&&⋅+=cos sin r r y

2sin cos cos 2sin θθθθθθθ&&&&&&&&&r r r r y -++= （1）

约束条件 m 5000cos ==θr x （常数）

故 0sin cos =⋅-=θθθ&&&r r x ，θθ&&⋅=tan r r （2）

0sin cos sin 2cos 2=---=θθθθθθθ&&&&&&&&&r r r r x 所以 θθθθθ&&&&&&&⋅++⋅=tan tan 22r r r r （3）

由已知，m 10000=r ，︒=60θ时，rad/s 02.0=θ

&，2rad/s 003.0=θ&& 代入式（2）得 m /s 4.34602.0310000=⨯⨯=r & （4）

式（4）代入（3），得 22m/s 96.79003.0310000)02.0(1000002.0320032=⨯+⨯+⨯⨯=r &&（5） 式（4），（5）代入（1），得

2m/s 7.87=y &&

由质点动力学方程 y

m mg F &&=- 所以 kN 488)7.878.9(5000)(=+=+=y g m F &&

10-13 图示一质点带有负电荷e ，其质量为m ，以初速度v O 进入强度为H 的均匀磁场中，该速度方向与磁场强度方向垂直。设已知作用于质点的力为)(H v F ⨯-=e ，试求质点的运动轨迹。

提示：解题时宜采用在自然轴上投影的运动微分方程。

解：取质点为研究对象，其受力与运动分析如图，选图示坐标系mnt ，质点在mnt 平面内，也就是速度v 与力F 决定的平面内运动。写出质点沿t 及n 轴的运动微分方程

0d d =t

v m

（1） evH v m =ρ

2

（2） 由式（1）解得 0v v ==常量

代入式2）得 eH mv 0=ρ 所以质点运动轨迹为由进入磁场位置起的半径为eH

mv 0=ρ的圆弧。