多元函数求极值拉格朗日乘数法

第八节多元函数的极值及其求法

教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求

极值方法，并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义设函数),(y x f z

在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的

点，如果都适合不等式

00(,)

(,)f x y f x y ，

则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。如果都适合不等式

),()

,(00y x f y x f ，

则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。

例1函数2

2

43y x

z

在点（0，0）处有极小值。因为对于点（

0，0）的任一邻域内

异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。从几何上看这是显然

的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面

2

2

43y x

z

的顶点。

例２函数2

2

y x

z

在点（0，0）处有极大值。因为在点（

0，0）处函数值为零，

而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于

xOy 平面下方的锥面2

2

y x

z

的顶点。

例３

函数xy z 在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（

0，0）

处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件）设函数),(y x f z 在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极

值，则它在该点的偏导数必然为零：

证不妨设),(y x f z

在点),(00y x 处有极大值。依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域

内异于),(00y x 的点都适合不等式

特殊地，在该邻域内取

0y y

，而0x x 的点，也应适合不等式

这表明一元函数f ),(0y x 在0x x 处取得极大值，因此必有

类似地可证

从几何上看，这时如果曲面

),(y x f z

在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面

成为平行于xOy 坐标面的平面00

z z 。

仿照一元函数，凡是能使

)

,(,0)

,(y x f y x f y x 同时成立的点),(00y x 称为函数)

,(y x f z

的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点（0，0）是函数xy z

的驻点，但是函数在该点并无极值。

怎样判定一个驻点是否是极值点呢？下面的定理回答了这个问题。

定理2（充分条件）设函数),(y x f z 在点),(00y x 的某邻域内连续且有一阶及二阶连

续偏导数，又0)

,(,0)

,(0000y x f y x f y x ，令

则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下：

(1)02

B

AC

时具有极值，且当0A 时有极大值，当0A 时有极小值；

(2)02

B

AC

时没有极值；

(3)02

B

AC

时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。

这个定理现在不证。利用定理1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数

),(y x f z

的

极值的求法叙述如下：

第一步解方程组

求得一切实数解，即可以得到一切驻点。

第二步对于每一个驻点),(00y x ，求出二阶偏导数的值A ，B 和C 。

第三步定出2

B A

C 的符号，按定理2的结论判定00(,)f x y 是否是极值、是极大值还是

极小值。

例1求函数x y

x

y

x

y x f 933)

,(2

2

3

3

的极值。

解先解方程组

求得驻点为（1,0）、（1,2）、（-3,0）、（-3,2）。

再求出二阶偏导数

在点(1,0)处，06

122

B

AC

又0A

，所以函数在(1,0)处有极小值(1,0)5f ；

在点(1,2)处，0)

6(122

B

AC

，所以f (1,2)不是极值；

在点(-3,0)处，06

122

B

AC

，所以f (-3,0)不是极值；

在点(-3,2)处，0)

6(122

B

AC 又0A 所以函数在(-3,2)处有极大值f

(-3,2)=31。

例2某厂要用铁板作成一个体积为2m 3

的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样的

尺寸时，才能使用料最省。

解设水箱的长为xm ，宽为ym ，则其高应为m

xy

2

，此水箱所用材料的面积

)

2

2(2xy x

xy

y

xy A ，

即

)

22(2y

x

xy

A （0x

，0y ）

可见材料面积A 是x 和y 的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最小值的点

),(y x 。

令

)2(22

x

y

A x

，

解这方程组，得：