河海大学数值分析2013年试卷

河海大学2013-2014 学年研究生

《数值分析》试题(A)

任课教师姓名

姓名 专业 学号 成绩

一、填空题 (每小题4分, 共24分)

1、圆周率 3.141592653π= ，则其近似值 ˆ 3.1415π

= 具有多少位的有效数字？________________。

2、考虑赋值语句sin y x x ←-, 因为对小的x 值sin x x ≈,所以这个计算涉及有效位丢失,怎样才能避免这种情况? _________________ .

3、写出求解非线性方程sin 5x x =的牛顿迭代格式______________________________ __；

以及弦截法迭代格式 _________________ 。

4、给定矩阵1204A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1A =_________, 2A =_________, A ∞=_________, 条件数()cond A ∞=____________，谱半径()A ρ=____________。

5、写出求解()b

a

f x dx ⎰的复化辛普森求积公式______________________________________,

6、考虑矩阵2646

171741720A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭

，求分解T A LDL =，其中D 是对焦阵，L 是单位下

三角阵。则D=_____________________; L=_____________________。

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二、(本题12分)

给定数据表如下：

分别用拉格朗日和牛顿插值法求f(x)的二次插值多项式，

三、(本题10分)

求函数()ln f x x =，[1,2]x ∈的一次最佳平方逼近多项式。

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四、(本题12分)

设线性方程组

123

123

123

221

1 221 x x x

x x x

x x x

+-=

⎧

⎪

++=

⎨

⎪++=

⎩

，

写出解此方程组的雅可比迭代格式和高斯-赛德尔迭代格式，并讨论收敛性。

五、(本题10分)

应用龙贝格算法求出积分

3

1dx x

⎰的值;

《数值分析》2013级(A) 第3页共5页

用反幂法求矩阵312101421⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

的绝对值最小的特征值及其对应的特征向量，取初值

0111u ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

，迭代2次，写出结果。

七、(本题12分)

考虑求解一阶常微分方程初值问题000'(,),[,]()y f x y x x b y x y =∈⎧⎨

=⎩， (1).写出改进的欧拉格式；

(2).证明中点公式11(,(,))22

n n n n n n h y y hf x y hf x y +=++

+是二阶的。

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确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高，并指明所构造出的求积公式所 具有的代数精度：

20()[(0)()]/2['(0)'()]h

f x dx h f f h ah f f h ≈++-⎰。

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