周期数列详解

周期数列

一、周期数列的定义：

类比周期函数的概念，我们可定义：对于数列}{n a ，如果存在一个常数

T )(+∈N T ，使得对任意的正整数0n n >恒有n T n a a =+成立，则称数列}{n a 是从第0

n 项起的周期为T 的周期数列。若10=n ，则称数列}{n a 为纯周期数列，若20≥n ，则称

数列}{n a 为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。

设{An}是整数,m 是某个取定的大于1的正整数,若Bn 是An 除以m 后的余数,即Bn=An(mod m),且Bn 在{0,1,2,...,m-1},则称数列{Bn}是{An}关于m 的模数列,记作{An(mod m)}。若模数列{An(mod m)}是周期的,则称{An}是关于模m 的周期数列。

二、 周期数列的性质

1、周期数列是无穷数列，其值域是有限集；

2、如果T 是数列}{n a 的周期，则对于任意的+∈N k ，kT 也是数列}{n a 的周期。

3、若数列}{n a 满足21---=n n n a a a （+∈N n ，且2>n ），则6是数列的一个周期。

4、已知数列}{n a 满足n t n a a =+（+∈N t n ,，且t 为常数），n S 分别为}{n a 的前n 项的和，若r qt n +=（t r <≤0，+∈N r ），则r n a a =，r t n S qS S +=。

特别地：数列}{n a 的周期为6，（即：n n a a =+6）则262012335S S S += 5、若数列}{n a 满足s a a k n n =+-),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列； 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =+++-- 1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。 若数列}{n a 满足s a a a k n n n =⋅⋅⋅-- 1)0,,(≠∈>+s N n k n ，则数列}{n a 是周期数列。

特别地：数列}{n a 满足s a a n n =+-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2；

数列}{n a 满足s a a a n n n =++--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3 数列}{n a 满足s a a n n =-1),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=2； 数列}{n a 满足s a a a n n n =--21),(+∈>N n k n ，则数列}{n a 周期T=3

6、若数列}{n a 满足,11d

ca b

aa a n n n --=

--a+d=0,则数列}{n a 是周期T=2；

例：数列}{n a 满足,3

7

311--=

--n n n a a a 则数列}{n a 是周期T=2；；

三、周期数列性质的简单应用 1、求数列的通项公式

（1）数列 1，2，1，2，1，2，… 的通项公式 解析：原数列可构造成：

2123-，2123+，2123-，2123+，2

123-，2

1

23+，…… ， 它的通项公式可以写成：2

1

)1(23⨯-+=

n n a (n∈ N)， 或者写成：)2sin(2123ππ

n a n -+=

( n∈ N)， 又或者写成：πn a n cos 2

1

23+=

(n∈ N)， 总结：一般的数列 a ，b ，a ，b ，a ，b ，…… 它的通项公式可以写成：

πn a b b a a n cos )(2

1

)(21-++=

( n ∈ N) （2）1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式

解析：该数列周期为3，我们把它与周期为π的函数x y tan = 进行改造，使它们能发生

联系。事实上，当 x 分别为3π-

，0，3π，3

2π，π，34π，……时，x tan 的值分别为

3-，0，3，3-，0，3，……

这样1-，0，1，1-，0，1，……的通项公式可以写成：

π)2tan(3

1-n

所以，原数列的通项公式为 π)2tan(3

12-+

=n b n (n ∈N )

（3）数列}c {n ：1，2，3，4，1，2，3，4， ……的通项公式 解析：将原数列扩大2倍：2， 4， 6， 8， 2， 4， 6， 8，……

再减去平均数5得到：3-，1-， 1， 3，3-，1-， 1， 3，……

分解成两个数列：(1) 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1， 1-， 1，……

(2) 2-，2-， 2， 2， 2-， 2-， 2， 2，……

(1)的通项公式为n )1(- 易得，(2)的通项只要求出1+，1+，1-，1-，1+，1+，1-，

1-，……的通项便可以了，它与(2)相差一个系数2-。

以上数列的符号与正弦函数在四个象限的符号完全一致，它通项：

)4

1

21sin(21ππ-=

n c n (n∈N)，

∴ 2-，2-，2，2，2-，2-，2，2，……的通项为：

)4

1

21

sin(222ππ-

-=n c n (n∈N)， ∴ 3-，1-，1，3，3-，1-，1，3，……的通项为：

)4

1

21sin(22)1(3ππ---=n c n

n (n∈N)， 则原数列}c {n 的通项为：

)]4

1

21sin(22)1(5[21ππ---+=

n c n n (n∈N)。 （4）}{n c ：1，1，1，1，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，……的通项公式

乘以(－4)得：

4-，4-，4-，4-，8-，8-，8-，8-，12-，12-，12-，12-，……，

加上(n+4)得：1，2，3，4，1，2，3，4，1，2，3，4，……， 它的通项公式为：

)]4

1

21sin(22)1(5[21'ππ---+=

n c n n