常微分方程 第五章 线性微分方程组

第五章
线性微分方程组
云南师范大学数学学院 黄炯
例如，已知在空间运动的质点
的速度
与时间及点的坐标的关系为
且质点在时刻t经过点
求该质点的运动轨迹。
因为 ,所以这个问题其实就是求一阶微分方程组
满足初始条件 的解
（1.12）
。
另外，在n阶微分方程 中,令
就可以把它化成等价的一阶微分方程组
注意，这是一个含n个未知函数
5．4 一阶线性非齐次方程组的一般理论 本节研究一阶线性非齐次方程组
的通解结构与常数变易法. 5.4.1 通解结构 定理3.8 如果 是线性非齐次方程组(5.1)的解，而 是其对应齐次方程组(5.2)的解，则 是非齐次方程组(5.1)的解.
定理5.9 线性非齐次方程组(5.1)的任意两个解之差 是其对应齐次方程组(5.2)的解.
对任意常数
有
对任意常数
有Hale Waihona Puke Baidu
称‖Y‖和‖A‖分别为向量Y和矩阵A的范数。进而还有如下性质
有了以上准备，完全类似于第三章定理3.1， 我们有如下的关于初值问题(1)的解的存在与唯一性定理. 定理5.1 如果函数F(x,Y)在n+1维空间的区域
上满足： 1) 连续； 2) 关于Y满足李普希兹条件，即存在N>0,使对于R上任意两点
（5.2)
若
是方程组(5.2)的m个解，则 (5.4)
也是(5.2)的解，其中 是任意常数. 换句话说，线性齐次方程组(5.2)的任何有限个解的线性组合 仍为(5.2)的解.
定理5.2告诉我们，一阶线性齐次微分方程组(5.2)的 解集合构成了一个线性空间.为了搞清楚这个线性空 间的性质，进而得到方程组(5.2)的解的结构，我们 引入如下概念. 定义5.1 若有函数组 ，使得
再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.
为了简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1) 令n维向量函数
并定义
则(1)可记成向量形式
初始条件可记为
其中
这样，从形式上看，一阶方程组 与一阶方程式完全一样了。 进一步，对n维向量Y和矩阵
,
定义
易于证明以下性质：
当且仅当Y = 0(0表示零向量，下同);
W (x)对任一
对于一般的向量函数组,定理3.3的逆定理未必成立. 例如向量函数 的朗斯基行列式恒等于零，但它们却是线性无关的. 然而，当所讨论的向量函数组是方程组(5.8)的解时， 我们有下面的结论. 定理5.4 如果 是方程组(5.8)的n个线性无关解，则它的朗斯基行列式W(x) 在I上恒不为零.
中任一点
于是得到非齐次方程组(5.1)的通解公式 (5.19）
例1 求解方程组 解 向量函数组
是对应齐次方程组的基本解组.现在求非齐次方程组形如
的特解，此时(5.18)的纯量形式为
解之得
从而
最后可得该方程组的通解为
是方程组(3.20)的一个基本解组. 例1 试求方程组
的通解. 解 它的系数矩阵是
则该解组在I上必线性相关.
实际上，这个推论是定理5.4的逆否命题. 推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间I 上线性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式 W(x)在I上任一点不为零. 条件的充分性由推论5.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论5.2证明是显然 的．证毕．
2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．
上连续，则对于 上任一点x 以及任意给定的
方程组(5.1)的满足初始条件(5.3)的解在 上存在且唯一. 它的结论与定理3.1的不同之处是： 定理3.1的解的存在区间是局部的， 而定理5.1则指出解在整个区间 上存在.
5.2 一阶线性齐次方程组的一般理论 1．一阶线性齐次微分方程组解的性质 本节主要研究一阶线性齐次方程组(5.2)的通解 结构.为此我们首先从(5.2)的解的性质入手.
定理5.10 线性非齐次方程组(5.1)的通解等于其对应的 齐次方程组(5.2)的通解与方程组(5.1)的一个特解之和.即若 是非齐次方程组(5.1)的一个特解，
是对应齐次方程组(5.2)的一个基本解组，则方程组(5.1) 的通解为
这里
是任意常数.
5.4.2 拉格朗日常数变易法
在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程， 可用常数变易法求其通解.现在，对于线性非齐次 方程组，自然要问，是否也有常数变易法求其通解 呢?事实上，定理5.10告诉我们，为了求解非齐次 方程组(5.1)，只需求出它的一个特解和对应齐次方 程组(5.2)的一个基本解组.而当(5.2)的基本解组已 知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可 以求得(5.1)的一个特解. 为了计算简洁，我们定义(5.2)的基本解矩阵如 下：
由定理5.3和定理5.4立即得到如下的推论. 推论5.1 如果向量组(5.10)的朗斯基行列式W(x) 在区间I上的某一点处不等于零，即
,则向量组(5.10)在I上线性无关. 实际上，这个推论是定理5.3的逆否命题. 推论5.2 如果方程组(5.8)的n个解的朗斯基行列式 W(x)在其定义区间I上某一点x0等于零，即
的一阶微分方程组。
含有n个未知函数 的一阶微分方程组的一般形式为：
此方程组在
上的一个解，是这样的一组函数
使得在
上有恒等式
含有n个任意常数 的解
称为方程组的通解. 如果通解满足方程组
则称后者为(1)的通积分. 如果已求得(1)的通解或通积分，要求满足初始条件
的解，可以把此初始条件代入通解或通积分之中，得到关于 的n个方程式，如果从其中解得
通常把它称为向量组(5.10)的朗斯基(Wronski)行列式.
定理5.3 如果向量组(5.10)在区间I上线性相关，则它们的 朗斯基行列式W(x)在I上恒等于零. ,使得 证明 依假设，存在不全为零的常数
把上式写成纯量形式，有
这是关于 的线性齐次代数方程组，且它对任一 都有非零解 根据线性代数知识，它的系数行列式 都为零.故在I上有W(x)≡0.证毕.
我们把一阶线性齐次方程组(5.2)的n个线 性无关解称为它的基本解组. 例4 易于验证向量函数
是方程组
的基本解组. 定理5.5 方程组(5.2)必存在基本解组.
定理5.6 如果 是齐次方程组(5.2)的基本解组，则其线性组合
是齐次方程组(5.2)的通解,其中 为n个任意常数.
推论5.4 线性齐次方程组(5.2)的线性无关解的个数不能多于n 个.
我们把(5.2)称为一阶线性齐次方程组。 如果(5.2与(5.1)中A(x)相同，则称(5.2)为(5.1)的对应的 齐次方程组.与第二章中关于一阶线性微分方程的结果类似， 我们可以证明如下的关于(5.1)的满足初始条件(5.3)的解的存 在与唯一性定理.
（5.3)
定理5.1′ 如果(5.1)中的A(x)及F(x)在区间I =
特征方程是
即
所以矩阵A的特征根为 ．先求 对应的特征向量
a, b, c满足方程
即
可得
取一组非零解，例如令 ，就有 , , .同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是
故方程组的通解是
在区间I上恒成立，则称这m个向量函数在区间I上线性相关； 否则称它们在区间I上线性无关. 显然，两个向量函数 的对应分量成比例是它们在区间I上线性相关的充要条件. 另外，如果在向量组中有一零向量， 则它们在区间I上线性相关.
例3中两个向量函数的各个对应分量都构成线性相关函 数组.这个例题说明，向量函数组的线性相关性和由它 们的分量构成的函数组的线性相关性并不等价. 下面介绍n个n维向量函数组 (5.10) 在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则. 我们考察由这些列向量所组成的行列式
有 则初值问题(1)的解在
上存在且唯一，其中
5.2 一阶线性微分方程组的一般概念
方程组（1）
关于
是线性的。
如果在一阶微分方程组(1)中，函数 为线性的。
则称(1)为一阶线性微分方程组。我们总假设(1)的系数 及 在某个区间 向量形式： 记：
上连续。
向量形式 （5.1) 如果在I上， ,方程组变成 （5.2)
3．刘维尔公式 齐次方程组(5.2)的解和其系数之间有下 列联系. 定理5.7 如果
是齐次方程组(5.2)的n个解，则这n个解的朗斯基行列式 与方程组(5.2)的系数有如下关系式
这个关系式称为刘维尔(Liouville)公式.
在代数学中， 的迹，记作
称为矩阵 ，因此刘维尔公式可表为
从刘维尔公式可以看出，齐次方程组（5.2）的几个解 所构成的朗斯基行列式W(x) 或者恒为零，或者恒不为零．
其中每一列均为(5.2)的解
，且 是(5.2)的一个基本解组.因此
.
由定理5.6知，齐次方程组(5.2)的通解可表为
,
其中C为列向量
现在求(5.1)的形如 的解，其中
(5.17)
为待定向量函数. 将(5.17)代入(5.1)有
其中
因为
是(5.2)的基本解矩阵，所以有 (5.18)
从而，上式变为 由于 存在，于是 积分得 代入(5.17)得到 是非奇异矩阵，故