常微分方程第一章

第一章

一阶微分方程

1.1学习目标：

1. 理解微分方程有关的基本概念, 如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等的定义和提法. 掌握处理微分方程的三种主要方法: 解析方法, 定性方法和数值方法.

2. 掌握变量分离法，用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程的猜测检验法, 常数变易法和积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解和掌握一阶线性方程的通解结构和性质.

3. 能够大致描述给定一阶微分方程的斜率场, 通过给定的斜率场描述方程解的定性性质; 理解和掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单的近似计算.

4. 理解和掌握一阶微分方程初值问题解的存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解的存在性与唯一性并解决与之相关的问题, 了解解对初值的连续相依性和解对初值的连续性定理, 理解适定性的概念.

5. 理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线的概念, 能够画出给定自治方程的相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解的渐近行为.

6. 理解和掌握一阶单参数微分方程族的分歧概念, 掌握发生分歧的条件, 理解和掌握各种分歧类型和相应的分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族的分歧图解, 利用分歧图解分析解的渐近行为随参数变化的状况.

7. 掌握在给定的假设条件下, 建立与实际问题相应的常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型的各种分析.

1.2基本知识： (一) 基本概念

1. 什么是微分方程:

联系着自变量、未知函数及它们的导数（或微分）间的关系式（一般是 指等式），称之为微分方程. 2. 常微分方程和偏微分方程:

(1) 如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，则称这种微分方程为常微分方程,

例如 )(22t f cy dt dy b dt y d =++, 0)(2=++y dt

dy

t dt dy .

(2) 如果在微分方程中，自变量的个数为两个或两个以上，则称这种微分方程为偏

微分方程. 例如 02

22222=∂∂+∂∂+∂∂z

T

y T x T , t T x T ∂∂=∂∂422. 本书在不特别指明的情况下, 所说的方程或微分方程均指常微分方程. 3. 微分方程的阶数: 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数. 例如，

)(2

2t f cy dt dy

b dt

y d =++ 是二阶常微分方程； 02

22222=∂∂+∂∂+∂∂z

T

y T x T 与t T x T ∂∂=∂∂422是二阶偏微分方程. 4. n 阶常微分方程的一般形式：

(,,,...,)0n n dy d y

F t y dt dt

=,

这里(,,,...,)n n dy d y F t y dt dt 是,,,...,n n dy d y t y dt dt 的已知函数，而且一定含有n n d y

dt

的项；y 是未知函数，t 是自变量. 5. 线性与非线性：

（1） 如果方程(,,,...,)0n n dy d y F t y dt dt =的左端是y 及,...,n n dy d y

dt dt

的一次有理式，则称(,,,...,)0n n dy d y

F t y dt dt

=为n 阶线性微分方程. （2） 一般n 阶线性微分方程具有形式：

1111()...()()()n n n n n n d y d y dy a t a t a t y f t dt dt dt

---++++= 这里1()a t ,…, ()n a t ,()f t 是t 的已知函数.

（3）不是线性方程的方程称为非线性方程. （4） 举例：

方程)(22t f cy dt dy

b dt y d =++是二阶线性微分方程； 方程0sin 22=+φφl g

dt

d 是二阶非线性微分方程；

方程0)(

2=++y dt

dy t dt dy 是一阶非线性微分方程. 6. 解和隐式解：

如果将函数()y t ϕ=代入方程(,,,...,)0n n dy d y

F t y dt dt

=后，能使它变为恒等式，则称函数()y t ϕ=为方程的解. 如果关系式,0t y

Φ=（）决定的隐函数()y t ϕ=是

方程的解，则称,0t y

Φ=（）为方程的隐式解. 7. 通解与特解：

把含有n 个独立的任意常数n c c c ,...,,21的解 12(,,,...,)n y t c c c ϕ=称为n 阶方程

(,,,...,)0n n dy d y

F t y dt dt =的通解. 其中解对常数的独立性是指，对ϕ及其 1n -阶导数

11,...,n n d d dt dt

ϕϕ

--关于n 个常数 n c c c ,...,,21的雅可比行列式不为0, 即 1212(1)(1)(1)1

2

0n n n n n n

c c c c c c c c c ϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ---∂∂∂∂∂∂'''∂∂∂∂∂∂≠∂∂∂∂∂∂L L M M L M L

.

为了确定微分方程一个特定的解，通常给出这个解所必须满足的条件，称为定解条件.

常见的定解条件是初始条件, n 阶微分方程(,,,...,)0n n dy d y

F t y dt dt =的初始条件是指如下的n 个条件： 1(1)(1)00001,,...,n n n dy d y t t y y y y dt dt

---====，，这里(1)(1)

0000,,,...,n t y y y -是给定的n+1个常数. 求微分方程满足定解条件的解，就是所谓

定解问题. 当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题. 把满足初始条件的解称为微分方程的特解. 初始条件不同，对应的特解也不同.

(二) 解析方法

1．变量分离方程 形如

()()dy

f t y dt

ϕ=的方程为变量分离方程，其中(),()f t y ϕ分别为,t y 的连续函数.方程解法如下：若()0y ϕ≠，则

()()

()()dy

f t dt y dy

f t dt c

y ϕϕ==+⎰⎰