电路理论(新教材第8章-1)

1
(w t y i1 I m1 si n
同 相 位
同频正弦信号的相位关系 i2
y2 y1
i1
i2
t
i1
y1 y 2
相 位 超 前 相 位 滞 后
y 1 y 2 0
超前于 i 2 i t 1
y1 y 2
i1
y 1 y 2 0
y2
y1
i2
t i1 滞后于 i2
8.1.2 正弦量的有效值
R元件
已知 i(t ) 2I sin( wt y ) 则
R
uR (t ) Ri (t ) 2RI sin( wt y )
相量形式： 有效值关系：UR = RI
I IΨ

相位关系：u , i 同相
RI RI U R
I
相量关系
RI U R
波形图及相量图：
i
波形图
wt

瞬时值表达式
i Im sin(1000 t 30)
必须 小写

相量
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
？
例题
什么是相量？为什么引入相量？
已知： uS 10 2 sin(w t 300 )V 求： i=? R 解: + uC 根据KVL L + uL -
uC (0 ) 0V
jw L
I L
I C
I R
iL
iC C
R
U S
+ -
1/jw C
R
频域电路
IL IC IR 1 jω L I L IC US jω C 1 RIR IC jω C

频域列解代数(复数)方程
小 结
1. 单一参数电路中电压电流的基本关系式
电阻元件
i R + L + uL C
I
R
jw L + UL 1 jω C
.
u
-
+ uC -
+
U
.
+. -
UC
-
. . . . . . 1 . 由KVL： U U R U L U C R I jw L I j I wC 1 . ( R jw L j )I wC
. [ R j( X L X C )]I . ( R jX ) I
u, i 0 波形图 i
jwC U I
有效值关系 I=w C U
相位关系 i 超前u 90°
+ 1 U jw C 相量模型
u
I
U
wt
相量图
容抗
U 1 I wC
I=w CU XC
定义
1 wC
错误的写法 1 u wC i
1 U wC I
容抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 容抗的绝对值和频率成反比。
电路理论
主讲 谢榕
开课单位：电气与电子工程学院电工教学基地
第三章 正弦稳态分析
主讲
谢榕
第三章 正弦稳态电路分析
重点：
相位差 正弦量的相量表示


复阻抗复导纳
相量图 用相量法分析正弦稳态电路 正弦交流电路中的功率分析
8.1
正弦量
8.1.1 正弦量的三要素：
i
+
u
_
i(t)=Imsin(w t +y )
.
Z R j( X L X C )
实部为阻
-
+ UL 1 jω C
.
+.
-
UC
Z：复数阻抗
虚部为抗
感抗
容抗
复数形式的 欧姆定律
则
I Z U
关于复数阻抗 Z 的讨论
I
jwL I U
有效值关系 U=w L I
相位关系 u 超前 i 90° U
U
+ -
jw L
相量模型
u i
0
波形图
wt
相量图
I
感抗
U=w L I
错误的写法
u wL i
U wL I
XL= U/I =w L= 2 f L 单位: 欧 感抗的物理意义： (1) 表示限制电流的能力； (2) 感抗和频率成正比。
XL
w 0(直流), X L 0, 短路; w , X L , 开路;
w
(3) 由于感抗的存在使电流落后电压。
3-4-3
i (t) + u(t) 时域模型
C元件 时域
u(t ) 2U sinwt
C
频域
U0o U
I
du( t ) i(t ) C dt 2wCU coswt 2wCU sin ( wt 90o )
电路参数用复数阻抗（R R、L jX L、C jX C ) 表示，则复数形式的欧姆定律和直流电路中的形式相 似。 复数形式的欧姆定律
I R U
电阻电路
I ( j X ) U L
电感电路
I ( j X ) U C
电容电路
例题： 电路如图所示，已知: uC的初相角为
I
1 T

T
0
i dt
2
（均方根值）
当
i I m sin (w t y ) 时， 可得
Im I 2
同样，可定义电压有效值： U
def
1 T

T
0
u 2 (t )dt
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系： 1 U Um 或 U m 2U 2 若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V； U=380V， Um537V。 工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌 额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是 最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。 测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。 * 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
R
试确定: uL、 uR和i的初相角并定性作出相量图。 i
6
L
C
+ u R - + uL - + u C
思考题 电路如图所示，已知: iL的初相角为

6
试确定: iC、 iR和u的初相角并定性作出相量图。
+ u R L C
-
iR
iL
iC
8.3 阻抗和导纳 阻抗(RLC串联电路) 一、R、L、C串联电路 .
y
： t = 0 时的相位，称为初相位或初相角。
i
wt
y
说明： y 给出了观察正弦波的起点或参考点， 常用于描述多个正弦波相位间的关系。
两个同频率正弦量间的相位差( 初相差)
i1
y2
பைடு நூலகம்
i2
wt
y1
) (w t y 2 ) i2 I m 2 si n (w t y 2 ) (w t y 1 ) y 2y 1




j i I Ie I i
称 I I i 为正弦量 i(t) 对应的相量。

i ( t ) 2 I sin( w t i ) I I i
加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 ( 强调它与 正弦量的联系)，故给它一个专门的名字“相量”。 同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
I
.
R
jw L + UL 1 jω C
.
+
U
.
+.
-
UC
U L U U L C
U
-
相量表达式：
I R j( X X ) U L C
U C
电压 三角形
U R
I
先画出参 考相量
I R j( X X ) U L C
令
I
.
R
jw L
+
U
XC
w 0(直流), X C , 隔直作用; w , X C 0, 旁路作用;
w
(3) 由于容抗的存在使电流领先电压。
电路的相量模型 (phasor model ) iR L uS + 时域电路 i L iC i R di L 1 L i C dt uS dt C 1 Ri R i C dt C 时域列解微分方程 求非齐次方程特解
正弦量三要素之三 —— 角频率
i
wt
T
描述变化周期的几种方法：
1. 周期 T： 变化一周所需的时间 单位：秒，毫秒.. 2. 频率 f： 每秒变化的次数 单位：赫兹，千赫兹 ...
3. 角频率 ω ： 每秒变化的弧度
单位：弧度/秒
1 f T
2 w 2 f T
8.2 相量法 正弦量的表示方法：
U R
相量模型
+
R
U R
uR
i
O
I
wt
u=i
3-4-2
i( t) + u (t) 时域模型 L
L元件 时域
i(t ) 2I sinwt
di ( t ) u( t ) L dt 2wL I coswt 2wL I si n ( wt 90o )
u, i
频域
I0o I
Im
i
wt
y
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值) Im
(2) 角频率(angular frequency) w
(3) 初相位(initial phase angle) y
8.1.2
同频率正弦量的相位关系
i
(w t y ) 2I sin
（wt y） ：正弦波的相位角或相位。
U
wt
瞬时值
相量图
I
复数
j U a jb U e U
表示法
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标 复数、相量 --- 大写 + “.”
u、i
U、I
Um
U
正误判断
u 100si nw t U
瞬时值
？
相量
j15 U 50 e 50 2 sin( w t 15 )
？
相量
瞬时值
正误判断
已知：
i 10 sin( w t 45 )

10 I 45 2
？
j45

有效值
45 I m 10 e
？
正误判断
已知：u 则：
U 10 ？
2 10 si n( w t 15 )
j15 U 10e ？
50 已知： I 100
概念 ：一个正弦量的瞬时值可以用一个旋转的有向线段
在纵轴上的投影值来表示。
u U m sin(w t )
ω

Um
wt

矢量长度 = U m 矢量与横轴夹角 = 初相位 矢量以角速度 ω 按逆时针方向旋转 旋转相量在纵轴上的投影就是正弦函数
小结：正弦量的四种表示法
i
波形图
Im
T

u U m sin(w t )

u( t ) 2U sin( w t θ ) U Uθ 相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：

i ( t ) 2 I sin( w t ) I I
U


u( t ) 2U sin( w t θ ) U Uθ
I





不同频率的相量不能画在一张向量 图上。
相量是复数，常用三种形式表达：
Ie j A ①指数型： I
I ②极坐标型： I
③代数型：
I (cos j sin ) I a jb
可见所谓相量计算，是一种变换的思想， 即借助于复数这个数学工具，将时域分析中的 微分方程计算转换为复数运算方程。
相量的几何意义
R
基本关系 复阻抗
u iR
R
I
U
电感元件
di L 基本关系 u L dt 复阻抗 jX L jw L
C
基本关系 复阻抗
U
I I
电容元件
1 jX C j wC
du iC dt
U
2. 单一参数电路中复数形式的欧姆定律
、I 表示， 在正弦交流电路中，若正弦量用相量 U
i
+
us
-
C
uS uR uL uC uR iR di uL L dt 1 uC uC (0 ) idt C 0
运算复杂
di 1 uS Ri L dt C


0
idt
8.2.1
正弦量与相量的对应关系
e j cos j sin
利用数学上的欧拉公式: 式中: 令:
j15

则： i
100si n( wt 50 ) ？
最大值
I m 2I 100 2
8.2.3 KVL、KCL的相量形式
基尔霍夫定律的相量形式
i(t ) 0 u(t ) 0

I 0 0 U
8.2.4
电路的相量模型
3-4-1
i(t) + uR(t) -
i I m sin (w t y )
最大值
电量名称必须大 写,下标加 m。 如：Um、Im
Im
为正弦电流的最大值
周期性电压、电流的瞬时值都随时间变化，因此 常用“有效值”来衡量电量的大小。
有 效 值 概 念
热效应相当
有效值
2

T
0
i R dt I RT
2
电量必须大写
交流
直流
如：U、I
则有
j 1
则:
w t i
j (wt i )
2 Ie
2I cos(w t i ) j 2I sin(w t i )
i 2 I sin(w t i ) Im 2 Ie j (w t i )
Im 2Ie
其中:


j i
e jw t e jw t Im 2I