文科数学解三角形专题练习【附答案】

解三角形专题练习

1、在b 、c ，向量(2sin ,m B =，2cos 2,2cos 12B n B ⎛

⎫=- ⎪⎝

⎭，且//m n 。

（I ）求锐角B 的大小；

（II ）如果2b =，求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值。

2、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且.cos cos 3cos B c B a C b -= （I ）求cos B 的值；

（II ）若2=⋅BC BA ，且22=b ，求c a 和b 的值.

3、在ABC ∆中，cos 5A =

，cos 10

B =. （Ⅰ）求角

C ；

（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.

4、在△ABC 中，A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知向量(1,2sin )m A =，

(sin ,1cos ),//,3.n A A m n b c a =++=满足

（I ）求A 的大小；

（II ）求)sin(6π

+B 的值.

5、△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且有sin2C+3cos （A+B ）=0，.当

13,4==c a ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 2

3

A B ==，且最长边的边长为l.求：

（I ）角C 的大小； （II ）△ABC 最短边的长.

7、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

c o s c o s B C b

a c

=-+2. （I ）求角B 的大小；

（II ）若b a c =+=134，，求△ABC 的面积.

8、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，

2

3cos )cos(=

+-B C A ,ac b =2

，求B.

9、（2009天津卷文）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5=== （Ⅰ）求AB 的值。 （Ⅱ）求)4

2sin(π

-A 的值。

1、 (1)解：m ∥n

2sinB(2cos2B

2

－1)＝－3cos2B

2sinBcosB ＝－3cos2B tan2B ＝－ 3

……4分

∵0＜2B ＜π,∴2B ＝

2π3,∴锐角B ＝π

3

……2分 (2)由tan2B ＝－ 3

B ＝

π3或5π

6

①当B ＝

π

3

时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac ≥2ac －ac ＝ac(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立) ……3分

∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝3

4ac ≤ 3

∴△ABC 的面积最大值为 3 ……1分

②当B ＝

5π

6

时，已知b ＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2＋3ac ≥2ac ＋3ac ＝(2＋3)ac(当且仅当a ＝c ＝6－2时等号成立) ∴ac ≤4(2－3)

……1分

∵△ABC 的面积S △ABC ＝12 acsinB ＝1

4ac ≤2－ 3

∴△ABC 的面积最大值为2－ 3

……1分

2、解：（I ）由正弦定理得C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===，

,

0sin .cos sin 3sin ,cos sin 3)sin(,cos sin 3cos sin cos sin ,cos sin cos sin 3cos sin ,cos sin 2cos sin 6cos sin 2≠==+=+-=-=A B A A B A C B B A B C C B B C B A C B B C R B A R C B R 又可得即可得故则

因此

.

31

cos =B …………6分

（II ）解：由2cos ,2==⋅B a BC BA 可得，

,,0)(,

12,cos 2,

6,3

1

cos 222222c a c a c a B ac c a b ac B ==-=+-+===即所以可得由故又 所以a ＝c ＝6

3、

（Ⅰ）解：由

cos 5A =

，cos 10B =，得02A B π⎛⎫∈ ⎪

⎝⎭、，

，所以sin sin A B =

= …… 3分

因为

cos cos[()]cos()cos cos sin sin C A B A B A B A B π=-+=-+=-+=

…6分

且0C π<< 故.

4C π

=

………… 7分

（Ⅱ）解：

根据正弦定理得

sin sin sin sin AB AC AB B AC C B C ⋅=⇒== ………….. 10分

所以ABC ∆的面积为16

sin .

2

5AB AC A ⋅⋅= 4、解：（1）由

m 0cos 1sin 22

=--A A 0

1cos cos 22

=-+A A 1cos 2

1

cos -==

∴A A 或1cos ,-=

∆A ABC A 的内角是 3π

=

∴A a

c b 3=+ 2

3

sin 3sin sin =

=+A C B π

32=+C B 2

3)32sin(

sin =-+∴B B π23

)6sin(23sin 23cos 23=

+=+∴πB B B 即π

=++=++C B A B A C 且0)cos(32sin 2

3

sin 0cos ,0cos 3cos sin 2=

==-C C C C C 或所以