新乡市第一中学数学有理数(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难）

1．如图，在数轴上，点A表示﹣5，点B表示10．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴负方向以每秒2个单位的速度匀速运动，设运动时间为t秒：

（1）当t为________秒时，P、Q两点相遇，求出相遇点所对应的数________；

（2）当t为何值时，P、Q两点的距离为3个单位长度，并求出此时点P对应的数．

【答案】（1）5；0

（2）解：若P、Q两点相遇前距离为3，则有

t+2t+3=10-(-5)，

解得：t=4，

此时P点对应的数为：-5+t=-5+4=-1；

若P、Q两点相遇后距离为3，则有

t+2t-3=10-(-5)，

解得：t=6，

此时P点对应的数为：-5+t=-5+6=1；

综上可知，当t为4或6时，P，Q两点的距离为3个单位长度，此时点P对应的数分别为-1或1.

【解析】【解答】（1）解：由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t；

若P，Q两点相遇，则有

-5+t=10-2t，

解得：t=5，

-5+t=-5+5=0，

即相遇点所对应的数为0，

故答案为5；相遇点所对应的数为0；

【分析】（1）由题意可知运动t秒时P点表示的数为-5+t，Q点表示的数为10-2t，若P、Q相遇，则P、Q两点表示的数相等，由此可得关于t的方程，解方程即可求得答案；（2）分相遇前相距3个单位长度与相遇后相距3个单位长度两种情况分别求解即可得.

2．若点A、B、C在数轴上对应的数分别为a、b、c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|＝0.

（1）在数轴上是否存在点P，使得PA+PB＝PC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由；

（2）若点A，B，C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒5个单位长度沿着数轴正方向运动经过t秒后，试问AB﹣BC的值是否会随着时间t的变

化而变化？请说明理由.

【答案】（1）解：∵a，b，c满足|a+5|+|b﹣2|+|c﹣3|=0，∴a=﹣5，b=2，c=3.

设点P对应的数为x.

当x＜﹣5时，﹣5﹣x+2﹣x=3﹣x，解得：x=﹣6；

当﹣5≤x＜2时，x﹣（﹣5）+2﹣x=3﹣x，解得：x=﹣4；

当2≤x＜3时，x﹣（﹣5）+x﹣2=3﹣x，解得：x=0（舍去）；

当x≥3时，x﹣（﹣5）+x﹣2=x﹣3，解得：x=﹣6（舍去）.

综上所述：在数轴上存在点P，使得PA+PB=PC，点P对应的数为﹣6或﹣4.

（2）解：AB﹣BC的值不变，理由如下：

当运动时间为t秒时，点A对应的数为t﹣5，点B对应的数为3t+2，点C对应的数为5t+3，∴AB﹣BC=3t+2﹣（t﹣5）﹣[5t+3﹣（3t+2）]=6.

∴AB﹣BC的值不变.

【解析】【分析】由绝对值的非负性可求出a，b，c的值.（1）设点P对应的数为x，分x ＜﹣5，﹣5≤x＜2，2≤x＜3及x≥3四种情况考虑，由PA+PB=PC利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）找出当运动时间为t秒时点A，B，C对应的数，进而可求出AB﹣BC=6，此题得解.

3．已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别为﹣36，﹣12，12；动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设运动时间为t秒

（1）若点P到A点的距离是到点B距离的2倍，求点P的对应数；

（2）当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点Q开始运动后第几秒时，P、Q 两点之间的距离为4？请说明理由.

【答案】（1）解：当P在A、B之间，PA+PB＝AB，因为点P到A点的距离是到点B距离的2倍，所以PA＝2PB，

故2PB+PB＝AB，

代数可得PB＝8，

故P点对应数为﹣12﹣8＝﹣20；

当P在B、C之间，PA﹣PB＝AB，

所以2PB﹣PB＝AB，

故PB＝AB＝24，

故P点对应数为﹣12+24＝12，与点C重合.

（2）解：分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度.PA﹣QA＝4，设时间为t1， AB+t1×1﹣3t1＝4，故24+t1×1﹣3t1＝4，则t1＝10；

第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度.QA﹣PA＝4，设时间为t2，

3t2﹣(t2+AB)＝4，

故3t2﹣(t2+24)＝4，

则t2＝14；

第三种情况：当Q从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度.设时间为t3，

3t3+t3+4+AB＝2AC，

故3t3+t3+4+24＝2×48，

则t3＝17；

第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.设时间为t4，

3t4+t4+AB＝2AC+4，

故3t4+t4+24＝2×48+4，

则t4＝19.

【解析】【分析】(1)P从A运动到C，存在两种情况：1.P在A、B之间2.P在B、C之间，后计算发现此点与C重合；(2)分四种情况考虑，第一种情况：当Q未追上P时，两点相距4个单位长度. 第二种情况：当Q超过P时，两点相距4个单位长度. 第三种情况：当Q 从C点返回未和P相遇时，两点相距4个单位长度，第四种情况：当Q从C点返回和P相遇后，两点相距4个单位长度.

4．已知数轴上A，B两点对应数分别为-2和5，P为数轴上一点，对应数为x.

（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数.

（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由.

（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【答案】（1）解：因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB=7，又因P为线

段AB的三等分点，所以 AP=7÷3= 或AP=7÷3×2= ，所以P点对应的数为或

（2）解：若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x=10，解得：x=﹣；

若P在A点、B中间.

∵AB=7，∴不存在这样的点P；

若P在B点右侧，则x﹣5+x+2=10，解得：x=

（3）解：设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则

5﹣6x+（﹣2﹣x）=2×（﹣3x），解得：x=3；

②当A为BP中点时，则

2×（﹣2﹣x）=5﹣6x﹣3x，解得：x= ；

③当B为AP中点时，则