大学物理_机械波 (1)

2
注意区分波形曲线和质点的振动曲线
二 波函数的物理意义
x t x y A cos[ (t - ) ] A cos[ 2 π( - ) ] u T
1 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐 运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差.
x x - -2 π u λ y ( x, t ) y ( x, t T ) （波具有时间的周期性）
机械波：机械振动在弹性媒质中的传播.
产生条件：1）波源；2）弹性媒质.
波源
媒质
+
弹性作用
机 械 波
注意
波是运动状态或振动能量的传 播，媒质的质点并不随波传播.
二 横波与纵波 横波：质点振动方向与波的传播方向相垂直 的波. （仅在固体中传播 ）
特征：具有交替出现的波峰和波谷.
纵波：质点振动方向与波的传播方向互相平行 的波. （可在固体、液体和气体中传播）
8m C
-2
5m B
u
9m D
oA
x
1）以 A 为坐标原点，写出波动方程
t x y (3 10 m) cos 2π ( ) 0.5s 10 m
-2
t x y (3 10 m) cos[ 2π ( ) π ] 0.5s 10 m 3）写出传播方向上点C、点D 的简谐运动方程
4）分别求出 BC ，CD 两点间的相位差
波动 机械波 机械振动在弹性媒质中的传播. 电磁波 交变电磁场在空间(不一定有介质)的传播.
两 类 波 的 不 同 之 处
机械波的传播需 有传播振动的介质; 电磁波的传播可 不需介质.
两 类 波 的 共 同 特 征
能量传播 反射 折射 干涉 衍射
§5-1 机械波的产生及其特征量
一 机械波的产生


波速 ：波动过程中，某一振动状态（即 振动相位）单位时间内所传播的距离（相速）.
u
1 T
u
注意ห้องสมุดไป่ตู้

T

u Tu
周期或频率只决定于波源的振动! 波速只决定于媒质的性质！
波速
u 与介质的性质有关， 为介质的密度.
u
固体
G 切变模量

E 弹性模量
横波
u
液、气体 u
介质中任一质点（坐标为 x）相对其平衡位置的 位移（坐标为 y）随时间的变化关系，即 y ( x, t ) 称 为波函数.
y y ( x, t )
各质点相对平 衡位置的位移
波线上各质 点平衡位置
简谐波：在均匀的、无吸收的介质中，波源作 简谐运动时，在介质中所形成的波. 平面简谐波：波面为平面的简谐波.

3 若 x, t 均变化，波函数表示波形沿传播方 向的运动情况（行波）.
y y
O
u
t
时刻
t t 时刻
x
x x
t x y A cos 2 π ( - ) (t , x) (t t , x x) T t x t x t t x x x ut 2π ( - ) 2π ( ) T T T
1）给出下列波函数所表示的波的传播方向 x 0 点的初相位.
式中 A, B, C 为正常数，求波长、波速、波传播方 向上相距为 d 的两点间的相位差.
y A cos(Bt - Cx)
2π T B
2π C
B u T C

t x y A cos 2 π ( - ) T
2 π d
x1 t x1 1 (t - ) 2 π ( - ) u T x2 t x2 2 (t - ) 2 π ( - ) u T
波程差
x21 x2 - x1
2π x
x2 - x1 x21 12 1 - 2 2 π 2π
x dW dWk dWp dVA sin (t - ) u
2 2 2
讨论 1）在波动传播的媒质中，任一体积元的动能、
势能、总机械能均随
同相位的.
x, t 作周期性变化，且变化是

体积元在平衡位置时，动能、势能和总机械能 均最大. 体积元的位移最大时，三者均为零.
2） 任一体积元都在不断地接收和放出 能量，即不断地传播能量 . 任一体积元的机 械能不守恒 . 波动是能量传递的一种方式 .
x dW dVA sin (t - ) u
2 2 2

能量密度：单位体积介质中的波动能量.
dW x 2 2 2 w A sin (t - ) dV u
平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值.
1 T 1 2 2 w wdt A T 0 2
四 波的能流和能流密度
一般地, 波沿X轴正向传播, 距原点O为X0 的点Q的振动规律为:
yQ A cos(t )
则波函数为:
x - x0 y A cos[ (t ) ] u

2 波动方程的其它形式 T
u

T
t x y ( x,t ) A cos[ 2 π( - ) ] T λ y( x, t ) A cos(t - kx )
空气中的波长
340m s -1 1 1.7 m 1 200Hz u1
在水中的波长
2
2
u1
0.17 m
u2 1450m s 0.725 m 1 7.25 m 2 1 200Hz 2
u2
-1
§5-2 平面简谐波
一 平面简谐波的波函数
如果原点的 初相位不为零
A
O
y
u

x
x 0 , 0 - A
点 O 振动方程
yO A cos(t ) x - ) ] u 沿 x 轴正向 波 y A cos[ (t △ u 函
数
注意几个问题: 若波沿X轴负向传播, 则波函数为:
x y A cos[ (t ) ] u 沿 x 轴负向 △u
例5-2 已知波动方程如下，求波长、周期和波速.
y (5cm) cosπ [(2.50s )t - (0.01cm ) x].
-1 -1
解：方法一（比较系数法）.
T 0.8 s
200 cm
u 250cm s
-1
方法二（由各物理量的定义解之）.
例5-3 一平面简谐波沿 O x 轴正方向传播， 已知振 幅 A 1.0m ， T 2.0s ， 2.0m . 在 t 0 时坐标 原点处的质点位于平衡位置沿 O y 轴正方向运动 . 求
特征：具有交替出现的密部和疏部.
三 波线 波面 波前
波前 波面

*
球面波
波线
平面波
波面: 波阵面, 同相面
四 波长 波的周期和频率 波速
A O -A
y
u

x
波长 ：沿波的传播方向，两个相邻的、相 位差为 2 π 的振动质点之间的距离，即一个完整 波形的长度.


周期 T ：波前进一个波长的距离所需要 的时间. 频率 ：周期的倒数，即单位时间内波 动所传播的完整波的数目.


K体积模量
纵波

343 m s
空气，常温
如声音的传播速度
4000 m s 左右，混凝土
例5-1 在室温下，已知空气中的声速 u1为340 m/s， 水中的声速 u2 为1450 m/s ，求频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在空气中和水中的波长各为多少？ 解 由
u ，频率为200 Hz和2000 Hz 的声波在
波线上各点的简谐运动图
2 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点 相对其平衡位置的位移，即此刻的波形.
x t x y A cos[ (t - ) ] A cos[ 2 π( - ) ] u T
y ( x, t ) y ( x , t ) （波具有空间的周期性）
能流：单位时间内垂直通过某一面积的能量. 平均能流：
P wu S
能流密度 ( 波的强度 ) I : 通过垂直于波传播方向的单 位面积的平均能流.

dC
3 ） 如图简谐波 以余弦函数表示， 求 O、a、b、c 各 点振动初相位.
t =0
A
O
y
a
u
b
t=T/4
c
(- π ~ π ) A o π O y


O
-A

O

x
A 0 b y
π c 2
A
y
π a 2
A
O

y
三 波动能量的传播 当机械波在媒质中传播时，媒质中各质点 均在其平衡位置附近振动，因而具有振动动能. 同时，媒质发生弹性形变，因而具有弹性势能. 以固体棒中传播的纵波为例分析波动能量的传播.
教学基本要求
一 掌握描述简谐波的各物理量及各 量间的关系； 二 理解机械波产生的条件. 掌握由已 知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波 函数的方法. 理解波函数的物理意义. 了解波 的能量传播特征及能流、能流密度概念.
三 了解惠更斯原理和波的叠加原理. 理解波的相干条件，能应用相位差和波程差 分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的 条件；
O O
x
dx
x
y dy
y
x
O O
x
dx
x
y dy
y
x
1 1 2 dWk dm v dV v 2 2 2 y x x y A cos (t - ) v -A sin (t - ) t u u 1 x 2 2 2 振动动能 dWk 2 dVA sin (t - u )
弹性势能
1 2 dWP k dy 2
可以证明:
O O
x
dx
y y dy
x x
1 2 dWP k dy 2 1 x 2 2 2 dVA sin (t - ) 2 u
1 x 2 2 2 dWk dWp dVA sin (t - ) 2 u
体积元的总机械能
y A
O
u
x
P
*
x y A cos (t - ) u
点 O 振动方程
-A

x
yo A cos t x 0 , 0
相位落后法
x 点 P 比点 O 落后的相位 p - O -2 π
x x x p -2π -2π - Tu u x y p A cos (t - ) 点 P 振动方程 u
四 理解驻波及其形成，了解驻波和行 波的区别；
五 了解机械波的多普勒效应及其产 生的原因. 在波源或观察者沿二者连线运 动的情况下，能计算多普勒频移.
本章重点
平面简谐波的波函数。 波的相干条件 两波干涉时振幅加强和减弱的条件。 本章难点 相位传播与相位落后及其计算。
引言
波动是振动的传播过程.
振动是激发波动的波源.
1）波动方程.
t x y (1.0m) cos[2 ( )- ] 2.0s 2.0m 2
2）求 t 1.0s 波形图.
3）
x 0.5m 处质点的振动规律并做图 .
例5-4 一平面简谐波以速度 u 20m / s沿直线传播,波 -2 -1 y ( 3 10 m ) cos( 4 π s )t . 线上点 A 的简谐运动方程 A
2π 角波数 k
角波数的含义: 单位长度上波的相位变化, 数值上等于2 长度内所包含的完整波的个数
严格区分波的传播速度和媒质中质点的振 动速度:
u
y x v -A sin[ (t - ) ] t u
质点的加速度
y x 2 a 2 - A cos[ (t - ) ] t u
2）以 B 为坐标原点，写出波动方程
动方程．
T 例5-5 已知 t 4 时的波形图如图所示，求波
.
y/m
4×10-2 2×10-2 P
u 100m / s
o
10.0m
x/m
讨论 和
t x y - A cos 2π ( - ) (向x 轴正向传播 , π ) T x y - A cos (-t - ) (向x 轴负向传播 , π ) u 2）平面简谐波的波函数为 y A cos(Bt - Cx)
以速度u 沿
x 轴正向传播的
平面简谐波 . 令 原点O 的初相为 零，其振动方程 时间推 迟方法
yO A cos t
yO A cos t
点O 的振动状态
t-x/u时刻点O 的运动
点P 振动方程
x y P A cos (t - ) u

x t u
点P
t 时刻点 P 的运动
波函数