第二章特殊三角形复习课件ppt

3、如果等腰三角形底边上的 高线等于腰长的一半，那么 这个等腰三角形的三内角 30o 30o 120o 分别是_______________。
B
D A
C
4、一艘轮船以16千米/时的速度离开港口向东北方向航 行，另一艘轮船同时离开港口以12千米/时的速度向东 南方向航行，那么它们离开港口1.5小时后，相距 30 __________千米。
E
C
F A D B 第三题
A
D
E
C
B 第四题
5、如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的 墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿 墙下滑4分米。那么梯足将滑（ ） （A）15分米（B）9分米（C）8分米（D）5分米 6、如图，某校A与公路距离为3000米，又与该公路旁 上的某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个 商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与 车站的距离约为（ ）
D
）
1 ∴∠1= ∠ABC=300（ 2 ∵CE=CD ∴∠2= ∠E（ ） ∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600（ ∴ ∠E=300， ∴ ∠1= ∠E ∴BD=DE（ ）
2 1
）
B
C
E
3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900， ∠CAB的平分线AD交BC于D，AB边上的高 线CE交AB于E，交AD于F，求证：CD=CF
以等腰三角形为条件时的常用辅助线: 如图：若AB=AC ①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，
A 12
BD=DC ②若BD=DC，连结AD，必有结论： ∠1=∠2，AD⊥BC B D ③作AD平分∠BAC必有结论：AD⊥BC， BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质 的辅助线，然后证出其它两个性质，不能 这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.
3、如图，EA⊥AB，BC⊥AB，AB=AE=2BC， D为AB的中点,有以下判断,(1)DE=AC (2)DE⊥AC, (3) ∠CAB=30o (4) ∠EAF=∠ADE,期中正确 结论的个数是:( ) A、 一个 B、两个 C、三个 D、四个 4、如图，在ΔABC中，∠ACB=90o ，CD是高线， E是AB上一点，且AE=AC，∠ACE：∠ACD=3：1， 则与∠DCE相等的角是（ ） A 、∠A B、 ∠B C 、 ∠BCE D、以上都错
C

例1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。
分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并 构思整个作图过程……
A
已知：线段a、h 求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h a 作法： 1、作PQ⊥MN，垂足为D 2、在DM上截取DA=h 3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ B 于点B、C 4、连结AB、AC 则△ABC为所求的三角形。
x
∴BC＋CD＝5＋x
Ｃ
Ｂ
5
AB＋AD＝3x
∴(5+x)：3x＝2:1
或3x：(5+x)=2:1
10、如图，D是正△ABC边AC上的中点，E是BC 延长线上一点，且CE=CD，试说明BD=DE的理由 . 解:∵ △ABC是正三角形 ∴ ∠ABC= ∠ACB=600 A
（ ∵ D是AC边上的中点 ）
例7. 如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q. 请说明BP=2PQ的理由.

思路 在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°
证明 ∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°， AE=CD， ∴△BAE≌△ACD ∴∠ABE=∠CAD ∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP =∠CAD+∠BAP=60° 又∵BQ⊥AD ∴∠PBQ=30° ∴BP=2PQ 说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方 法值得同学们细心体会。
A
例8：如图、在△ABC中，D，E在 直线BC上，且AB=BC=AC=CE=BD， 求∠EAC的度数。
D B C E
探索：如图、在△ABC中，D，E 在直线BC上，且AB=AC=CE=BD， ∠DAE=100°，求∠EAC的度数。
D B
A
C
E
1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2）等腰三角形两底角 的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角 形。 （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3 个
F B D C

AE CD A C AF CE ∴△AEF≌△CDE（SAS）
∴EF=DE 同理可证EF=DF ∴EF=DE=DF ∴△DEF是等边三角形
说明：证明等边三角形有三种思路： ①证明三边相等 ②证明三角相等 ③证明三角形是有一个角为 60°的等腰三角形。 具体问题中可利用不同的方式进行求 解。
解：作AD ⊥ BF ∵由已知可得：∠ FBA=300 ∴ AD=1/2AB=150KM 而 150＜200 ∴ A城会受到台风的影响
北 D F 600 B 东
例6 .如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长 线上一点，且BD=CE，DE交BC于G 请说明DG=EG的理由.

思路 因为△GDB和△GEC 不全等，所以考虑在△GDB 内作出一个与△GEC全等的 三角形。
说明 本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不 全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E 作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG， 同学们不妨试一试。

A
∵∠A=90°
1 ∴AC= DC 2 1 ∴AC= 2 BD
B
C

分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用 △BMD≌△CME得到结果。
证明：连结CM ∵∠C=90°，BC=AC ∴∠A=∠B=45° ∵M是AB的中点 ∴CM平分∠BCA （等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合） ∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45° ∴∠B=∠MCE=∠MCB ∴CM=MB（等角对等边） 在△BDE和△CEM中 BD CE ∴△BDM≌△CEM（SAS） B MCE ∴MD=ME BM CM ∴△MDE是等腰三角形
分析：CD=CF ∠1=∠2 ∠1=∠B+∠BAD ∠1=90°－∠BAD ∠2=∠3+∠DAC ∠２=90°－∠CAD
C
D 12F 3 E B
A
∠3=∠B ∠ACB =90°，CE是AC边上高
互余 1 在直角三角形中，两个锐角_______。 两直角边 斜边 2、直角三角形_____________的平方和等于_______的 平方。如果用字母a,b和c分别表示直角三角形的两条 a2 c2 b2 直角边和斜边，那么_____+ _____=_____。 较大 3、如果三角形中_______两边的平方和等于______一边 较小 的平方，那么这个三角形是直角三角形，________所对 斜边 的角是直角。 4、在直角三角形中，如果一个锐角等于 _____度， 30 斜边 那么它所对的直角边等于_________的一半。 斜边的一半 5、在直角三角形中，如果一条直角边等于___________, 那么这条直角边所对的角等于300。
E B 1
M 2
D C
说明：本题易习惯性地用全等来 证明，虽然也可以证明，但过程 较复杂，应当多加强等腰三角形 的性质和判定定理的应用。
例3.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC. 请说明AC=BD的理由. 解∵BD=DC，∠B=15° ∴∠DCB=∠B=15°（等角对等 边） ∴∠ADC=∠B+∠DCB=30° D （三角形的外角等于和它不相邻 的两个内角的和）
直角三角形全等的判定方法：
A A′
C
B
C′
B′
1) ASA, AAS 2) SAS
3) SSS 4) HL
温故知新: （一）填空 1、在ΔABC中，如果∠A+ ∠B= ∠C，且AC=1/2AB， 30o 则∠B=_______ 。 2、如图ΔABC中， ∠ACB=90o,CD ⊥AB,垂足是D, 7.5 BC=5cm，BD=1/2BC，则AD= cm。
(二)、选择。
1、满足下列条件的ΔABC，不是直角三角形的是：
（ ） A、b2=a2-c2 B、 ∠C=∠A-∠B C、∠A：∠B：∠C=3：4：5 D、a:b:c=12:13:15
2、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等
的是（ ） A、一条直角边和一个锐角分别相等 B、两条直角边对应相等 C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等
h
h a
D
C
A M
P
B
D N
C
Q
例2.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D， CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。

证明：∵AB=AC:
A
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∴∠ABC=∠ACB（等边对等角） ∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴∠BEC=∠CDB=90° ∴∠1+∠ACB=90°， ∠2+∠ABC=90°（直角三角形 两个锐角互余） ∴∠1=∠2（等角的余角相等） ∴BM=CM（等角对等边）
（A）875米（B）3125米（C）3500米（D）3275米
C A D
应用与延伸:
例9、如图，设A城市气象台测得台风中心，在A城 正西方向300千米的B处，正向北偏东600的BF方向 移动，距台风中心200千米的范围内是受台风影响 的区域，那么A城是否受到这次台风的影响？为什 么？如果你是气象员，请你算一算。
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等腰三角形性质与判定的应用
（1）计算角的度数 利用等腰三角形的性质，结合三角形 内角和定理及推论计算角的度数，是等腰 三角形性质的重要应用。 ①已知角的度数，求其它角的度数 ②已知条件中有较多的等腰三角形（此时 往往设法用未知数表示图中的角，从中得 到含这些未知数的方程或方程组） （2）证明线段或角相等
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2.等腰三角形顶角为36°，底角为_________。 3.等腰三角形顶角和一个底角之和为100°，则顶角 度数为_____________。 4.等腰三角形两个角之比为4:1，则顶角为 __________，底角为___________。 5.等腰三角形两边长为4、6，这个三角形周长为 _____________。 6.已知△ABC中AB=AC，AB垂直平分线交AC于E， 交AB于D，连结BE，若∠A=50°， ∠EBC=__________。 7.△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若△ABC的 周长为50，△ABD的周长为40，则 AD=____________。 8.若等腰三角形顶角为n度，则腰上的高与底边的夹 角为_____________。
9. 如图，线段OD的一个端点O在直线a上，以 OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直 线a上，这样的等腰三角形能画多少个?
Ｄ
150°
Ｈ
Ｏ
Ｃ
Ｅ
Ｆ a
9.已知等腰三角形一腰上的中线将三角
形周长分成２：１两部分，已知三角形
底边长为５，求腰长？
Ａ
x 2x
Ｄ
解：如图，令CD＝x，则AD＝x， AB＝2x ∵底边BC＝5
等腰三角形的性质与判定
1.性质 (1)：等腰三角形的两个底角相等。 (2)：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合。 2.判定 定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角 形。 等腰三角形: 1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三 角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半
例4.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和 AC上，且BD=CE，M是AB的中点. 求证：△MDE是等腰三角形.
B D M
C
E
A
例5.如图，在等边△ABC中,AF=BD=CE,请 说明△DEF也是等边三角形的理由.

A E
解：∵△ABC是等边三角形 ∴AC=BC，∠A=∠C ∵CE=BD ∴BC－BC=AC－CE ∴CD=AE 在△AEF和△CDE中