复合材料结构力学作业

一． 对材料AS4/3501-6进行设计
已知61.1,134.0,3.0,86.6,65.9,2.147======ρυmm t GPa G MPa E MPa E T L
MPa S MPa Y MPa Y MPa X MPa X C T c T 105,186,4.49,1468,2356=-==-==
最大正应力准则为pi pi T
pi T
pi C
pi
T
S
Y Y X X R 12
222211
11
,
,
min
σσσσσ=
1
2
STEP I Special Stacking Sequence (SSS)
（一） 在Task I 载荷作用下
已知Longitudinal Load =100 kN ，Transverse Load =-5 kN ， Shear Load =30 kN 外加载荷可等效为{}{}m kN N N N N T
T
/600
5020001222
11-== 对[]0n S 度铺设层合板,
{}MPa T
4478
37314925}{-=σ,带入最大正应力准则得 N=max{6.3349,2.0054,42.6476}=42.6476，所以[]0n S 所需的最小层数为42.6层，且12σ先破坏
对[]90n S 度铺设层合板
{}{}MPa T
4478
14925373--=σ N=max{0.2541,302.1255,42.6476}=302.1255，所以[]90n S 所需的最小层数为302.1255层，且
22σ先破坏
对[](45)n S ±度铺设层合板 45度 {}{}M P a
T
3.19125.1801.5496-=σ, N=max{2.3328,3.6538,18.2124}=18.2124 -45度
{}{}M P a T
3.1912
7.3808
.1218=σ, N=max{0.51732,7.7065 ,18.2124}=18.2124
所以对[](45)n S ±度铺设层合板,共需要18.21*4=72.84层，且12σ先破坏 对[](0/60)n S ±度铺设层合板 0度
{}{}MPa T
7.2272.65.6366-=σ, N=max{2.7022,0.0333,2.1686}=2.7022
+60度{}{}MPa T
8.4507.1852267-=σ, N=max{0.9622,3.7591,4.2933}=4.2933
-60度{}{}MPa 223
7.3815.1918T
-=σ, N=max{1.3069,7.7267,2.1248}=7.37267 所以对[](0/60)n S ±度铺设层合板,共需要7.37*6=44.22层，且22σ先破坏
从上表中可以看到，[]0n s 所需的层数最少，即质量最轻
对])45/45/(90/0[z y x
-铺层，设+45度和-45度的层数相同
(1) 当0度铺层占10%,90度铺层占0%时, 则45度和-45度各占45%时 0度 {}M P a T
439
87030809}{-=σ, N=13.08 +45度 {}MPa T 6.24899.1484.9050}{-=σ, N=23.71
-45度 {}MPa T
6.24891.5855.268}{-=σ, N=23.71
代入最大正应力准则进行校核，经比较得,N=23.71,所以共需要23.71*2=47.42层 (2) 当0度铺层占10%,90度铺层占10%时, 则45度和-45度各占40%时 0度,{}MPa T
48243327954}{-=σ, N=max{11.865,2.328,4.5905}=11.865
90度, {}MPa T
482155514524}{-=σ, N=max{9.8937,31.48,4.5905}=31.48
45度, {}MPa T
2002
32211831}{=σ, N=max{5.0216,6.5182,19.07}=19.07 -45度, {}MPa T
6.20017
.8005.1598}{=σ, N=max{0.6783,16.2085,19.0629}=19.0629
代入最大正应力准则进行校核，经比较得,N=31.48,所以共需要31.48*2=62.96层 (3) 当0度铺层占10%,90度铺层占20%时, 则45度和-45度各占35%时 0度 {}M P a
T
53518327248}{-=σ, N=11.57 90度 {}MPa T
534158310498}{--=σ, N=32.04
+45度 {}MPa T
1779
43414048}{-=σ, N=16.94 -45度 {}MPa T
1778
5.9652.2702}{=σ, N=19.53 经比较得,N=32.04,所以共需32.04*2=64.08层
(4) 当0度铺层占10%,90度铺层占25%时, 45度和-45度各占32.5% 0度,{}MPa T
5659027327}{-=σ, N= 11.6
90度, {}MPa T
3.5655.16149092}{--=σ, N= 32.6822
45度, {}MPa T
1716
48115117}{=σ, N= 16.3429 -45度,{}MPa T
.1.17169.10427.3118}{=σ, N= 21.1113
经比较得,N=32.68,所以共需要32.68*2=65.36层
(5)当0度铺层占10%,90度铺层占30%时, 则45度和-45度各占30%时 0度 {}M P a T
606
9
27618}{-=σ, N=11.72 90度 {}MPa T
8.59916557933}{-=σ, N=15.95 +45度 {}MPa T
1675
52516207}{-=σ, N=22.67 -45度 {}MPa T
1675
6.11202.3477}{=σ, N=33.49 经比较得,N=33.49,所以共需要33.49*2=66.98层
(6)当0度铺层占10%,90度铺层占40%时, 则45度和-45度各占25%时 0度 {}M P a
T
68313028732}{=σ, N=12.2 90度 {}MPa T
683
9.17608.6107}{-=σ, N=15.64 +45度 {}MPa T
1642
60618561}{-=σ, N=26.0 -45度 {}MPa T
164212854062}{=σ, N=35.65
经比较得,N=35.65,所以共需要35.65*2=71.3层
(7)当0度铺层占10%,90度铺层占50%时, 45度和-45度各占20% 0度,{}MPa T
793
25530507}{=σ, N= 12.95
90度,{}MPa T
5.793
6.19028.4691}{--=σ, N= 38.5
45度,{}MPa T
165968521327}{-=σ, N= 15.8 -45度,{}MPa T
6.16589.14724888}{=σ, N=14.3
经比较得,N=38.5,所以共需要38.5*2=77层
(8)当0度铺层占10%,90度铺层占60%时, 则45度和-45度各占15%时 0度 {}M P a T
946
37832990}{=σ, N=14 90度 {}MPa T
2.946
3.20863607}{--=σ, N=42.2
+45度 {}MPa T
172076224781}{-=σ, N=16.3
-45度 {}MPa T
172017024701}{=σ, N=34.46
经比较得,N=42.2,所以共需要42.2*2=84.4层
(9)当0度铺层占10%,90度铺层占75%时, 则45度和-45度各占6.25%时 0度 {}M P a
T
145062239942}{=σ, N=16.95 90度 {}MPa T
8.144925721729.6-}{-=σ, N=52.07
+45度 {}MPa T
1964
87734490}{-=σ, N=18.7 -45度 {}MPa T
5.196323173722}{=σ, N=4
6.9
经比较得,N=52.07,所以共需要52.07*2=104.14层
(10)当0度铺层占25%,90度铺层占0%时, 则45度和-45度各占37.5%时 0度 {}M P a
T
50756820231}{-=σ, N=8.5883 +45度 {}MPa T
1632
9.1-8284.7}{-=σ, N=15.55 -45度 {}MPa T
9.16326.4949.2475}{-=σ, N=10.01
经比较得,N=15.55,所以共需要15.55*2=31.10层
(11)当0度铺层占25%,90度铺层占10%时, 则45度和-45度各占32.5%时 0度 {}M P a T
565
26519118}{-=σ, N=8.11 90度 {}MPa T
5.5635.10725.9458}{--=σ, N=21.71
+45度 {}MPa T
1347
12610829}{-=σ, N=13.85 -45度 {}MPa T
5.13465.6844.1169}{-=σ, N=12.83
经比较得,N=21.71,所以共需要21.71*2=43.42层
(12) 当0度铺层占25%,90度铺层占25%时, 则45度和-45度各占25%时 0度,{}MPa T
683
1819099}{-=σ, N= 8.1 90度,{}MPa T
2.68314117.5669}{--=σ, N=2
3.09
45度,{}MPa T
1167
22213964}{-=σ, N=max{5.93,4.5,11.1}=11.1 -45度,{}MPa T
1.11676.9006.534}{-=σ, N=max{0.36,18.23,11.1}=18.23
经比较得,N=23.09,所以共需要23.09*2=46.18层
(13)当0度铺层占25%,90度铺层占50%时, 则45度和-45度各占12.5%时 0度 {}M P a
T
104722721050}{=σ, N=9.97 90度 {}MPa T
1047
3.13271.2452}{--=σ, N=26.8 +45度 {}MPa T
110725720408}{-=σ, N=10.54
-45度 {}MPa T
1107
12978.1809}{-=σ, N=26.21 经比较得,N=26.8,所以共需要26.8*2=53.6层
(14)当0度铺层占50%,90度铺层占0%时, 则45度和-45度各占25%时 0度 {}M P a
T
68335712870}{-=σ, N=6.5 90度 {}MPa T 2.6837.4718.9106}{--=σ, N=9.55
+45度 {}MPa T
6.10351.1823.9131}{--=σ, N=9.86 -45度 {}MPa T
6.10356.4967
.5367}{-=σ, N=11.05
经比较得,N=11.05,所以共需要11.05*2=22.1层
(15)当0度铺层占50%,90度铺层占10%时, 则45度和-45度各占20%时 0度 {}M P a T
793
12712568}{-=σ, N=7.55 90度 {}MPa T
793.5
-4.7185492.7-}{=σ, N=14.54 +45度 {}MPa T
851
9811957}{--=σ, N=8.1 -45度 {}MPa T
851
8.6894882}{-=σ, N=13.96 经比较得,N=14.54,所以共需要14.54*2=29.08层
(16)当0度铺层占50%,90度铺层占25%时, 则45度和-45度各占12.5%时 0度 {}M P a T
1047
5212812}{=σ, N=9.97
90度 {}MPa T 1047
4.7839.2819}{--=σ, N=1
5.85 +45度 {}MPa T
73710216105}{--=σ, N=7.01 -45度 {}MPa T
6.7366
.9379.6112}{-=σ, N=18.97
经比较得,N=18.97,所以共需要18.97*2=37.94层
需的层数最少，为22层，此时的重量最轻。

（二） 在Task II 载荷作用下
已知Longitudinal Load =-50 kN ，Transverse Load =10 kN ， Shear Load =-10 kN 外加载荷可等效为{}{}m kN N N N N T
T
/00201000011222
11--==
对[]0n S 度铺设层合板
{}MPa T
5.14923.7467.7462}{--=σ,带入最大正应力准则得：
N=max{5.08,15.1.3,14.2}=15.1, 所以[]0n S 所需的最小层数为15.1层 对[]90n S 度铺设层合板
{}{}MPa T
5.14927.74623.746-=σ
N=max{0.32,40.1,14.2}=40.1,所以[]90n S 所需的最小层数为40.1层
对[](45)n S ±度铺设层合板
45度 {}{}M P a T
1.1026
1.965.2262--=σ, N=max{1.54,0.52,9.7}=9.7 -45度
{}{}M P a T
1.1026
9.1627
.836---=σ, N=max{0.57,0.88,9.7}=9.7 所以对[](45)n S ±度铺设层合板,共需要9.7*4=38.8层，且12σ先破坏
对[](0/60)n S ±度铺设层合板,
0度
{}{}MPa T
9.753.172.3248--=σ, N=max{2.21,0.35,2.08}=2.21
+60度 {}{}MPa T
7.2185.1051.623--=σ, N=max{0.42,0.57,2.08}=2.08
-60度
{}{}MPa T
8.1428.17008
.772--=σ, N=max{0.33,0.92,1.36}=1.36
所以对[](0/60)n S ±度铺设层合板,共需要2.21*6=13.26层，且11σ先破坏 比较上述四种情况,可得采用[]0n S 度铺层所需的层数最少,为13.26层
在表中可表示为：
从表中可以得出：选用()0/60n s
⎡⎤±⎣⎦铺层时，厚度最小
对])45/45/(90/0[z y x -铺层，设+45度和-45度的层数相同
(1) 当0度铺层占10%,90度铺层占0%时, 则45度和-45度各占45%时 0度 {}M P a
T
146-51816186-}{=σ, N=10.48 90度 {}MPa T
146
825-12512}{=σ, N=5.31 +45度 {}MPa T
3.13528.803390}{--=σ, N=12.88
-45度 {}MPa T
3.13522.226283.8-}{--=σ, N=12.88
经比较得,N=12.88,所以共需要12.88*2=25.76层
(2)当0度铺层占10%,90度铺层占10%时, 则45度和-45度各占40%时 0度
{}{}MPa T
161
27414496--=σ, N=max{9.87,5.55,1.53}=9.87 90度
{}{}MPa T
7.1605.7925
.8297-=σ, N=max{3.5,4.26,1.53}=4.26
+45度 {}{}MPa T
1074
2.1797.4804--=σ, N=max{
3.27,0.96,10.2}=10.2 -45度
{}{}MPa T
1074
9.3387
.1393---=σ, N=max{0.94,1.82,10.2}=10.2 经比较得,N=10.2,所以共需要10.2*2=20.4层
(3)当0度铺层占10%,90度铺层占25%时, 45度和-45度各占32.5% 0度
{}{}MPa T
188
8513993--=σ, N=max{9.5,1.72,1.79}=9.5 90度
{}{}MPa T
4.1887.8158
.5254-=σ, N=max{2.23,4.38,1.8}=4.38
+45度 {}{}MPa T
9076.2717.6368--=σ, N=max{4.3,1.46,8.6}=8.6
-45度
{}{}MPa T
9078.4584
.2369---=σ, N=max{1.6,2.5,8.6}=8.6
经比较得,N=9.5,所以共需要9.5*2=19层
(4)当0度铺层占10%,90度铺层占50%时, 45度和-45度各占20% 0度
{}{}MPa T
264
10015431---=σ, N=max{10.5,0.54,2.5}=10.5 90度
{}{}MPa T
5.2643.9541
.2813-=σ, N=max{1.19,5.13,2.5}=2.5
+45度 {}{}MPa T
7.8599.3954.9115--=σ, N=max{6.2,2.12,8.18}=8.18
-45度
{}{}MPa T
7.8597.6584
.3502---=σ, N=max{2.39,3.54,8.18}=8.18
经比较得,N=10.5,所以共需要10.5*2=21层
(5)当0度铺层占25%,90度铺层占0%时, 则45度和-45度各占37.5%时 0度 {}M P a
T
16936810607}{--=σ, N=7.46 90度 {}MPa T 169
7.5322.8642}{-=σ, N=3.67 +45度 {}MPa T
9078.12776}{-=σ, N=8.64 -45度 {}MPa T
90716688.810}{--=σ, N=8.64
经比较得,N=8.64,所以共需要8.64*2=17.28层
(6)当0度铺层占25%,90度铺层占10%时, 45度和-45度各占32.5% 0度
{}{}MPa T
4.1889.1929882--=σ, N=max{6.7,3.9,1.8}=6.7
90度
{}{}MPa T
4.1886.5388
.5745-=σ, N=max{2.4,2.9,1.8}=2.9
+45度 {}{}MPa T
4.7363.798.4067-=σ, N=max{2.8,1.6,7.0}=7.0
-45度
{}{}MPa T
4.73647.26647
.68---=σ, N=max{0.05,1.43,7.0}=7.0
经比较得,N=7.0,所以共需要7*2=14层
(7)当0度铺层占25%,90度铺层占25%时, 45度和-45度各占25% 0度
{}{}MPa T
7.227525.9744--=σ, N=max{6.6,1.05,2.2}=6.6
90度
{}{}MPa T
7.2271.5702
.3546-=σ, N=max{1.5,3.1,2.2}=3.1
+45度 {}{}MPa T
3.6269.1457.5515--=σ, N=max{3.8,0.8,5.96}=5.96
-45度
{}{}MPa T
3.6261.3727
.682---=σ, N=max{0.5,2,5.96}=5.96
经比较得,N=6.6,所以共需要6.6*2=13.2层
(8)当0度铺层占25%,90度铺层占50%时, 45度和-45度各占12.5% 0度
{}{}MPa T
349
8410611---=σ, N=max{7.2,0.45,3.3}=7.2
90度
{}{}MPa T
349
5.6605.1704-=σ, N=max{0.7,3.6,3.3}=3.6 +45度 {}{}MPa T
3.5809.198
4.8156--=σ, N=max{
5.6,1.1,5.5}=5.6
-45度
{}{}MPa T
3.5806.5454
.750---=σ, N=max{0.5,2.9,5.5}=5.5
经比较得,N=7.2,所以共需要7.2*2=14.4层
(9)当0度铺层占50%,90度铺层占0%时, 则45度和-45度各占25%时 0度 {}M P a
T
7.2271.2809.6712}{--=σ, N=5.67 90度 {}MPa T 7.2229.3235.6189}{-=σ, N=2.62
+45度 {}MPa T
6082.912.2678}{-=σ, N=5.79 -45度 {}MPa T
608
1358
.2154}{--=σ, N=5.79 经比较得,N=5.79,所以共需要5.79*2=11.58层
(10)当0度铺层占50%,90度铺层占10%时, 则45度和-45度各占20%时 0度 {}M P a
T 5.2648.1341.6448}{--=σ, N=4.39 90度 {}MPa T
5.2649.3489
.3885}{-=σ, N=2.52 +45度 {}MPa T
9.4863.246.4087}{-=σ, N=4.64
-45度 {}MPa T
9.4864.2384
.1525}{--=σ, N=4.64
经比较得,N=4.64,所以共需要4.64*2=9.28层
(11)当0度铺层占50%,90度铺层占25%时, 则45度和-45度各占12.5%时 0度 {}M P a
T
349246486}{--=σ, N=4.42 90度 {}MPa T
3495.3822197}{-=σ, N=3.32
+45度 {}MPa T 2.4099.54.5847}{--=σ, N=3.98
-45度 {}MPa T
2.4096.3526
.1558}{--=σ, N=3.98
经比较得,N=4.42,所以共需要4.42*2=8.84层
二． 已知对材料2024-T3进行设计
MPa GPa E S 460,3.0,0.74===συ,使用von Mises 准则进行判别
()()()2
2
2
222201122223333112331122666σσσσσσσσσσ=-+-+-+++
对Task I,已知{
}KN 305100F -=,设板的厚度为t: 可计算出应力为{}
T
122211
t 53t 201t
2
t 5030t 1005t 50100
⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-
=T
T
τσσ 代入von Mises 准则计算得,板厚为t=0.004949m=4.949mm 对Task II,已知{}KN 101050F --= 可计算出应力为{}
T
122211
t 51t
101t 1t 5010t
10010t
5050
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=T
T
τσσ 代入von Mises 准则计算得,板厚为t=0.0024m=2.4mm
可见使用Task II 中的载荷,所需的厚度小,不但节省材料,而且可减轻重量
计算的铺层不是整数,为了使各层的为整数,可用改变层合板厚度的方法来实现。

对材料2024-T3,由于为各向同性,所以与层数无关,使用V on Mesis 准则可直接计算出层合板的厚度。

STEP II Multiple Tasks (MT)
通过STEP I 的计算可知：同时满足Task I 和Task II 两个条件的的铺层应为：
0度铺层占50%,90度铺层占0%时, 且+45度和-45度各占25%。

比较两种荷载下铺层可得：当铺层为22层时满足条件，即铺层形式为：()530/45s ⎡⎤±⎣⎦，此时所需的质量最小,且破坏发生在4522
σ
-
上。

STEP III Improve the design
为了改进设计,可采用如下方法
用0度 ，90度，+30度和-30度的铺层来进行设计，其中它们所占的比例分别为50%，10%，20%，20%。

对材料 AS4/3501-6进行分析 在Task I 作用下，有：
0度 {}M P a T
946
16010459}{-=σ, N=9.0 90度 {}MPa T 2.9466.5821.5398}{--=σ, N=11.79
+30度 {}MPa T
17438115189}{--=σ, N=6.45 -30度 {}MPa T
2.11209.4324
.2200}{-=σ, N= 10.67
经比较得,N=11.79,所以共需要11.79*2=23.58层 在Task II 作用下
0度 {}M P a
T
4.3153.1782.5370}{--=σ, N= 3.61 90度 {}MPa T
4.3152727.4248}{-=σ, N=3.00
+30度 {}MPa T 8.2344.2018.5863}{-=σ, N=4.08
-30度 {}MPa T
21
.550-97.692
.67}{--=σ, N=5.24 经比较得,N=5.24,所以共需要5.24*2=10.48层
同时满足Task I 和Task II 两个条件的的铺层应为：0度铺层占50%,90度铺层占10%时, 且
+45度和-45
STEP IV Post First Ply Failure
最大正应力准则为pi pi T
pi T
pi C pi
T S
Y Y X X R 12
22
22
11
11
,
,
min σ
σ
σ
σ
σ
=
对材料AS4/3501-6
由Step II 知，满足条件的铺层为：()530/45s
⎡⎤±⎣⎦
（1） 在Task I 荷载作用下：{}{}m KN N N N N T
T
/600
5020001222
11
-==，可得各层应力： 0度 {}M P a
T
4.583.349
.1252}{-=σ, R=min{1.8804,5.423,1.7979}=1.7979 +45度 {}MPa T
87.10077.1331.802}{--=σ, R=min{2.9365,13.50,1.0409}=1.0409 -45度 {}MPa T
1004446.437}{-=σ, R=min{3.3557,1.1227,1.0500}=1.0500
经比较得，+45度层首先发生破坏，且破坏是由4512σ
引起的，安全系数为104.09%。

一次降级后，0度和-45度铺层的刚度矩阵并未发生变化，而+45度的刚度矩阵发生了变化
0Q 66=，所以拉伸刚度矩阵A 要发生变化。

破坏前拉伸刚度矩阵为⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=252.70000776.89637.580637
.5819.275A
一次降级之后拉伸刚度矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=709.390003.00003.00003.0776.89673.580.0003673.5819.275A 各层应力分别为 0度 {}M P a
T
4.1031.349
.1252}{-=σ, R=min{1.8804,5.329,1.0155}=1.0155 +45度 {}MPa T
9.1001.361.1279}{--=σ, N=max{1.8419,5.1524,1.0406}=1.0406 -45度 {}MPa T
88.10058.1627.914}{-=σ, N=max{1.6057,2.9795,1.0408}=1.0408
经比较得，一次降级后最先破坏的是0度层，是由剪切破坏引起的，安全系数为101.55%，
用表格可表示为：
（2） 在Task II 荷载作用下{}{}m KN N N N N T
T
/200
10010001222
11--==， 可得各层应力：
0度 {}M P a T
473.19251.26258.654}{--=σ, R=min{2.244，1.8819，5.3922}=1.8819 +45度 {}MPa T
4947.588677.61868.240}{-=σ, R=min{6.112，7.193，1.795}=1.795
-45度{}MPa T
495
.58477.12172.173}{--=σ, R=min{13.562，14.827，1.795}=1.795 经比较得，+45度层首先发生破坏，且破坏是由4512
σ
引起的，安全系数为179.50%。

一次降级后，0度和-45度铺层的刚度矩阵并未发生变化，而+45度的刚度矩阵发生了变化
0Q 66=，所以拉伸刚度矩阵A 要发生变化。

破坏前拉伸刚度矩阵为⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=252.70000776.89637.580637
.5819.275A
一次降级之后拉伸刚度矩阵为⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=709.390003.00003.00003.0776.89673.580.0003673.5819.275A 各层应力为：
0度 {}M P a T
45.34251.26654.2537-}{-=σ, R=min{2.244,1.8819,3.0478}=1.8819
+45度 {}MPa T
495
.58308.1412.399}{-=σ, R=min{3.678,3.453,1.7950}=1.7950 -45度 {}MPa T
495
.58917.190.332}{--=σ, R=min{7.0962,9.339,1.7950}=1.7950 经比较得，一次降级后最先破坏的是+45度层，是由剪切破坏引起的，安全系数为179.5%，。