金融经济学基础第三章中文文字版

第三章 资产组合前沿边界的数学分析
3.1 在第二章我们证明了当风险资产A 二阶随机占优于风险资产B 时，风险资产A 的期望收益率必然等于风险资产B 的风险收益率，方差则小于B 的方差。

当存在两个以上的资产并且可以无限制地构造投资组合时，如果存在一个资产的投资组合二阶随机占优于所有与其期望收益率相同的投资组合，则这个占优的投资组合的方差必然最小。

这一结果是我们论述在不同的期望收益率水平下具有最小方差的投资组合的动机之一。

3.2 资产选择的均值-方差模型自从马科维茨(Markowitz,1952)发展以来，已经被广泛地应用在金融领域。

个体效用函数的单调性和严格凹性意味着投资者对预期收益的偏好和对方差的厌恶。

不过，对任意的分布和效用函数，期望效用并不能仅仅由预期收益和方差决定。

然而，资产选择的均值-方差模型仍然流行是因为它具有数理分析的简易性和丰富的实证检验。

除3.1节指出的一个动机之外，还存在两个技术上的动机，简要回顾如下。

3.3 个体的效用函数可以在期望财富附近泰勒展开，
///231()([])([])([])([])([]),2
u w u E w u E w w E w u E w w E w R =+-+-+ 其中
()331([])([])([])!
n n n R u E w E w w E w n ==-∑
()n u 表示u 的n 阶导数。

假设这个泰勒级数收敛，并且取期望和求和的过程是可以互换的，则个体期望效用可以表示为
//231[[]]([])([])()[],(3.3.1)2!
E u w u E w u E w w E R σ=+
+ （3.3.1） 其中 ()33
1[]([])()!n n n E R u E w m w n ==∑ （3.3.2） ()n m w 表示的w 的n 阶中心矩。

关系式（3.3.1）指出了一个对期望财富偏好和对分差厌恶的个体，其效用函数是递增并严格凹的。

除了期望与方差，关系式（3.3.2）还含有高阶矩的项，它说明
了对于任意的分布和偏好，期望效用不能仅仅由财富的期望值和方差确定。

3.4 对任意分布，均值-方差模型在二次效用的假设下有效。

二次效用的三阶和更高阶导数为零，因此对任意的分布，3[]E R =0。

所以，个体的期望效用函数被他的期末财富w 的前二阶中心矩决定，
/2[[]][][[]][][])()22b b E u w E w E u w E w E w w σ--=-+ 这样，当期望收益率和方差有限时，对于依据期望效用的均值和方差形式决定的偏好关系来完全地描述资产选择，二次效用是足够的。

然而，因为二次效用函数具有满足性和递增的绝对风险厌恶这两种性质，所以其表现也不尽如人意。

满足性意味着在满足点以上，财富的增加使效用减小。

递增的绝对风险厌恶意味着风险资产是劣等品。

因此，在二次效用假设基础上的经济结论经常与直觉相悖，并且不适用于那些偏好更多的财富和将风险投资视为正常商品的个体。

3.5 对任意的偏好，均值-方差模型在风险资产收益率服从多元正态分布的假设下有效。

正态分布被它的均值和方差完全确定。

在正态分布下，3[]E R 所含的三阶和更高阶矩可以由前二阶矩的方程表示，3[]E R 因此完全是均值和方差的函数。

正态分布具有可加性，也就是说，一个由收益服从多元正态分布的资产构成的资产组合，其收益也服从正态分布。

对数正态分布也可以由其均值和方差完全确定，但它不是可加的。

这意味着一个由服从多元对数正态分布收益的资产构成的资产组合并不是对数正态分布的。

这样，对于定义在正态分布的期末财富之上的效用函数，资产收益满足多元正态分布的假设意味着对风险资产的需求是由资产组合收益的均值和方差决定的。

然而，对于其他形式的效用函数，如()ln()u z z =，期望效用并不是在非正的财富水平上定义的。

遗憾的是，正态分布的两端是无穷的，这与有限责任和经济理论不一致，后者认为负的消费是没有意义的。

好在多元正态分布仅仅是所有个体选择均值-方差有效资产组合的一个充分的分布条件。

3.6 基于以上论述，均值-方差模型并不是一个资产选择的一般性模型。

它在金融理论中之所以扮演重要角色，是因为它具有数量分析的简易型和丰富的实证检验。

本章发展了关于可行的投资组合收益率的均值和方差之间的解析关系，这将为第四章扩展均值-方差资产选择和资产定价模型的更一般条件奠定基础。

3.7 除非另外提到，我们假设在一个无摩擦的经济系统中有2N ≥种风险资产，
可以无限制的卖空，并且这些资产的收益率具有有限的方差和不同的预期。

我们还假设任何资产的随机的收益率不能表示为其他资产收益率的线性组合。

在这个假设下，资产收益是线性独立的，并且方差-协方差矩阵V 是非奇异的。

因为对于所有i 和j ，(,)(,)i j j i Cov r r Cov r r =，所以方差-协方差矩阵又是对称的。

这样的对称阵被称为正定的，如果对任意N 维，常向量w ，满足0≠w ，0T ≠w Vw ，其中T 表示转置，0≠w 意味着在w 中至少有一个元素非零。

V 是一个正定矩阵，因为T w Vw 是一个投资组合的方差，即使投资组合的权重之和不为一，并且风险资产组合的方差是严格大于零的。

3.8 在具有相同期望收益率的资产组合中，具有最小方差的资产组合称为前沿边界的资产组合。

一个资产组合p 是一个前沿边界的资产组合，当且仅当N 维资产组合权重向量p w 是以下二次规划的解：
{}1min 2
T w w Vw （3.8.1） 给定
[]T p E r =w e
1T =w 1
其中，e 表示这N 项资产的N 维期望收益率等于[]p E r ，且投资组合权重之和为1，使资产组合的方差最小化。

注意，卖空（即负的资产组合权重）是允许的。

因此，可行的资产组合的期望收益的范围是无界的（这是资产具有不同的期望收益率的假设而来的）。

由拉格朗日解法，p w 是下式的解：
{,,}1min ([])(1)2
T T T p w L E r λγλγ=+-+-w Vw w e w 1 （3.8.2） 其中，λ和γ是两个正的常数。

一阶条件是
0p L λλ∂=--=∂Vw e 1w
（3.8.3a ） []0T
p p L E r ∂=⋅=∂w e w
（3.8.3b ） 10T
p L ∂=-=∂w 1w
（3.8.3c ）
其中，0是N 维零向量。

由于V 是正定矩阵，因此上述一阶条件也是全局优化的充分必要调剂。

3.9 由（3.8.3a ）式得到p w 的表达式
11()()p λγ--=+w V e V 1 （3.9.1） 关系式（3.9.1）两端左乘T e ，同时利用公式（3.8.3b ），得到
11[]()()T T p E r λγ--=+e V e e V 1 （3.9.2a ）
关系式（3.9.1）两端左乘T 1，同时利用公式（3.8.3c ），得到
111()()T T λγ--=+1V e 1V 1 （3.9.2b ）
对λ和γ求解（3.9.2a ）和（3.9.2b ）式，得到 []p CE r A
D λ-= （3.9.3a ） []
p B AE r D γ-=
（3.9,3b ）
其中 11112,
,
,
.T T T T A B C D BC A ----=====-1V e e V 1e V e 1V 1
由于正定矩阵的逆矩阵仍然是正定的，所以0B >且0C >。

我们断言0D >，为说明这点，我们注意到
12()()()T A B A B B BC A ---=-e 1V e 1
以上关系式左边是严格大于零的，因为1-V 是正定的。

从而右边也是严格大于零的。

由于0B >，我们得到20BC A ->，也就是0D >。

将λ和γ的表达式代入关系式（3.9.1），对于具有期望收益率[]p E r 的前沿边界的资产组合，得到唯一的资产组合拳中的集合：
[]p p E r =+w g h （3.9.4）
其中
11111[()()]1[()()]B A D C A D ----=
-=-g V 1V e h V e V 1 注意关系式（3.8.3a ）、（3.8.3b ）和（3.8.3c ）是p w 成为期望收益率等于[]p E r 的前沿边界资产组合的充分必要条件。

因此，任何前沿资产组合都可以由（3.9.4）式表达。

另一方面，任何可以用（3.9.4）式表达的资产组合都是前沿边界的资产组合。

所有前沿边界的资产组合的集合称为资产组合的前沿边界。

现在，我们说g 是与另期望收益率的额前沿边界资产组合相应的资产组合权重向量，+g h 是期望收益率为1的前沿边界资产组合的权重向量。

为说明这点，我们首先用0代替关系式（3.9.4）中的[]p E r 得到
0p =+•=w g h g ，
然后用1代替关系式（3.9.4）中的[]p E r 得到
1p =+•=+w g h g h
接下来，我们说整个资产组合的前沿边界可以由g 和+g h 这两个前沿边界的资产组合生成，令q 是一个期望收益率为[]p E r 的前沿边界资产组合，有（3.9.4），我们可知
[]q q E r =+w g h
考虑g 和+g h 的权重为{1[],[]}q q E r E r -，风险资产组合的权重为
(1[])[]()[]q q q q E r E r E r -++=+=g g h g h w
这就是说，g 和+g h 的投资组合{1[],[]}q q E r E r -构成了前沿边界资产组合q 。

因为q 是任意的，我们得出，整个投资组合前沿边界可以由g 和+g h 这两个前沿边界资产组合生成。

3.10 注意上一节的论证，资产组合前沿边界是由g 和+g h 生成的，仅仅利用了g
和+g h 这两个前沿边界资产组合具有不同的期望收益率这一事实。

实际上接下来的一个更强的命题是成立的：资产组合前沿边界可以由任意两个相依的前沿边界资产组合生成。

为了证明这点，令1p 和2p 是两个不同的前沿边界资产组合，q 为任意的前沿资产边界组合。

我们要证明q 可以由1p 和2p 生成，因为1[]p E r 不等于2[]p E r ，所以存在唯一的实数α使得
12[][](1)[]q p p E r E r E r αα=+- （3.10.1）
现在考虑1p 和2p 的资产组合，权重为{,(1)}αα-。

我们得到
1212
12(1)([])(1)([])([](1)[])
[]
p p p p p p q q E r E r E r E r E r αααααα+-=++-+=++-=+=w w g h g h g h g h w （3.10.2）
其中第一个等式由1p 和2p 是前沿边界资产组合的事实得来，第三个等式由（3.10.1）式得来，第四个等式由一个前沿边界资产组合的权重是唯一确定的这一事实得到。

这样，我们就证明了资产组合的前沿边界可以由任何两个前沿边界资产组合生成。

3.10 任何两个前沿边界资产组合p 和q 的收益率协方差为
(,)([]/)([]/)1/T p q p q p q C Cov r r E r A C E r A C C D
==--+w V w （3.11.1） 其中，我们利用了协方差的定义和关系式（3.9.4）给出的一个前沿边界资产组合的权重。

由资产组合收益率的方差的定义和（3.11.1）式得出
22
2()([]/)11//p p r E r A C C D C σ--= （3.11.2a ）
这是标准差-期望收益率空间中的双曲线，中心为(0,/)A C ，渐近线[]//()p p E r A C D C r σ-±，其中2()p r σ和()p r σ分别表示资产组合p 的收益率的方差和标准差。

关系式（3.11.2a ）可以改写为
221()(([])2[])p p p r C E r AE r B D
σ=-+ （3.11.2b ）
这是在方差-期望收益率空间中的抛物线，顶点为(1/,/)C A C 。

均值-标准差空间中的资产组合前沿边界如图3.11.1所示，均值-方差空间总的资产组合前沿边界如图3.11.2所示。

在所有可能的资产组合中，方差最小的资产组合，或最小方差资产组合，位于图3,11,1中的(1/,/)C A C 。

这直接由（3.11.2a ）式得出。

图3.11.1 在()[]r E r σ-空间中的资产组合前沿
图3.11.2 在2()[]r E r σ-空间中的资产组合前沿
3.11 最小方差资产组合，在这以后表示mvp ，具有一个独特的性质：最小方差资产组合与任何资产组合（不仅仅是前沿边界上的）的收益率的协方差总是等于最小方差资产组合的收益率的方差。

为证明这一点，令p 为任意的资产组合。

我们要证明
(,)()p mvp mvp Cov r r Var r = （3.12.1）
我们考虑一个p 和mvp 的资产组合，全中分别为a 和1a -，且方差最小。

a 必为如下规划的解：
2222min ()2(1)(,)(1)()p p mvp mvp a
a r a a Cov r r a r σσ+-+- a 是解的一阶充分必要条件为
222()2(1)(,)2(1)()0p p mvp mvp a r a Cov r r a r σσ+---=
（3.12.2） 因为mvp 是最小方差资产组合，0a =必然满足关系式3.12.2。

这样我们得到关系式（3.12.1）。

也就是说，任何资产组合与最小方差资产组合的收益率的协方差等于最小资产组合的收益率的方差。

注意，在证明命题关系是（3.12.1）对于任何资产组合p 成立时，没有利用风险资产不具有相同的期望收益率这一假设。

这样，关系式（3.12.1）在风险资产具有相同的期望收益率同时成立。

3.13 那些期望收益率严格高于最小方差资产组合期望收益率A/C 的前沿边界资产组合成为有效资产组合。

位于资产组合前沿边界，既不是有效资产组合，又不是最小方差资产组合的资产组合称为非有效资产组合。

对于每一个非有效资产组合，存在一个具有相同方差单更高期望收益率的有效资产组合。

设,1,2,
,i i m =w ，是m 个前沿边界资产组合；,1,2,,i i m α=，是实数，满足11m i i α==∑。

接着将资产组合的期望收益率表示为[],1,2,
,i E r i m =，我们得到 111([])[]m m m
i i i i i i
i i i E r E r ααα====+=+∑∑∑w g h g h 回忆（3.9.4）式，上述表达式的第二个等式是一个期望收益率等于1[]m
i i i E r α=∑的资产组合。

这样，任何前沿边界资产组合的线性组合仍在前沿边界上。

如果资产组合1,2,
,i m =是有效的资产组合，且,1,2,,i i m α=是非负数，则
11[]/m m i i i i i A E r A C C
αα==≥=∑∑ （3.13.1） 正式的表述法是,有效资产组合的任何图组合仍是有效资产组合，有效资产组合的集合因此是一个凸集。

3.14 资产组合前沿边界的一个重要的性质是，对于前沿边界上的任何资产组合p ，出了最小方差资产组合，存在唯一的前沿边界资产组合，用zc （p ）表示，与p 的协方差为零。

给定关系式（3.11.1），零资产组合p 和zc （p ）之间的协方差等于零：
2()()(,)(([]/)([]/)/0p zc p p zc p C Cov r r E r A C E r A C D C D
=--+= （3.14.1） 对zc （p ）的期望收益率求解，我们得到：
2
()/[]/[]/zc p p D C E r A C E r A C
=-- （3.14.2） 实际上，（3.14.2）定义了zc(p)。

其惟一性源于（3.14.2）唯一地决定了()[]zc p E r ，从而由（ 3.9.4）式惟一地决定了zc(p)。

从（3.11.1）式还可以容易地看出，最小方差资产组合与任何其他前沿边界资产组合的协方差等于1/C ，严格为证。

因此，不存在与最小方差资产组合具有零协方差的前沿边界资产组合。

3.15 关系式（3.1
4.2）给我们提供了与最小方差资产组合p 相应的zc(p)的位置的线索。

如果p 是具有资产组合，则说明
()[]/zc p E r A C <，
这样的zc(p)是一个非有效资产组合，反之亦然。

从几何上讲，zc (p )的位置可以确定如下:在标准差-期望收益率空间中，经过与任何前沿边界资产组合（除了最小方差资产组合）相对应的点，与资产组合前沿边界相切的直线在期望收益率坐标轴上的截距是()[]zc p E r ，相应地，在方差-期望收益率空间中，连接任何前沿边界资产组合p 和mvp 的至现在[]p E r 轴上的截距等于()[]zc p E r 。

为证明这单，对（3.11.2a ）关于()p r σ和[]p E r ，求一阶全微分，我们得到
[]
()()[]p p p p dE r r D
d r C E r A σσ•=•- （3.15.1）
这是资产前沿边界在（()p r σ，[]p E r ）点处的斜率。

切线在期望收益率坐标轴上的截距为
2
()[]()[]()[]()
()[]//[]/[]p p p p p p p p p zc p dE r r D
E r r E r r d r C E r A D C A C E r A C
E r σσσσ•-•=-••-=--= （3.15.2）
其中第二个等式由（ 3.11.2a ）式得到，第三个等式由（3.14.2）式得到。

关系式（ 3.15.2）的几何图像如图3.15.1所示。

接着，很容易看出，在2
()[]r E r σ-平面连接前沿边界资产组合p 和mvp 的直线，可以表示为
222
[]//[]/()[]/()1/p p p E r A C D C E r A C r E r A C r C σσ-=-+-- (3.15.3) 将2
()0r σ=代入（3.15.3）式，我们有直线在期望收益率坐标轴上的截距等于()[]zc p E r ，这一结果呈现在图3.15.2。

σ-空间中的位置图3.15.1 零协方差资产组合在()[]
r E r
图3.15.2 零下方差资产组合在2()[]r E r σ-空间中的位置
最后，令p 是图3.15.3中描述2()[]r E r σ-平面上不在资产组合前沿边界上的资产组合。

我们说，连接p 和mvp 的直线在期望收益率坐标轴上的截距等于与p 的协方差为零，并且在与p 的协方差为零的资产组合中方差最小的资产组合q 的期望收益率。

为证明这一点，我们明确q w 是如下规划的解：
1min ,2
..0,1.
q T
q q w T q q T
q V s t ==w w w Vw w 1 （
3.15.4） 利用拉格朗日解法，我们可以容易地验证
2122222()1
1()1()()
1
,1()1()p q p T p p p p mvp p p C r C r C r C r C r C r σσσσσσ-=---=---V 1w w 1V1w w （3.15.5）
其中mvp w 表示最小方差资产组合的资产组合权重向量。

即，p 的最小方差零协方差资产组合q 是p 和mvp 的一个线性组合。

因为2()1/p r C σ>，q 是通过卖空资产组合p 并买入最小方差资产组合构筑的。

q 的期望收益率是
22222[]
()1()1()[]()
,
1()p p T
q p p p p p E r C r A C r C r C E r A r C r σσσσσ=----=-w e （3.15.6） 容易验证，它是在2()[]r E r σ-平面上连接p 和mvp 的直线在期望收益率坐标轴上的截距。

在练习题3.6中我们要求读者证明由两个具有不同的期望收益率的资产或资产组合生成的资产组合前沿边界通过这两个资产或资产组合。

考虑由p 和mvp 生成的资产组合前沿边界，其图像表示如图3.15.3。

注意这个资产组合前沿边界位于所有资产的资产组合前沿边界的内部，并且有一个单一的公共点mvp 。

由于两个前沿边界资产组合的恶人和线性组合都在前沿边界上，则p 和mvp 的任何线性组合在由p 和mvp 生成的资产组合前沿边界上。

这样，q 就位于由p 和mvp 生成的资产组合前沿边界上，因为根据（3.15.5）式它是p 和mvp 的线性组合。

3.16 我们证明了对于任何最小方差资产组合之外的前沿边界资产组合，存在一个零协方差的资产组合。

任何资产组合q （不必在前沿边界上）的期望收益率和那些前沿边界资产组合之间的关系的一个特征描述在下面给出。

图3.15.3 非前沿边界则产组合的最小方差零协方差资产组合
令p 是一个最小方差资产组合之外的前沿边界资产组合，q 是任何资产组合。

p r 和q r 的协差是
11(,)[]T
T T p q p q q q
T T q q q Cov r r E r λγλγλγ--==+=+=+w Vw e V Vw 1V Vw e w 1w （3.16.1）
其中第二个等式由p 是一个前沿边界资产组合的事实和关系式（3.9.1）得来，第四个等式由[]p E r 的定义q w 和是一个资产组合权重向量的事实得来。

将（3.9.3a ）和（3.9.3b ）中λ和ϒ的表达式相应地代入（3.16.1）式，我们得到
222
()()()[][](,)[][](,)[[]/]/1[[]/()/[]/[]([])[]/[]([][])
(1)[p p p q p p p q p p p p zc p qp p p zc p qp p zc p qp AE r B D E r Cov r r CE r A CE r A
Cov r r E r A C C D C D A E r A C r C D C CE r A
A D C E r E r C E r A C
E r E r E r E αβββ-=+---=-++--=+-+-=+-=-()][],
zc p qp p r E r β+ （3.16.2）
其中我们在第二个等式利用了（3.11.2a ）式，2(,)/()qp p q p Cov r r r βσ=,第四个等式由关系式（3.15.2）得来。

任何资产组合q 的期望收益率可以写成p 和它的零协差资产组合的期望收益率的线性组合，权重分别为qp β和1-qp β。

请注意，由于对于任何mvp 之外的前沿边界资产组合p ，zc(zc(p))=p ，我们还可以将（3.16.2）式写成
()()()[](1)[][]p qzc p p qzc p zc p E r E r E r ββ=-+ （3.16.3） 由()[][]p zc p E r E r ≠的事实，存在唯一的数α，使得()[][](1)[]p p zc p E r E r E r αα=+-。

因此，关系式（3.16.2）和（3.16.3）意味着
()1qzc p qp ββ=- （3.16.4）
我们可以写成
()()[][][]p qzc p zc p qp p E r E r E r ββ=+ （3.16.5）
关系式（3.16.2），（3.16.3）和（3.16.5）是等价的关系式。

3.17 p r ，q r 和()zc p r 这三个变量的关系总是可以写成
01()2q zc p p q r r r βββε=+++ （3.17.1）
满足()(,)(,)[]0p q zc p q q Cov r Cov r E εεε===。

其中（012,,βββ）是,p q r r 和()zc p r 的多元回归的系数。

由于p r 和()zc p r 不相关，我们得到
1()qzc p ββ= 2qp ββ= （3.17.1） 由（3.16.5）式得出0β=0，并且这样我们总是可以将资产组合q 的收益率写成： ()(1)q qp zc p qp p q r r r ββε=-++ ， （3.17.2） 满足()(,)(,)[]0p q zc p q q Cov r Cov r E εεε===。

这一关系式在第四章将非常有用。

3.18 在前面的部分，我们描述了当无风险资产不存在时，前沿边界资产组合的
性质。

当无风险资产存在时，一些简单的结果如下。

令p 是所有N+1个资产的前沿边界资产组合，p w 表示风险资产在p 中的资产组合权重向量，则p w 是下述规则的解： {}1min 2
T w w Vw s.t. (1)[]T T f p r E r +-=w e w 1,
其中我们仍用e 表示风险资产的期望收益率的N 维向量。

用拉格朗日方法，我们知道p w 是下面的解：
{}1min ([](1))2
T T T p f E r r λ+---w w Vw w e w 1。

p w 是解的一阶充分必要条件是：
()p f r λ=-Vw e 1
和
()[]T
f p f p r r E r +-=w e 1
求解p w ，我们有 1[]()p f
p f E r r r H --=-w V e 1 （3.18.1）
其中12()()2T f f f f H r r B Ar Cr -=--=-+e 1V e 1，且A ，B 和C 沿用3.9节的定义。

可以容易地验证当20A BC -<时，0H >。

资产组合p 的方差为
22([])()p f T
p p p E r r r H σ-==w Vw （3.18.3）
将关系式（3.18.1）代入，就可以得到第二个等式。

等价地，我们可以写成
2[],[]()[],[]p f p f p p f p f E r r E r r H r E r r E r r H σ-⎧≥⎪⎪=⎨-⎪-<⎪⎩
（3.18.3） 这就是说，所有资产的资产组合前沿边界在()[]p p r E r σ-平面上是由两条从点（0，f r ）发出的斜率分别为H 和-H 的半直线组成的。

我们现在考虑一些特俗的情况。

情况 1. /f r A C <，这种情况的图像表示如图 3.18.1，其中e 是半直线()f p r H r σ+和所有风险资产的资产组合前沿边界的切点。

为验证这点我们只需说明
[]()p f
p E r r H r σ-=
图3.18.1 /f r A C <的资产组合前沿边界
此处我们取容易地验证当0z A BC -<时，0H >。

资产组合p 的方差为
2
2([])()f T p p p E r r r W VW H σ-==
（3.18.2）
将关系式（3.18.1）代入，就可以得到第二个等式。

等价的，我们可以写成
2()p r σ
= []p f
E r r H - 当[]p f E r r ≥
[]~p f E r r H 当[]p f E r r <
（3.18.3） 这就是说，所有资产的资产组合前沿边界在()[]p p r E r σ-平面上是由两条从点(0,)f r
现在我们考虑一些特殊的情况。

情况 1. /f r A C <。

这种情况的图形表示如图 3.18.1，其中e 是半直线()f p r r 和所有风险资产的资产组合前沿边界的切点。

为验证这点我们只需说明
[]~()e f
e E r r H r σ= /[]//z
r f D C E r A C r A C
=-- （3.18.4）
这就是说，我们利用3.15节的结果得出()[]c f E r r π=。

现在利用关系式（3.11.2a ）
和（3.18.4），我们得到
2[](/)/()()/c f
f r f f
E r r C r A C Cr A A D C H r r C r A C Cr A σ-----=--==-- 这就是所要证明的。

在分界线f r e 上的任何资产组合是资产组合e 与无风险资产的一个凸组合。

任何在半直线()f p r r 上且不在f r e 上的资产组合包含卖空无风险资产并将所
得投资于资产组合e 。

我们同样可以容易的验证任何在半直线()f p r H r σ+上的资产组合包含卖空资产组合e 并将所得投资于无风险资产。

情况2. /f r A C >。

这里的故事有点不同。

所有资产的资产组合前沿边界的图形表示如图3.18.2。

任何在半直线()f p r H r σ+上的资产组合包括卖空资产组合/e 并将所得投资于无风险资产。

另一方面，任何在半直线()f p r H r σ+上的资产组合包括一个资产组合/e 的多头头寸。

图3.18.2 /f r A C >时的资产组合前沿边界
情况3. /f r A C =。

在这种情况下，
22
22
22(/)/0f f BC A D H B Ar Cr B A A C CA C C C -=-+=-+==> 回忆一下，[]//()p p E r A C D C r σ=±是风险资产的资产组合前沿边界的两条渐近线。

全部资产的资产组合前沿边界的图形表示如图3.18.3。

图3.18.3 /f r A C =时的资产组合前沿边界
在前面的两种情况，可以通过观察图形清楚的看出所有资产的资产组合前沿边界是如何生成的，资产组合前沿边界由无风险的资产和相切的资产组合e 和/e 分别生成。

在这第三种情况，没有相切的资产组合。

因此所有资产的资产组合前沿边界不是由无风险资产和风险资产的资产组合前沿边界上的一个资产组合生成。

问题是在这种情况所有资产的资产组合的前沿边界是怎样生成的。

将/f r A C =代入关系式（3.18.1），将p W 左乘以1T ，我们得到
1[][]11(/1)()0P f p f T T p E r r E r r A W V e A C A C H C H
---=-=-= 因此任何在所有资产的资产组合前沿边界上的资产组合包括将全部资金投资于无风险资产并持有一个风险资产的套利资产组合——权重之和为零的一个资产组合。

3.19 当存在一个无风险资产时，可以导出一个类似于（3.17.2）的关系式。

令q 为任何资产组合，q W 是风险资产的权重向量。

同时，令p 为一个前沿边界资产组合，p W 是风险资产的权重向量。

我们假设[]p f E r r ≠，则
([])([])
(,)q f p f T p q p E r r E r r Cov r r W VW H ϕ--==
利用（3.18.2）式，我们得到 2(,)
[]([])([])([])/p q f p f p p f p f Cov r r E r r E r r E r r E r r H ϕϕβ-=•-=-- （3.19.1）
这一关系式的成立独立于f r 和/A C 的关系。

给定（3.19.1）式，由3.17节，我们已经可以写出
(1)q p f p p p r r r ϕϕϕββε=-++ （3.19.2）
对于任何资产组合q 和任何无风险资产之外的前沿边界资产组合p ，满足(,)[]0p p Cov r E ϕϕϕθε==。